1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 94
Текст из файла (страница 94)
пользуясь формулой 2с1И2а= И И =сйа+1Ия. сЬ' а+ »Ь' е откуда вытекает й а = 2 сй 2а — сй з. В результате получается Ъ~ 2'» (2'» — 1) Й 2» Вг»я (2») 1 »-1 аз+ аз 1 2 21 3 15 2 (Коэффициент. соответствующий я =О, обращается в нуль.) Аналогично из тождества 2с1п2х=с1дх — 1йх получается 1йх= =с1дх — 2с(К2х, н с помощью этой формулы из рядов для хс1дх н для 2хс1К2х выводится ряа для тригонометрического тангенса: ~( 1)» — 1 В хг»-1 «+ ха+.
хз+ с-~ 22» (22» 1) 1 2 (2»)! г» 3 15 »-1 справедливый при 1х ~ < и/2. (Этот ряд можно также получить из 1 ряда для й а с помощью формулы 1нх= —.1Игх.) [Впоследствии (стр. 540) будет показано, что числа Вг»'имеют при й)~1 знак ( — 1); следовательно, ряды для ясйя и йя имеют чередующиеся знаки коэффициентов, ряд для хс(бх (после постоянного члена 1) — только отрицательные коэффициенты, а ряд для 1дх — одни положительные коэффициенты.1 ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ ЧП1 ф 2. Предельные переходы, связанные с показательной функцией 1. равномерность предельного перехода (1+х)п)"- е".
При любом заданном положительном числе а предельный переход (1+х/и)"-+в при и — ьоо в интервале О (х (а оказывается равномерным так же, как и предельный переход (! — -) — > в и) Достаточно доказать первую часть этого утверждения, так как докаэзтельство второй части приводится тем же самым путем. Для этого исходим из формулы 11пу (! + 11) = е, А-уе которая имеет следующий смысл: для любого наперед заданного положительного сколь угодно малого числа Ь можно выбрать достаточно малое число й так, чтобы при О ( и ~6 имело место соотношение е (1 — 6) ( (1 + й) У ( е (1 -+ 6). Но при й = х)п, очевидно, Полагаем а/п=й; тогда й зависит толы<о от а и и, но не зависит от х и с возрастанием и стремится к нулю; для всего интервала имеем х)п = И ( Н, а вместе с тем для любого сколь угодно малого Ь, О ( Ь ( 1, при выборе лостаточно большого числа и, скажем при и > И=у'ч'(6), е (1 — 6) ( ( ! + 6) " ( е (1 + 6), а следовательно, и в (1 — 6)" ((1+6)" =(! + — ) (е (1+6)', безразлично, где бы ни взять точку х= ай в нашем интервале.
Но при 0(х (а (1+6)" ~((!+6)а и (1 — 6)" > (! — 6)а; следовательно, имеем ,х(! 6)а (~! + х) ( х(1 +6)а е !(1 — 6)' — !) (~! + — ) — е" (е ((!+6)' — !) при п > Лу(6). Эти неравенства и доказывают равномерность предельного перехода, так как (1 — 6)' и (1+6)' лежат сколь угодно близко к 1, если 6 выбрано достаточно малым. В самом деле.
мы видим на основании этих неравенств. что если задать любое малое положительное число, 31 Р. Курант ГЛ. ЧПЕ БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ 482 Х1в то при выборе достаточно большого л выражение ~(1+ — ) — е может быть сделано меньше этого числа, независимо от положения точки х в интервале 0~(хна. 2. Замечание по поводу интегрирования н дифференцирования показательной функции. Доказанная равномерность дает иам право применить следующее рассуждение, полезное как иллюстрация доказанных выше теорем об интегрировании.
Имеем этот интеграл легко вычисляется путем замены переменной и = 1+ 11л. Теперь, в силу равномерной сходимости подынтегральной функции к е', мы имеем право выполнить переход к пределу при и -ьсо под знаком интеграла и получаем е' ГГГ = е" — 1. о т. е, формулу интегрирования для показательной функции. 1 3. Доказательство формулы ( е-"*сГх= — у' и. Дадим еще 2 о другое, более глубокое применение этого свойства, пользуясь полученным при выводе формулы Валлиса (гл. Ж, 2 4, и'7) результатом лГ2 — г 2„— 2 ° 4...2л 1 3 ° 5 (2л+1) 2 г о и понятием несобственного интеграла'). Введя в только что написанную формулу и =а!пх в качестве новой переменной интеграции, получаем 1!и=созх12х и !!ш ~/л ( !! — ия)лг!и= — у'и.
л-ьсо о ') В указанном месте, на которое и!2 з!Е2" +1х ех, яо преобразование о л/2 СОая"+11 ла !Прилв. лервв.) о сделана ссылка, вычисляется интеграл х = и/2-Г приводит его к виду дополнения к глава чш Полагая и =11 р'и, находим тл Теперь мы пишем, разумея пол А определенное постоянное положи- тельное число, меньшее уи: "л КА + 1~л' где Далее отметим соотношение 1 — а< е-а (а) 0), которое получается применением теоремы о среднем значении (дифференциального исчисления) к функции е-ал в интервале 0 (х (1: е-а ее= е а 1 ое-ав, — а.
гл В частности, при а = — ( 1 имеем: л р Гл л и 1 — — <. °, 1'1 — — 1 <.-'. и л) Предполагаем, что А ) 1; тогда при г ) А непременно е "( е-', и мы прлучаем для Йл оценку тй тл 0 < гс„( ) е "Ж ( ) е 'Ж=е "— ег"', А А т. е. во всяком случае 0 ( 1тл ( е ". Теперь переходим к пределу при и-ь оо. В силу доказанного в и' ! свойства равномерности интеграл КА переходит при этом в ~ е †" г(г, и мы, таким образом, а непосредственно получаем А 1 О < — угп — ~ е и Н = 11ш (з' — К ) =. 11ш )гл ( е л-Лсо л-+со Теперь мы можем неограниченно увеличивать положительное число А( 1/и, которое мы до сих пор считали неизменным; при 31л ГЛ, Чп!. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ атом п-+со и е-" стремится к нулю. Следовательно, мы получаем формулу А .ы 1 ! 1ш ~ е-1* 11г = „" е-в Ф = — ')г и, '1~' о о 2 которую мы хотели доказать; зтз формула может быть записана также в виде ~ е-' а!г = р' и, так как е " является четной функцией.
ф 3. Бесконечные ряды и несобственные интегралы Бесконечные ряды и введенные при их изучении понятия находят простые применения и аналогии в теории несобственных интегралов (см. гл. ЪЧ, з 8). Ограничимся здесь случаем сходящегося интеграла с бесконечным промежутком интегрирования, например интегралом вида ~ у(х) о)х. Если разделить промежуток интегрирования на части о с помощью последовательности чисел хо=О, х,, ха, ..., х„, монотонно стремящейся к бесконечности, то можно интеграл представить в виде / у(х)!ах =а,+а + о причем каждый член бесконечного ряда в правой части есть интеграл, а именно: «а к, а, = ~ у(х)с)х, аз= ~ у(х)с)х, . о к, При этом совершенно безразлично, как мы выбрали точки ха. Мы видим, таким образом, что понятие сходящегося несобственного интеграла можно самым различным образом свести к понятию бесконечного ряда.
Особенно удобно выбрать точки ха таким образом, чтобы подынтегральная функция имела в каждом чзстичном интервале постоянный знак. Ряду ~'~! аа! соответствует тогда интеграл от абсолютной ве- Ф-1 личины нашей функции ~ ) у (х)~а!х. о ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ (ПП Мы естественно приходим, таким образом, к следующему новому по- СО питию: несобстзенныб интеграл ) у(х) Фх назыеается абсолютно о сходящимся, если интеграл ~ )у(х)(дх сходится.
В противном э случае первоначальный интеграл ),Г(х)((х, если он сходится, наэы- о вается условно сходящимся. Некоторые из рассмотренных нами раньше интегралов (стр. 290, 484): — )Г е "'дх, Г(х) = ~ е 'С» (д! е — абсолютно сходящиесн. Напротив, интеграл ОР А изученный на стр.
292 — 293, представляет простой и важный пример условно сходящегося интеграла. Чтобы убедиться в сходимости этого интеграла (независимо от прежнего доказательства), раэобьеи промежуток интегрирования от 0 до А на частичные интервалы точками деления ха = Ли (А =О, 1, 2, ..., т), где т есть наибольшее натуральное число, для которого тл(А. А Г и!пх Тем самым интеграл ) — дх разбивается на члены вида е лл э!их аэ= ) — их(а=1,2,3, ..., т) х (а-ц л и остаточный член (( вида А Г э(пх г( = ~ — дх (0<А — тл (л). А=~ х Ясно, что знаки чисел аэ идут чередуясь, так как э!их попеременно положителен и отрицателен в следующих друг эа другом частичных промежутках.
К тому же ~ ал+, ) < ~ ал ); действительно, выполняя преобразование х = Š— я, имеем эл (е цл Г (5!Вх! Г )з(п(ф — и)! „) х их= Š— л (з-цл зл (лэцл (э+цл г ) з!пя! ! ) э(п$! $ — г $ ас = ! аз+1 !. лл зл ГЛ, Ч!11. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ Отсюда (по признаку Лейбница) вытекает, что ряд )~~па сходится. Кроме ь-о того, абсолютная величина остаточного члена А (т+1) л (л+1) 11 ~)7А(= в( — Ах < ~ их~( — в( /з(лх!Фх= —.
( з(пх Г )5(пх) 1 Г 2 х з х тл ' Следовательно, остаточный член стремится к нулю при А-ьсо, Совершим теперь предельный переход А-ьсо в равенстве А 1+ 2+ 3+ '''+ ~+ А' о Г в(ох В левой чзсти получается несобственный интегрзл з( — ах, а правая х о часть имеет своим пределом ряд ~' ал, сходимость которого была только е-о что доказана.
Стало быть, иаш несобственный интеграл сходится. Но сходимость его не абсолютна. Действительно, ел ьл Г (з(пх) Г (з(пх( 2 ) ае(= х их ) лл ' ((х = —; (е-1) л (а-1) 11 2( 1 1 1 так как ряд — (1+ — + —.+...+ — +...) расходится (гармонический 2 3 ''' Л ряд), то расходится н ряд ~Ч~~~) ал(. 5 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
