1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Важно заметить, что если функция у(х) имеет период 21, то она имеет и период ( — 21), так как 1(х — 21)=1 (х — 21+21)=1(х), а также период 41, так как у (х+41) =г (х+ 21) =у (х), и ( — 41). Легко понять, что эта функция имеет также периоды +61, д 81, ... Не исключено также (хотя это и не обязательно), что У(х) может иметь и периоды более короткие, чем 21, например 1 илн 116. Гео- э ь пввнодическиз эвикции метрнчески периодичность выражается в том, что в любых двук смежных промежутках длины 21 график функции имеет в точности один и тот же вид. Другой наглядный образ мы получим, если будем аргумент х истолковывать как время (и в соответствии с этим иногда писать 1 вместо х) и будем рассматривать функцию Е(х) как описание периодического процесса, илн, как принято говорить, колебательного процесса, и,ти, короче, колебания.
Тогда период 21 = Т называется периодом колебания. Если произвольная функция Е'(х) задана только е определенном интервале, скажем — 1-(х (1, то ее всегда можно продолжить, как периодическую функцию; для этого надо только определить Е (х) вне данного интервала равенством у (х+ 2пЕ) = у (х), где и означает произвольное (положительное или отрицательное) целое число. Однако следует заметить, что если функция Е(х) непрерывна на отрезке — 1( х ( 1, но 1( — 1) ~ Е'(Е), то периодическая функция, полученная в результате продолжения.
будет иметь конечные разрывы в точках +1, +31, ..., вообще в точках х =(2п-«-1)Е. где и — любое целое число, положительное или отрицательное (ср. рнс. 12б и 127 на стр. 514, 516, где 1= и). Кроме того, продолженная функция уже не будет однозначной в точках х = +Е, +ЗЕ, ..., так как, согласно нашему опрелелению, Е(ЗЕ)=Е'(1+21) =Е(1) и в то же время должно быть Е(ЗЕ) =~( — 1+41)=Е( — Е). Этого затруднения можно избежать, подвергая продолжению не функцию 1(х), заданную в замкнутом промежутке — 1(х (Е, а функцию, заданную в одном из полуоткрытых промежутков — 1 ( х ( 1 либо — 1 ( х (1; это значит, что мы отбрасываем либо первоначальное значение 1 (1), либо первоначальное значение Е( — 1).
Отметим здесь же следующее общее предложение, касающееся периодических функций. Интеграл от периодической функции не изменяет своего значения, если промежуток интегрирования как целое сместить на отрезок, равный периоду Т=2Е в зэм ~ Е(х)дх= ~ 1(х)дх и+22 при любых значениях а и р. Действительно, произведем замену переменной х=$ — 21, дх=д$; так как Е(х)=Е'Я вЂ” 2Е)=уЯ), то в з+ж э+22 ~ 1(х)с(х= ~ Е'Я)д$= ~ Г(х)дх.
ч а+2! и+22 Отсюда вытекает еще один факт. Интеграл от периодической функции, распространенный на промежуток от а до а «-21, длина которого равна периоду, имеет одно и то же значение при любом значении ц, т. е. независимо от того, какую точку взять за начало промежуткз интегрирования. ГЛ.
СХ. РЯДЫ ФУРЬЕ Для доказательства перепишем формулу (1), представив интеграл в ее левой части как сумму трех интегралов: а-!-2! РФЗ з з+з )'(х)бх-+ ~ у" (х)С(х+ ~ у(х)йх = ~ у(х)йх, а а+2! а+2С ае2! а+З а откуда ~,с (х)йх+ ) С(х)бх=О, и окончательно а а+2! а э 2! ач-2! С (х) ах = ~ у (х) бх а а при любых значениях а и Р, что и требовалось доказать. В частности, если в (2) подставить последовательно Р = — 1 в а, р = — 1 и (!= О, получим «+2! С вЂ” « 2! 1(х)С(х = ~ у(х)С(х = ) у(х)а'х = ~ С(х)йх.
Если вспомнить геометрический смысл интеграла, то содержание формул (1) и (2) становится наглядно ясным на рис. 120. б 'Л,б'««1 Рнс. 120. Простейшими периодическими функциями являются а 21п свх и а созсвх или, более общо, аз!вы(х — с) и а созе(х — $), где а ) О, ы) 0 и $ — постоянные. Ниже мы увидим, что иа этих функций кзк элементов строятся самые общие периодические функции.
Процессы, изображаемые этими функциями, называются яростыми или гармоническими колебаниями или еще синусоидальными колебаниями'). Период колебания Т= 2п/св. Число о= 2и~Т называется круговой частотой или угловой частотой колебания; оно равно числу колебаний за время 2п, так как 1СТ (или просто частота) ') Каждая нз функций аз!вы(х — $) и а созе(х — $) сама по себе (при всех значениях а и 1) представляет класс всех свнусондальных колебаний; оба выражения равносильны, так как аз!па(х — й) = а созе х — ~й+ — ! !. 2Ф/1' $ !.
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ есть число колебаний в единицу времени. Число а называется амплилгудой колебания; оно указывает наибольшее значение, которое может принимать функция а 5!п а(х — З) или а соз а(х — $). Число е(х — $) называется фазой, а число е$ — начальной фазой или сдвигом фазы. График функции у= а 51пе(х — $) можно получить из графика у = 5!их следующим образом. Сжимаем его в е раз вдоль осн х, растягиваем в а раз параллельно оси у [точнее, делим абсциссы всех точек кривой у = з!пх Ряс. 121.
на е и умножаем ях ординаты иа а[, а затем смещаем полученную кривую на расстояние е в положительном направлении оси х (ср. Ркс. 121). [Выполнив те же операции иад кривой у = соя х, получим график функции у = а соз е (х — 5).[ Пользуясь формулами сложения тригонометрических функций, можно гармонические колебания представить и в следующем виде: а 5!и в (х — $) = а соз ах + р 5(п ах, а соз в (х — $) = р соз ех— — аз(пвх, где а= — аз!Еа$, [)=а созв$.
Обратно, всякая функция вида а соз ах+ [) з!п ах представляет гармоническое колебание аз(пе(х — Е) с амплитудой а=[/аз+[)з и начальной фазой аа, определяемой нз уравнения а= — аз!Еас, б=асозоф. Из формулы а совах+[!з!пах =аз!па(х — Е) видно, что сумма двух (или более) гармонических колебаний одной и той же круговой частоты а представляет собой новое синусоидальное колебание с той же круговой частотой е.
ГЛ.!Х. РЯДЫ ФУРЬЕ 2. Наложение гармонических колебаний. Обертоны. Биения. Хотя гармонические колебания часто встречаются, однако большинство периодических явлений (ср. гл. Ч, й 4, и' 3) носит более сложный характер, представляя собой наложение (суперпозицию) синусоидальных колебаний. Математически это просто означает, что движение, например расстояние точки от своего положения покоя, выражается, как функция времени, в виде суммы некоторого числа простейших периодических функций, т. е. гармонических колебаний.
Синусоидальные волны этой функции налагаются тогда геометрически одна на другую или, как говорят, суперпонируются. При таком наложении мы будем предполагать, что частоты (а стало быть, и периоды) налагаемых колебаний все различны, потому что суперпознцню двух гармонических колебаний одной и той гке круговой частоты в мы уже изучили в п' 1, — она лает опять-таки гармоническое колебание, но с измененной амплитудой и начальной фазой. Рассмотрим простейший пример наложения двух гармонических колебаний с круговыми частотами в, и вг. Существует коренное различие между тем случаем, когда отношение этих двух частот рациональгю, и тем случаем, когда это отношение иррационально, или, как говорят, между случаями, когда частоты соизмеримы или несоизмеримы.
Рассмотрим сначала первый случай и возьмем, например, вторую круговую частоту в два раза больше первой: вг — — 2в,. Тогда период второго колебания Тг будет равен как раз половине периода Т, первого колебания, ибо Тг = 2п/2в! = Т,/2, и, стало быть, второе колебание имеет не только период Т,, но и двойной период Т, = 2Тг, так как ход изменения функции, конечно, повторяется по истечении двойного периода.
Следовательно, функция, полученная в результате суперпозиции, будет тоже иметь период ТР Первое колебание называется основным колебанием, а второе колебание, имеющее удвоенную частоту и вдвое меньший период колебания, чем первое, называется первым гармоническим обертоном по отношению к основному колебанию или первой гармониной. Анзлогичное положение будет, если присоединить еще одно простое колебание с частотой юг =Звн И здесь описывающая колебание функция згпЗв!х, имея период Тг=2п/Зв,=Т,/3, будет непременно повторяться по истечении периода Т,=ЗТг. Это третье колебание называется вторым обертоном или второй гармоникой по отношению к основному колебанию.
Подобным же образом можно присоединить третий, четвертый... „(и — 1)-й обертоны с частотами в4 — — 4вн вг=бв,, ..., в„=пв, и с произвольными начальными фазами; каждый из этих обертонов непременно повторяет ход .своего изменения с периодом Т, = 2п/вн и, стало быть, всякая функция, полученная наложением некоторого числа простых колебаний, являющихся обертонзми по отношению к заданной основной круговой частоте вн сама будет периодической функцией с периодом Т, = 2п/вк $1. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Налагая друг на друга гармонические колебания, начиная с основного колебания и кончая (и — 1)-и обертоном, получим периодическую функцию вида л о (х) = и + ~к~~ (аа соз нгох + Ь» 51п нюх). а-1 Постоянная а, добавленная с целью несколько увеличить общность формулы, не нарушает периодичности, так как она является периодической функцией любого периода.
Так как эта функция З(х) содержит 26+1 постоянных коэффициента, которыми можно свободно распоряжаться, то существует возможность построить этим путем функции с весьма сложными графиками, очень мало напоминающими исходную синусоиду. Рисунки 122 в 124 дают об этом более наглядное представление, чем может дать словесное описание. Пропорции на рис. 122 соответствуют значени1о а =1.
Кривые на рис. 124 являются графиками частичных сумм о,(х), Я,(х)„ Ял(х) и 31(х) тригонометрического ряда 51пх 51п 2х Мп Зх, яп бх 51п тх 51п 9х Термин гармонические оберогоны или еысгиие гармоники взят из акустики; известно, что если основному колебанию с круговой частотой ю соответствует основной тон определенной высоты, то первой, второй, третьей и т. д. гармоникам соответствует последовательность обертонов к основному тону, а именно: октава, ок-' тава + квинта, двойная октава (октава-+ октава) и т.
д. (Если, например, основной тон — бо1, то первый обертон †д второй обертон — зо15, третий обертон †д и т. д.) Вообще при суперпозиции колебзний, частоты которых стоят друг к другу в рациональных отношениях, круговые частоты составляющих колебаний могут бь)ть представлены 'как целые кратные одной основной круговой частоты. Явление совершенно иного типа представляет сложение двух колебаний с несоизмеримыии круговыми частотами ю1 и юг. В этом случае процесс, возникающий при наложении гармонических колебаний, уже не будет периодическим.
Мы не имеем возможности заняться здесь рассмотрением связанных с этим математических вопросов. Заметим лишь, что такие функции имеют все же всегда приближенно периодический характер; они являются„ как принято говорить, ночоги периодическими функциями. Как раз в последнее время такие функции стали предметом особенно обстоятельных исследований. Наконец, последнее замечание по поводу сложения гармонических колебаний относится к явлению так нззываемых биений. Пусть происходит наложение двух колебаний с одинаковой амплитудой 1 $ Ь ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ и круговыми частотами ге1 и ьга; для простоты примем, что , что и начальные фазы одинаковы (обобщение на случай разных фаз предоставим читателю).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
