1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Бесконечные произведении Мы подчеркнули уже в предварительных замечаниях к этой главе (стр. 427), что бесконечные ряды представляют собой только один (правда, особенно важный) из способов выражения величин или функций с помощью бесконечных процессов. В качестве примера других процессов подобного рода рассмотрим здесь бесконечные произведения, не приводя доказательств. В гл. 1)7, $ 4, мы познакомились с формулой Валлиса: л 2 2 4 4 б 6 2 1 3 3 5 5 7'''' которая выражает число п(2 в виде «бесконечного пронзведенияз. Под бесконечным произведением Ии = оозп Ф-1 ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ ЧШ разумеют предел последовательности частичных произведений П1* П1П2' П!П2ПЗ' 1"1П2 3 4' если этот предел существует. Множителями а,, аз, аз..., такого произведения могут, конечно, быть и функции от переменной х. Особенно интересный пример представляет разложение в бесконечное произведение функции з!п лх, которое мы выведем в $ 4, п'7, следующей главы (стр.
518)1 юп лх = лх (1 — — 1) (1 — — 2) (1 — — 2) В теории чисел играет очень важную роль разложение в бесконечное произведение ыдзета-функцин». Придерживаясь обозначений, принятых в теории чисел, обозначим независимую переменную через з и определим эту функцию при з > 1 выражением Мы знаем (гл. Ч!!1, б 2. и' 3), что при з > 1 ряд, стоящий в правой части, будет сходящимся. Если р есть любое число, большее единицы, то путем разложения в геометрический ряд непосредственно получаем равенство 1 1 ! 1 э»» р»» = 1+ — + — + — +... 1 —— р» Подставим в эту формулу вместо р последовательно все простые числа ро рм рн... в порядке их возрастания и полученные равенства перемножим между собой; тогда в левой части получим произведение вида 1 1 р-» Если перемножим между собой ряды, стоящие в правой части, не доказывая законности этого приема, и вспомним, что, по известной элементарной теореме, всякое целое число и > 1 можно представить одним и только одним способом в виде произведения степеней различных простых чисел, то увидим, что в правой части как раз и получается функция Ь(з), и мы приходим к замечательному разложению в бесконечное произведение: ь (2)— 1 1 1 721 1 Р2 1 7»з Эта формула, вывод которой мы здесь лишь вкратце наметили, действительно представляет разложение функции ь(з) в бесконечное произведение, так как существует бесконечное множество простых чисел.
В общей теории бесконечных произведений обычно исключают тот случай, когда произведение а,аз ... а„ с возрастанием п стремится к нулю. В частности, стало быть, ни один из множителей а„ не должен равняться нулю. В соответствии с этим для сходимости произведения необходимо, чтобы множители а„ с возрастанием п гл. чш. ьвсконвчныв ояды стремились к 1. Поэтому мы имеем право допустить (отбрасывая в случае надобности конечное число множителей, что в вопросе о сходимости значения не имеет), что а„) О. Тогда справедлива следующая теорема: необходимым и достаточным условием СО сходимости бесконечного произведения Ц а», где а») О, является »-1 сходимость ряда „~, 1и а».
»-1 ь В самом деле, очевидно, что частичные суммы ~~'.~, 1и ໠—— »-1 =1п(а,аг... а,) этого ряда стремятся к пределу в том н только в том случае, если частичные произведения а,ая ... а„имеют положительный предел, Обыкновенно при исследовании сходимости бесконечного произведения полагают а» = 1-+а» и польауются следующим достаточным признаком, Произведение П(! +а») »-1 сходится, если ряд ~ ~ а» ( сходится и нн один нз множителей (1+а») не равен нулю. Для доказательства мы имеем право, опуская в случае надобности конечное число членов, допустить, что все 1а»1 < '/т.
Тогда 1 — 1а„) ~ '/я. По теореме о среднем значении имеем 1п (1+ й) = 1п (1+ Ь) — 1п 1 = Ь 1 й, где О < Ю < 1. 1 Следовательно, !1п(1+ . ) ~=! + ~ < и, стало быть, из сходиъьости ряда ~ ! а» ! вытекает сходи- »-1 масть ряда ~1п(1 +а»). »-1 Этот признак сразу устанавливает сходимость приведенного выше разложения в бесконечное произведение функции в1п нх при всех значениях х, кроме х = О, + 1, + 2, ..., где множители произведения обращаются в нуль. ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ ЧП! С помощью этого признака можно также доказать сходимость бесконечного Произведения »-1 для дзета-функции. Действительно, легко видеть, что )г-» 1 1 2 =1+, ! и что при р)~2 н з> 1 имеем 0< р» р' — 1 р' ' Заставим теперь р пробегать последовательность простых чисел; 1 тогда ряд т — должен сходиться, так как все его члены положи- 74 д» %1 1 тельны и составляют только часть членов сходящегося ряда лг —.
ут д »-1 Тем самым доказана сходимость бесконечного произведения для дзетафункции. ф 6. Дальнейшие примеры бесконечных рядов (различные разложения в степенной ряд) (2) из ряда (3) путем дифференцирования получается ряд з!В(И агсз!их) и И (И» — 2') И(И» — 21)(И» — 4') = — х— хз+ хз — +... 4Г! — х' 1! 3! 5! Далее имеем ряд и и (и' — 1') з!п(р агсз!их) = — х —, хз+ 11 М (И» — 11) (И» 3») а + 5! (4) из которого дифференцированием получаем ряд соа (загса!Вх) Гг~ 1 1 (И 1 ) (И 3 )» В качестве примеров на метод неопределенных коэффициентов приведем следующие ряды: агсз!и х 2 з 2 4 =х+ — х'+ — 'хз-(-..., У! — х' 3 3.5 х» 2 х' 2 4 х» (агсз!и х)1 = — +- — — + — + ° 1 3 2 3 5 3 111 сов (!с агсз!и х) = 1 — — х~+ 2! ха-+ — ...; (3) И»(И» 21) И» (И» — 21) (И» — 41) ГЛ. Чгг!. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ Все эти разложения имеют место при !х(< 1.
Если в ряды (3) и (4) подставим агсз!и х ='гр, так что х = з!игр, то получим разложение соз!кр и з!и!вр по степеням з!Егр. Эти ряды обрываются, т. е. превращаются в многочлены, если !г — целое число, а именно: ряд (3) обрывается, если !л — четное. и ряд (4) — если !г — нечетное целое число или нуль. Эти ряды получаются следующим образом: сначала пишут для функции у=1(х), которую желают разложить, степенной ряд с неопределенными коэффициентами у = ~~'.~ с«х, затем устанавливают для «-о функции 1(х) дифференциальное уравнение и условия в точке х= О. С их помощью определяют коэффициенты и доказывают скодимость полученного таким образом степенного ряда; остается, наконец, доказать, что сумма ряда !р(х) тождественна с ! (х). Рассмотрим сперва функцию Ее производная х агсе!их 1 — х' Уг(1 — х«)« следовательно, у удовлетворяет дифференциальному уравнению у'(1 — хз) — ху — 1 =0 и условию у (0) = О.
Подставляя степенной ряд ~~'.~, с«х«вместо х в дифференциальное уравнение и располагая «-о левую часть по степеням х. находим, что ряд (с, — 1)+ (2са — сз) х+(Зсз — 2с,) ха+... + +[(в+2)с«е,— (в+1) с«] х««'+... должен обращаться в нуль при всех значениях х; следовательно, все его коэффициенты должны равняться нулю, откуда последовательно определяются все значения со, с,, с,, ... действительно, замечая. что со=О, так как г (0)=0; получаем, что с«=за=с«=...
=0 и 2 2 4 2 4 6 с, = 1, с,= —, сз= — ° —, с! — — — — —, ...' таким образом, мы 3' 3 5' 3 5 7''''' получаем ряд гр(х) = х+ — ха+ . — хз+ .. 2 2 ° 4 3 3 ° 5 сходимость которого при ~х )ч. 1 непосредственно вытекает из признака сходимости ««аламбера. Остается еще показать, что найденная функция гр(х) совладав!.
с функцией агсзгв х 1' 1 — х' ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ ЧШ 491 Функция '«р (х), конечно, удовлетворяет условиям ф (0) = О и (1 — х2)~р'(х) — хф(х) — 1=0, что следует из способа получений выражающего ее ряда. Лля функции и = у' 1 — хз ф(х) производная и'= 1/! — х ~р' —, откуда и(0) =0 и и'(х)= 1' 1 — хг У1 — х из второго условия путем интегрирования находим а(х)=и(0)+ +агсз1пх, а отсюда на основании первого условия следует и(х)= = агсз!их.
Тем самым доказано равенство ф(х) = и справедливость формулы (1). Так как агс21в х 1 = — ° — (агсз(п х)2, "г'1 — х' 2 я'х то.путем почленного интегрирования формулы (1) в пределах от О до х получаем формулу (2). Для функции г'(х) = соз(р агсз!п х) находим у'(х)= — ' з!п(рагсз!пх); У! — х' следовательно, (1 — хз) У'(х)2 = р2 (1 — Г (х)2); дифференцируя это уравнение и опуская множитель 21"'(х), получаем (1 — ) У" — хУ'+ рзУ = О. (*) Кроме того, у(0)=! и у'(0)=0. Обратно.
если нам относительно некоторой функции известно, что она удовлетворяет этим трем условиям, то мы можем заключить, что непременно у (х) = =сов(рагсгйпх). В самом деле, умножая (") на 21'(х), получаем дифференциальное уравнение 2(1 — хя)у'ук — 2хг' +2рзу'г'=О, которое можно также ааписать в виде —, ((1 — 2)У" — р'(1 — Р)1 = О. Отсюда следует, что (1 — хз)1' — р2(1 — гя) =сола!; но левая часть при х=о равна нулю, так как г(0) =! н У'(0)=0; стано быть, (1 — хз) у' — р2(1 — Р) = О.
Вводя вместо х новую переменную 1 с полшщью подстановки сваг =у(х) или г=агссоз Г'(х), после не- больших преобразований получим дифференциальное уравнение (1 — х2) а) — р2 = О, откуда, принимая вб внимание условие у(0)= 1, т. е. 1(0)=0, на- ходим искомый результат: 1(х) = + р агсз| их и у (х) = сов (р агсз!п х). Гл. Рпк Бесконечные Ряды Положим теперь у (х) = сз+ с,х+ стхз+ ..., подставим в левую часть уравнения (1 — хз)Уи — ху'+(гтрк=О, расположим по степеням х и прнравняем нулю коэффициенты, тогда получим; 2сз+ !гасе — — О, 3 2сз+(рз — 1т) с, = О, 4 ° Зса+ (мт — 2з) ст = О, (и+ 2)(и+ !) си ьз+(!т — и ) с„= О, Из этой рекуррентной формулы и условий са = 1 и с, = 0 последовательно находим коэффициенты: иг (пз 2г) О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
