1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 91
Текст из файла (страница 91)
е. всякий степенной ряд, сходящийся не только при х=О, является рядом Тэйлора для представляемой им функцнп. Однозначность разложения выражается теперь в том, что коэффициенты разложения однозначным образом определяются заданием функции. В й. Разложение заданных функций в степенные ряды. Метод неопределенных коэффициентов. Примеры Всякий степенной ряд представляет внутри своего интервала сходимости непрерывную функцию, имеющую непрерывные производные любого порядка. Рассмотрим теперь обратную задачу: о разложении заданных функций в степенные ряды.
В принципе для этого всегда можно воспользоваться формулой Тэйлора, ио в отдельных случаях часто возникают затруднения при нахождении л-й производной и при оценке остаточного члена. Во многих случаях можно гораздо проще достигнуть цели, если поступить следующим образом: полагаем гипотетически /(х) = ~ с„ха, «-о где са — неизвестные пока коэффициенты; затем определяем коэффи» (гиенты са на основании известных нам свойств функции у(х) и после этого доказываем сходнмость найденного ряда.
Этот ряд представляет тогда некоторую функцию от х. и остается только убедиться в том, что эта функция совпадает с у'(х). На основании доказанной однозначности разложения в степенной ряд мы уверены, что никакой другой степенной ряд, кроме найденного, не может дать требуемого разложения. Мы сейчас рассмотрим несколько примеров применения этого метода. По существу, мы уже з шестой главе получили разложения для агсГй х и !п(1 +х) таким путем, который относится по идее к содержанию настоящей главы.
Нам были известны геометрические ряды (бесконечные геометрические прогрессии). выражающие ЗО Р. Кураит гд. тчп. ввсконкчныв гяды производные от этих функций. и эти ряды мы там просто почленно интегрировали. 1. Показательная функция. Поставим себе задачу найти функцию у(х), для которой у'(х) = у (х) и у (О) = 1. Представляем у (х) предварительно в виде степенного ряда с неопределенными коэффициентами: у (х) = ср+ с,х+ сзх + дифференцируя почленно, получаем У'(х) = с, + 2с,х + Зс,х' + ... Так как, по условию, эти два ряда должны совпадать, то непосредственно получаем для всякого л )~ 1 уравнения лс,=с„ Заметив, что из условия У(0) =1 следует, что коэффициент с, должен иметь значение, равное 1, мы можем последовательно определить все коэффициенты и получаем степенной ряд х х' х' у (х) = 1+ — + — + —, +... Этот степенной ряд сходится при всех значениях х, что легко видеть с помощью признака скодимости Даламбера, и представляет поэтому функцию у (х), для которой действительно выполнены условия у'(х) =у(х) и у(0)=1.
(При этик рассуждениях мы сознательно избегали пользоваться известными нам фактами разложения в ряд показательной функции.) Что эта функция у(х) совпадает с показательной функцией е», непосредственно следует из того, что и е" удовлетворяет тем же условиям. В самом деле, составим отношение ф(х) =— у (х) дифференцируя его, получаем гэ'(х) =,„=0; е'У' (х) — е У (х) лтх следовательно, функция гр(х) является постоянной, и она должна равняться 1, так как при х=0 она имеет значение 1. Тем самым доказана тождественность нашего степенного ряда с показательной функцией. (Ср. совершенно аналогичное рассуждение в гл.
П!, й 7, п' 1), 2. Биномиальный ряд. Вернемся теперь к биномнальному ряду (гл. Ч1, ф 3, и' 3); мы его теперь выведем проще, с помощью метода неопределеинык коэффициентов. Для того чтобы разложить в ряд функцию у (х) = = (1+х)", полагаем У(х) =(1+х)"= ел+с,х+с,х'+... Заметим теперь, что наша функция, очевидно, удовлетворяет соотношению (1 + х) У' (х) = аг (х) = ~ асаха. С другой стороны, дифференцируя почленно ряд для У(х) и умножая его на множитель (1+х), получим (1 + х) у' (х) = с, + (2с, + с,) х+ (Зсз + 2сз) х'+... 2! $ з. РАзлОжение Функций в степенные Ряды 467 Так как оба ряда для (1+х)У'(х) должны быть тождественны, то путем сравнения коэффициентов получаем соотношения: асо = сь ас, = 2сз+ си асз = Зсз+2сэ, ...
Но с, = 1, так как при х = 0 наш ряд должен иметь значение 1, и мы получим, таким образом, для коэффициентов последовательно выражения: а (а — 1) а (а — 1) (а — 2) С~ = О. Ст = , С и, как легко вывести, вообще а(а — 1)... (а — Л+2)(а — я+1) (а) л(л — 1)... 2.1 Подставив зти значения для коэффициентов, мы действительно получаем биномиальный ряд Остается исследовать сходимость этого ряда и показать, что он действительно представляет функцию (1 +х)". Признак сходимости Даламбера показывает, что при !х ! < 1 ряд сходится, а при )х ( > 1 расходится, если только а не является целым положительным числом; действительно, относ„, а — и шение — "= х, а абсолютное значение этого выражения при неогс„п+ 1 раниченном возрастании а стремится к )х!.
Следовательно, при ! х! < 1 наш ряд представляет функцию г" (х), удовлетворяющую соотношению (1 +х) у'(х) = ат' (х), что непосредственно следует из закона образования коэффициентов. Кроме того, у(0) = 1. Но эти условия характеризуют нашу функцию У(х) как функцию тождественную с функцией (1 +х)э. В самом деле, для отношения Ф(х) = (1+х)" имеем (1+х)э у (х) — и (1+к)а 2 у (х) гр' (х) )2а следовательно, Ф (х) есть постоянная, равная притом единице, так как гр(0) = 1.
Таким образом, доказано, что при )х ! < 1 (! + х)" = ~' ( ) хл, а это и есть биномиальный ряд. Приводим без доказательства точные условия сходимости этого разложения в биномиальный ряд. Если показатель степени а есть целое положительное число или нуль, то ряд обрывается, и поэтому разложение имеет место при всех значениях х (элементарная формула бинома). При всех других значениях а ряд абсолютно сходится при ~ х ! < 1 и расходится при )х! >!. При х=! имеем в случае а >0 абсолютную сходимость, в случае — 1 < а < 0 условную сходимость, а в случае а( — 1 расходимость.
Наконец, при х= — 1 ряд абсолютно сходится, если а)~0, и расходится, если а < О. Что при а > 0 ряд сходится равномерно относительно х в замкнутом промежутке — 1 ( х (О, легко получается из выводов Дополнений к гл. У1, 5 2. ЗОь ГЛ. ЧН!. ИЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ !3 Отметим следующие частные случаи бнномкального ряда: геометрический ряд =(1+х) ! =1 — х+хз — хз+х' — + ... = ~~( — 1)ах"; 1 1+к рнд СО (1 (-х)з 1 =(1+х)-а=1 — 2х+Зхз — 4 3+ —... = Х( — 1)а(а+1)ха, з-о который можно также получить, дифференцируя геометрический рнд; а также и ряды ~/ 1 + х = (1 + х) з 1 + — х — — ха+ —, хз — хз +— !аз , ! ° 3 ° 5 2 2 4 2 4 6 2 ° 4 6 8 1 -", 1 1'3 з 1'3'5 з !'3'5'7 — = (1+х) '*= 1 — — х + — х' — — хз+ хз — + ..
)т! + х 2 2 ° 4 2 4 ° 6 2 4 6.8 Если возьмем первые лва или три члена в зтик рядах, то получим часто примеивющиеся приближенные формулы. 3, Ряд для агсз!п х. Этот рвд проще всего получить. разлагая выраже- 1 ние . по формуле бинома в ркд р1 — тз (1 Гз) Ь 1+ !а+ сз+ 1 1 ° 3 2 2 ° 4 и интегрируя. Этот рнд скоднтся равномерно при (т! ~ 4 < 1. Интегрнрун его почленно в пределак от 0 ао х, мы непосредственно получаем разложение 1 хз 1 3 хз агсз!пх=х+ — ° — + — ' 2 3 2 4 5 которое справедливо при (х ! < 1. При (х ! > 1 этот ряд раскодитсв, каи легко видеть с помощью признака Лаламбера. (Можно доказать, что ряд длн агсз!пх справедлив и при х = ц Ц Вывести зто разложение с помощью формулы Тейлора было бы значительно менее удобно ввиду трудности оценки остаточного члена.
4. Разложение в степенной рвд функции агз!зх=1п(х+ г 1+ха). Этот ряд получается совершенно аналогичным путем: разлагаем производную от втой функции как частный случай биномиального ряда: 1 1 з ! ° 3, 135 = 1 — — х'+ — х' — — х'+— Уг!+хз 2 24 246 и затем почлеино интегрируем. Таким образом получаем разложение в ряд тз 1.3 хз агз!з х*=х — — ° — + — ° — — + 2 3 2 4 5 промежуток сходимости которого есть интервал — !~хе, 1.
4 в. рлзложкниз екнкнии в стпнкннып ряды 469 5. Пример умножения рядов. Разложение функции !и (1+ х) 1+х дает простой пример применения правила умножения степенных рядов. Лействительно, достаточно только перемножить логарифмический ряд хт хв .св 1п(1+х) =х — — + — — — +— 2 3 4 с геометрическим рядом 1 в в в 1+х = 1 — х+х' — х'+х — + ..., и мы получим прн !х) < 1 замечательное разложение: !и (1+х) =х — (1+ — )хт+(1+ — + — )хв — (1+ — + + )хв+ б. Пример почленного интегрирования ряда, Эллиптический интеграл.
Формула для периода колебания маятника (стр. 345) подстановкой Е . а /Т в!и — =в!и — в!ив приводится к виду Т= 4 1рг — К, где (см. стр. 284) 2 2 Ю К= !(ф йв = в!н' — < 1 ,а о ,—... ('-'- ) Для вмчислення етого эллиптического интеграла разлагаем сначала подыитегральную функцию, как частный случай биномнального ряда: 1 1 =1+ — лв в!п'в+ — и в!в'ф+ — А' в!и ф+ 1 3 1 ° 3 ° 5 1Т вЂ” * ~~ 2 2 ° 4 2 ° 4 ° 6 Так как а'в!пор < Лв, то этот ряд сходится равномерно при всех значе- ниях н, и его можно почленно интегрироватви я!з и!з ягт фз «-) Юр !' 1 Р— сэр+ ав в!ив ф бр+ ав в!по ф б!р 1 ° 3 р~1 — Лв в!пв е 2 2 ° 4 о о о о Встречающиеся здесь интегралы были уже раньше вычислены (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
