1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 92
Текст из файла (страница 92)
гл. 1Ч, 9 4, стр. зо3). Подставляя нх значения, получаем — =-('+(-) "'+( — ) '+( — ) "+ -)- о Дальнейшие примеры разложения в ряд даны в Лополнениях к этой главе (стр. 480 н 489). 470 гл. тш. вксконгчмып ряды Упражнения Определить интервалы сходимости рялов ~ч~', а„х", коэффициенты котол 1 рых а„даны в упражнениях 1 — 20, 1 8 Гл та пи+ Ь 15.
() и — 17' . 2. и. 9. 16. —. 1 1п(и+1) ' (2и)! ' Уи 10. 17. +~ !и !п(10и) ' и — и 1 1 11. —. 18. 1 л, е>~0. Уи ( — 1)" и 12. е", с)0. 19. — + и! Ф'й Уи и 13. с 1 7. 20. —. с+и .с 14. и ге!!л Разложить в степенной ряд каждую из функций, данных в упр. 21 — 26. 21. ак 24. соз'х. х+!и (1 — х) х' 23. з!и'х 26. атсз!и х'. 27. Пользуясь одним из частнмх случаев биномиального ряда, вычислить У 2 с четырьмя десятичными знаками.
28. Для следующих интегралов получить приближения в виде рядов (разложить сперва в степенной ряд подынтегральную функцию и этот ряд затем интегрировать): 1 1 а) ' е!х; в) з!и х ! !и (1 +х) ах! о о 1!2 ю б) ~ '; г) о 5 29. С помощью умножения степенных рядов получить разложения в ряд следующих функций (вплоть до членов с х'): згсз!и х а) ехз!пх; в) У~:х ' б) (!и (1+х)!2! г) з!и'х. 30*, Методом перемножения степенных рядов доказать, что; а) ЕхЕу= ах+2! 6) ЫП2Х=2З!ПХСОЗХ.
31. Интервал сходимости степенного ряда ~Ч~ ~а„х" есть (х~ < р, а интервал сходимости ряда ~я~~ гихл есть ! х ! < рь причем р < рь Каков интеРвал сходимости РЯда ~ЧР~ (а, + Ьл)х"7 32. Пользуясь методом неопределенных коэффициентов, найти фушс:цию у(х), удовлетворяющую следующим условиям: а) у (0) = 3; б) у' (х) = у (х) + х.
Ц 5 7. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЪ|МИ ЧЛЕНАМИ 471 (33. Дано: функция у(х) разлагается в степенной ряд в промежутке ( х ! < Р. Доказать теорему: а) если у(х) есть четная функция, то этот степенной ряд содержит только члены с четными степенями х, 6) Если У(к) — нечетная функция, то ее разложение в ряд по степеням х содержит только нечетные степени аргуиента.) В 7. Степенные ряды с комплексными членами 1. Введение комплексных членов в степенные ряды. Сходство между некоторыии степенныии рядами для функций, которые на первый взгляд совершенно различны между собой, побудило Эйлера установить чисто формальным образом связь между ними. Он нашел эту связь, допуская, что переменная х может принимать и комплексные, з частности чисто мнимые, значения.
Мы вначале поступим беззаботно таким же образом и убедимся в плодотворности такого приема. Первое поразительное соотношение такого рода получим, заменяя 5 степенном ряде для е величину х чисто мнимой величиной + Йр, где лр — дейстзи|.ельное число. Принимая во внимание основное соотношение для мнимой единицы (, именно р = — 1, из которого вытекает, что 15 = — й (л = 1, 15 = 1 ..., и отделяя в полученном ряде действительную часть от мнимой, непосредственно имеем ( 21+ 4' 6'+ ''') члл,~Л,~Е лтл лаз ф| 31 5! 71 = ~.— — + — — — + —..) или, в другой записи, е'ч =созлр+15(плр, е-|в =созлр — (5(плр.
Э|о в высшей степени важные л)уормулы Эйлера, носящие пока чисто формальный характер. Вторая из них получается из первой заменой лр на — лр. Формулы Эйлера находятся в согласии с формулой умножения комплексных чисел, записанных в тригонометрическом виде: (с О 5 ф + 1 5|п лр) (сов ф + 1 5|п ф) =. с о 5 (лр + ф) + 1 51п (ф + ф).
В силу первой формулы Эйлера это равенство принимает следующий вид: е'ч ° елс = е'(чэз|. Оно, стало быть, просто показывает, что тождество е ° ет = е~+Р сохраняет силу и для чисто мнимых значений х=лгр, у=лф. Если в степенных рядах для соз х и для 51п х заиенить аргумент х чисто мнимой величиной (х, то сразу получим степенной ряд для си х и умноженный на ( степенной ряд для зй х: соя 1х= с(1 х. 51п(х =155 х гл. ч!и, весконечные Ряды с!г х = со51х, зп х = — $!Е1х.
1 =1 Из формул Эйлера ег» = соз х+аз!п х, е ы = сов х — 1з!п х находим выражение тригонометрических функций з!пх и созх через показательные функции: еы — е-'» Р~»+Е-~» 3!пх=, сов х= 21 Эти выражении напоминают нзвестные' нам выражения гиперболических функциЯ через показательные а» а»+е-» зп х=, сп х= — ~— и получаются из-последних заменой х на 1х: 1 з!их= —. зп1х, созх=си 1х.
1 Соответствующие формальные соотношения Можно, конечно, вывести и для функций !ех, !Их, с!Кх, с!!гх, связанных равенствами !!г х = — !е 1х, с!й х = 1 с!а 1х. 1 Наконец, аналогичные соотношения можно вывести также для обратных тригонометрических и обратных гиперболических функций. Так, например, из равенства еа» а-с» аы» ! 1(е'»+е '») 1(еы»+1) непосредственно находим атг» 1+ 1у Логарифмируя это равенство, имеем 1 1-1-1у 1+!у х = — !и . или агс!ду= — 1п— 21 1 — гу 21 1 — 1у ' Заменив здесь у более привычным х, получаем равенство агс!и х = — 1и 1 1+ах 21 1 — гх ' устанавливающее замечательную связь между агс!Ех и логарифмом. Ясли в известный ряд для — !п — подставим вместо х величину 1х.
1 1+х 2 1 — к то действительно получим знакомый степенной ряд (1Х!э (1»!5 ! хз хз агс!к х = — !11Х + — +- — +... ! = х — — + — +... 3 5 '"~ 3' в 21 4 х степвннын гяды с комплексными члвнлмн 47З Все эти соотношения носят пока чисто формальный характер и нуждаются, конечно, в более точном выяснении их смысла. В бли. жайшем пункте мы наметим, как это можно сделать, опираясь на теорию функций.
В дальнейшем, однако, нам понадобится только формула Эйлера еме= созю+1з1пгр, а для обоснования этого соотношения можно обойтись без подробного анализа с помощью теории функций; достаточно просто рассматривать символ е'е как формальную сокращенную запись выражения созф+гз1пгр. Тогда формула его. еге=еые+Ю является простым следствием влементарных тригонометрических теорем сложения.
Далее, для того чтобы сделать соотношение е"ее=елях справедливым и для любых комплексных значений аргумента, мы, оставаясь на формальной точке зрения, вводим новое определение: ел=-еь(созт1+1з1пт1) при х= =й+1т1 (~ и г) — действительные числа). 2. Краткие указания из области теории функций комплеисной переменной. Хотя указанная чисто формальная точка зрения сама по себе безупречна, все же хочется в предыдущих формулах видеть нечто большее, чем чисто формальные определения. Стремление к втой цели приводит к общей теории функций, как сокращенно называют теорию так называемых аналитических функций комплексной переменной.
В теории функций можно взять за исходный пункт установление обшей теории степенных рядов с комплексными переменными и комплексными коэффициентами. Построение такой теории степенных рядов действительно не представляет никаких затруднений, если ввести сначала понятие о пределе в области комплексных чисел, и выполняется почти точно тем же самым путем, как и для действительных чисел. Так как нам в дальнейшем не придется этим пользоваться, то я приведу здесь только несколько теорем, не приводя доказательств.
Оказывается, что для степенных рядов в комплексной области имеет место следующая теорема, прелставляющая непосредственное обобщение теоремы й 5, и' 1, стр. 460: Если степенной ряд сходится при комплексном значении х=~, то он сходится абсолютно при всяком значении х, для которого ~х ((!~(; если ряд расходится при некотором значении х=$, то он расходится также при всяком значении х, для которого 1х~)1С1. Степенной ряд, который сходится не только при х=О и не является повсюду сходящимся, имеет круг сходимости, т.
е, существует такое число р) О, что при ! х ) р ряд абсолютно сходится, а при ) х ( ) р ряд расходится. Это число р называется радиусом сходимости степенного ряда. Коль скоро установлено понятие о функции комплексного аргумента х, выражаемой с помощью степенного ряда, и установлены правила действий над этими рядами, то функции е", з1пх, созх, агс1я х и т. д., как функции комплексного зргумента х, просто определяют с помощью тех же степенных рядов, которыми они гл. уп!. Бесконечные Ряды 4Т4 выражаются для действительных значений х.
Тогда все данные выше формальные соотношения становятся просто очевидными. Поясним на двух примерах, какую пользу приносит рассмотрение комплексных переменных для понимания элементарных функций. Гео- 1 метрическая ряд для функции 1,, а также степенной ряд для 1+х' ' агс1д х перестают быть сходящимися при переходе через границы интервала — 1(х-(1. хотя обе эти функции не обнаруживают на концах промежутка сходимости никаких особенностей и при всех действительных значениях х они и все их производные непрерывны. 1 Что ряды для 1, и 1п(1 — х) при переходе через точку х=! перестают сходиться, нам, напротив, вполне понятно, так как при этом значении те функции обращаются в бесконечность.) Но то, что ряд для агс!Вх и ряд ~~! ( — 1) х» для — при (х!) 1 пере- 2» 1 1+ х' стают быть сходящимися, становится сразу ясным, если рассматривать также и комплексные значения х.
Дело в том, что при х=1 функции, выражаемые этими рядами, обращаются в бесконечность и, следовательно, не могут уже быть представлены с помощью сходящегося ряда; поэтому теорема о круге сходимости сама по себе исключает возможность сходимости рядов в области действительных чисел вне промежутка ( х((!. Второй пример представляет рассмотренная нами раньше (стр, 386) функция У(х)=е-'! ' при х~О, у(О) =О, которая, несмотря на ее регулярный характер, не разлагается в ряд Тэйлора. Но дело в том, что функция перестает быть непрерывной в окрестности нулевой точки, как только станем рассматривать чисто мнимые значения х=!Е. Функция переходит тогда в епм и при Е-ьО неограниченно возрастает. Поэтому понятно, что для нее не могкет существовать разложения в степенной ряд по степеням х.
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ ЧП1 ф 1, Умножение и деление рядов 1. Умножение абсолютно сходящихся рядов. Пусть даны два абсолютно сходящихся ряда: ~ а„= А и,~'„Ь» = В, Поло!ким с„= аеЬ„+ агб„!+ а»Ь„Я+... + а„,Ь, + а„Ьз. дополнения к главе щп 475. Мы утверждаем, что ряд Х с»=ввЬо-+(пеЬ~+л Ьо)+(лоЬэ+пА+л»Ье)+ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
