1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Тогда задача состоит просто в изучении поведения функции у = Яп гзгх + юп 0)зх (011 ) ыа ) 0). По известной формуле тригонометрии у=2соз, х з1п ' ' ' х. ы, — Ф,, кч -~-Ф, 2 2 Явление, описываемое этой функцией, можно рассматривать следующим образом: происходит колебание с круговой частотой ' + ' 4п 2 и с периодом + , но амплитуда колебания не постоянна. На- против, эта «амплитуда» дается выражением 2 соз ' ' х, она ,ф' Рис. 125. периодически изменяется и имеет более продолжительный пери д 4Ф ериод Эта точка зрения особенно полезна и наглядна в том случае, когда обе круговые частоты относительно велики, а их разность очень мала по сравнению с ними. Эти р ти ритмические колебания амплитуды называются биениями.
Явление биений знакомо, главным образом, из акустики и, возможно, также иа радиотехники. В радиотехнике передаваемые частоты ы н ьг, волн обычно во много раз превышают частоты звуковых колебаний, между тем как разность ы, — геэ попадает в область акустических частот. Эти биения преобразовывают в звуковые колебания, восп иннмаемые человеческим ухом, в то время как первоначальные колебания недоступны для слуха. Пример биений изобраагеп графически на рис.
125. ГЛ. 1Х. РЯДЫ ФУРЬЕ 2 2. Применение комплексной записи 1. Общие замечания. Исследование колебательных процессов н периодических функций формально упрощается, если пользоваться комплексными числами и пару тригонометрических функций созых И З(ПЫХ ОбЪЕдИНятЬ В ВЫражЕНИЕ ВИда СОЗЫХ+1З!ПЫХ=г1ях (Ср. гл. Ч!!1, 2 7). При этом следует помнить, что одно равенство между комплексными величинами равносильно двум равенствам между действительнымн величинами и что полученные результаты надо всегда истолковывать и осмысливать в действительной области. Заменяя везде тригонометрические функции показательными по формулам 2 СОЗ Х = Егх+ Е-гх 21З(П Х = Е(х Е-(х мы приходим к выражению гармонических колебаний с помощью комплексных функций е(вх и е-(ех или (при наличии начальной фазы ы$+ О) с помощью функций ае(Ф(х-1! и ае-1Ф(х-$! где а, ы и ы$ (амплитуда, круговая частота и начальная фаза)— действительные величины. Реально происходящие колебания получаются из этого комплексного представления как его действительная и мнимая части.
Удобство комплексной формы записи для многих целей вызвано тем. что производные от комплексной показательной функции, описывающей колебательный процесс, получаются формально по знакомым правилам дифференцирования так, как будто бы 1 было действительной постоянной. Это выражается следую(цей формулой — а )соз ы(х — ь)+1з!пы(х — э)) = а ах =ам) — з!п(о(х — Ц)+1созы(х — $)) = = 1аы )соз ы (х — Э) +1 з(п ы(х — З)) .или ав(Ф(х- и! 1аыа(Ф(х-!! тт пх Комплексный способ записи тригонометрических функций можно применить и под знаком интеграла. )Так, например, формуле дифференцирования (1) соответствует формула интегрирования ае(Ф(х-1(с(х~ е(Ф(х-1!+С га где С вЂ” произвольная комплексная постоянная интегрирования. Пра.вило интегрирования окааалось формально таким же, как у дей- аз.
пгимвнвнив комплвкснон записи ствительной показательной функции.] Соответственно этому вводим следующее определение: ] У(х) е'~" ~(х = ] У(х) совюхНх.+г']' У(х) в|пюхах. В частности, ( О прн целом и, положительном илн отрицательном. ( ~ 2л при и=О, откуда ( О при и + т, если т — и — целое число, емте гл.,х 2л при и =т. Этот результат в случае и чь т при целых значениях ги и и представляет собой не что иное, как некоторое объединение соотношений ортогональиости, выведенных на стр. 247 для тригонометрических функций. 2.
Применение к изучению переменного тока. Проиллюстрируем эти вопросы на важном примере. Зля большей ясности будем обозначать аргумент, время, не через х, з через Е Представим себе электрическую цепь с омическим сопротивлением Р и самоиндунцией Е, к которой приложена внешняя электролвижущая сила (напряжение, вольтаж) Е. В случае постоянного тока величина Е постоянна н сила тока У определяется заноном Ома: Е = ЛУ.
Если же речь идет о переменном токе, то Е, а следовательно, и сила тока У являются функциями времени Г и закон Ома принимает следующий обобщенный вид (см. стр. 211): а'У Е вЂ” А — = ЕУ. а'г В простейшем случае, изучением которого мы здесь ограничимся, внешняя электродвижущая сила Е есть простое гармоническое колебание нруговой частоты о, Но вместо того, чтобы брать это колебание в виде а сова« или а в1п ме, мы формально объединим эти две возможности в комплексной записи Е = Е,еа» = Е» (сов не+1 в1п ыс), где действительное число Е, (> 0) обозначает амплитуду. С втой «комплексной элентродвижущей силой» мы будем оперировать так, как будто бы й было действительным параметром, и по ней найдем «комплексную силу тока» У.
Смысл того соотношения между комплексными величинами Е и У, ноторое мы при этом получим, таков: сила тона, соответствующая электро- движущей силе Е,савик, есть действительная часть комплексного числа У, а сила тока, соответствующая э, д. с. Е»в!п»М, равна мнимой части У (т. е.
ноэффициенту при (). Комплексную сийу тока У нетрудно вычислить, если исходить из гипотезы, что сила тока есть тоже гармоническое колебание с круговой частотой а, и искать У в виде следующего выражению У = аепм = а (сов»н+ (в1п а(). 13 ГЛ.!Х.
РЯДЫ ФУРЬЕ Тогда для производной от р' получится формально выражение — =!Фие =Фа( — з!пиг+!созря). ри! ит иг.( Подставляя показательные выражения для р' и — в обобщенную форму Ж закона Ома и сонращая на егьы (общий множитель всех членов), получим уравнение Ер — Е!Фи = Еа, откуда Ер Е+ !ФЬ так что Е = (Е + !ФЬ) У = Цтл. Величину )т' = Е+!ФА удобно назвать комплексным соррротиллркием цепи; тогда последнее равенство можно рассматривать как закон Ома для переменного (синусоидального) тока в комплексной записи.
Он звучит совершенно так же, как и для постоянного тона: сила тона равна электродвижущей силе, деленной на сопротивление. Запишем комплексное сопротивление йт в показательной и тригонометрической форме: Пг = Е+ !ФЬ = шерр = ю (соз Ь+ 1 зри Ь), где ш = 1 йг); тогда тв =)тЕР+ еЧ.Р. 1К Ь = —, ФЕ И ' и выражение для комплексной силы тока получит следующий вид: Е Ерр Ер ! (Фр-а! ир! у= — = — )Ь-= — е и' ше ш Согласно втой формуле, действительная сила тона имеет ту же круговую частоту (и тот же период), что и напряжение; амплитуда силы тока равна )п1 и выражается через амплитуду Е, напряжения так: )а!= —.
Ер Ю Кроме того, сила тока запаадывает в фазе на Ь/Ф по сравнению с электро- движущей силой. Сила тока достигает своего максимума, а также своего минимума не в тот же момент времени, что напряжение, но на Ь/Ф позже. В электротехнике величина ш = )' ЕР +ФРЬР носит название импеданса или полного сопротивления цепи для переменного тока круговой частоты Ф.
3. Комплексная запись суперпозиции гармонических колебаний, До сих пор комплексное обозначение применялось для совместной записи двух гармонических колебаний, Однако в комплексной форме можно представить и одно-единственное гармоническое колебание, а также н суперпозицию гармонических колебаний вида 8 (х) = а + ~ (п„соз йх + Ьа з 1и йх). $2. ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНОИ ЗАПИСИ где для простоты положено ю = 1. Лля етого надо лишь подставить в 8(х) выражения соя/гх= — (е'и'+е-гп") и з1пйх= — (еглп — е-гав), 1 1 2 21 и наша сумма примет следующий вид: 8(х) = ~~'., аае'и'.
л -и причем комплексные ноэффициенты а„связаны с действительными числами а, аа и Ьа равенствами: аа аа+.а а, а=а„, Ьп — — 1(ап — а 2). Обыкновенно полагают а=аз — — аз/2 с той целью, чтобы равенство оп = аи+ а „формально включало и случай й = О. Обратно, всякое выражение вида еглп а--л можно рассматривать как наложение гармонических колебаний, записанных в комплексной форме. Для того чтобы результирующее колебание было действительным, требуется лишь, чтобы аз+а а было действительным, а аа — а „чисто мнимым числом, т. е. аа и а л должны быть сопряженными конплексными числами.
4. Вывод одной тригонометрической формулы. Комплексная форма записи дает возможность очень просто доказать одну формулу, ноторая в дальнейшем понадобится. Это тригонометрическая агормули суммировиния ол(а)=.— +сова+сов 2и+ ... +сон пи= ' + ' ' 1 Ып (я+1/2) а о 2 з1п— 2 справедливая прн всех значениях и, за исключением значений о, ~ 2п, ~ 4и,... Для доназательства заменим все косинусы их выражениями через показательные фуннцин и тем самым приведем нашу сумму к виду л ты ыи ол (и) а -л 1 (е-гпи «е-гсп-Пи+ «„е-гп «„1 «еги «ежи+ «еыи) 2 В правой части в скобках перед вами геометрическая прогрессия со знаменателем е = е'и+ 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
