1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Из сравнения с геометрическим рядом 12п)' ~ 1п 4 г 1 — ) видно, что этот степенной ряд 'по г сходится по край- а'л« 2п ) и-1 ней мере при (л~ < 2л, т, е. его радиус сходимости не меньше чем 2п при всех аначениях 1. Согласно общей теории степенных рядов (см. стр, 460 и след.), ряд для Р(1, л) сходится равномерно при всех ( л)~(г < 2я и при всех значениях 1; стало быть, его можно в этой области интегрировать почленно. Бго можно также и дифференцировать почленно при условии, что ряд, полученный дифференцированием, тоже равномерно сходится.
ГЛ. !Х. РЯДЫ ФУРЬЕ Эти свойства дают возможность вывести явное замкнутое выражение для производящей функции г'(1, з). Почленное лифференцирование по Г дает —,)-(1, л)= ~)~~ф'„(1)г"= ~)',ф„,(1)л"= п 1 п 1 — (Р) ал-1 Л ~~о~ ф (Г) Лпо Л Р' (Р и.=! Ф-О Итак, ряд, полученный дифференцированием, имеет тот же вид, что и исходный ряд, и, стало бьжь, без сомнения, равномерно сходится, так что почленное дифференцирование оправдано.
Отсюда вытекает, что Г (1, а) удовлетворяет дифференциальному уравнению оси — =- зг р!г при всяком фиксированном значении г, для которого ! г ( ( г ( 2н. Как известно (см. стр. 207). все решения этого уравнения выражаются формулой Г= се". где с — постоянная, но здесь ее значение еще может быть функцией от г: с=с(г). Для определения с проинтегрируем ряд для Г (1, л) по 1 от 0 до 11 1 ! ~ Р(1, л)И =с ~ е" с(с=с — = о о — ~ впф (Р) г)1 1+ ~Ч)~~ зп ~ ф (Р)с(1 о -о и 1 О с 1 о ° . ° 1 о.
ррр рр - о .р,, > о~ с„„.„.„„, з л с= — и ип 1 (1, з)= Если в этой формуле положить 1=0, то получим знакомую нам (стр. 478) производящую функцию чисел Бернулли и ее разложение в степенной ряд (в нынешних и в прежних обозначениях); Р'((1 я) — 1 + ь зи РР зп жч жч В„ еи — 1 2( " 24 'л! Ив сказанного выше ясно, что это разложение справедливо при ~я(2н.
В Дополнениях к гл. 1!И1, $ 1, и'3, из этого ряда виве- дополнвння к глдвв ~х г г дено разложение в степенной ряд для — с[и — = — + —, которое, 2 2 е' — 1 2' очевидно, тоже справедливо при [г[( 2п. [С другой стороны, если рассматривать этн функции и кх разложения в степенные ряды в комплексной области, то увидим, что знаменатель ег — 1 обращается в нуль при г = 2ий ибо етк~ = соз 2п+ 1з1п 2п = 1, а стало быть, полученные ряды не могут сходиться при г = 2пй Следовательно, степенные г г г ряды для, н для — сш — имеют радиус сходимости г=2п, а в дейег — 1 2 2 ствительной области — интервал сходнмости от — 2п до 2ж[ 3.
Формула суммирования Эйлера. В гл. Ч1, 2 2, и'3, мы вывели формулу Тэйлора с помощью обобщенного правила интегрирования произведения. Совершенно аналогичным путем мы выведем одну важную формулу Эйлера, применяя этот метод к многочленам Бернулли, точнее, к их периодическим продолжениям ф„(х), вместо многочленов .
При этом мы заменим промежуток от х до $ и1 промежутком от 0 до 1. (Это не означает уменьшения общности, так как первый промежуток переходит зо второй, если преобразовать г' — х переменную 1 в з по формуле з = —. ) 5 — х Здесь удобно исходить нз формулы [ у (х)г[х = [ у (х)фз(х)с[х = у(х) ф,(х)[з — ~ у'(х)ф,(х)г[х, в которой мы воспользовались правилом интегрирования произведения, имея в виду, что ф,(х) является первообразной функцией для фз(х). Так как ф (1) = 1/2, а ф,(0) = — 1/2, то у (х) с[х — — [у (1) + у'(О)[ — ~ у' (х) ф,(х) с[х. откуда 2 (уз+-Л)= ~,г (х)с[х+ ~ ~'(х)ф,(х) пх, где Да=у(0) и Л=У(1). Эта формула дает явное выражение для 1 отклонения полусуммы, стоящей в левой части, от ) у(х) г[х.
а Так как такую же формулу можно написать для каждого интервала между двумя последовательными целыми числами, то, в силу ГЛ. !Х. РЯДЫ ФУРЬЕ периодичности функции ф,(х), получим более общую формулу: и п 2 10+Л+пз т ' ' ' + .! п-!+ 2 пи ~ У(Х)(Х+ ~ .! (х)ф!(Х)!1Х. Точно так же для промежутка от р до д, где р и д — целые числа, имеем Ь~+1Р+г+1Р+ + ''' + геи и =~У(.)" — (У,—.У,)+~1(-)ф,(х)". (Л) д р рпг - у-г,у Рнс. 129. ~ /'(Х) ф, (Х) С(Х = (У' (Х) фя(х) — Уп (Х) фа (Х)+— ° ..
+ УЧ (х) фаа (х)] — ),г (х) фза (х) г(». п При п) 1 ф„(д)=ф,(р)=фп(0)=б„а при нечетном и числа дп = 0; поэтому и и ~ У (х)ф!(х)!пх= ~~бгп!(пг (Ч) пп (Р)!+па и 1 Эта формула дает точное выражение для разности между суммой, стоящей слева (общей площадью ступенчатой фигуры, рис. 129), и первым интегралом в правой части У У=гй/ (площадью криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = =у (х) ). Это и есть первая и самая простая запись формулы суммирования Эйлера. Сама собой напрашивается мысль о преобразовании в последней формуле интеграла ) у'(х) ф, (е) г(х Р с помощью обобщенного правила интегрирования произведения (стр.
255). Так как фп(х) является первообразной функцией для ф„ ,(х), то, заканчивая готовую часть членом, содержащим фаы по- лучим 545 ДОПОЛНЗНИЯ К ГЛЛВВ )Х где добавочный (или остаточный) член )сл выражается интегралом Йл = — ~ ) (Х) фал (Х) Пх, л Если в готовой части написать еще один член, то она не изменится, так как этот член будет — У"ю( ) Р„„( )(',=б,„„~У"ю(р) — У"ю®1=О, и только остаточнь)и член получит новое выражение: Йл в л ~ у ь ) (х) ф, „, (х) с)х. Формула суммирования Эйлера примет теперь следующий вид: .у,+.у„,+ ".
+у;,= ~~(.)й — —,(у~ч) — ~(р»+ 1 + ~д~й~ б2л 12 (в)) У (во)1+ та' л-1 где Ил может быть записан в одном из двух видов, данных выше. 4. Приложения. Формула Эйлера находит применения двух различных видов. Во-первых. бывает, что гг — лО при и — «со; в этом случае бесконечный ряд [ук2л-1)( ) у)2вв-1)( )) л 1 сходится, и формула суммирования дает важное вспомогательное средство для представления суммы соответствующего бесконечного ряда в замкнутом виде либо также средство для разлоясения некоторых функций в ряд.
Во втором, к тому же более частом, случае )та не стремится к нулю, так что упомянутый выше бесконечный ряд в большинстве случаев не сходится. Однако встречается такая ситуация, когда значения ))сл! сперва убывают и прн надлежащим образом выбранных значениях и становятся очень малы и лишь позднее (т, е, при больших й) начинают быстро возрастать. В этом случае формула суммирования полезна для приближенных вычислении; не давая возможности достигнуть какой угодно степени точности, как при пользовании сходящимся рядом, она позволяет все же вычислить значение левой части с погрешностью, не превышающей ~ )сл ~, а это~о часто вполне достаточно.
Ниже даны примеры обоих случаев. 35 Р. Курвлт ГЛ. !Х. РЯДЫ ФУРЬИ а) Сходяьйиеся разложения. Рассмотрим сначала функцию у(х)=е' для любого фиксированного г. Положим р=О, !у=1, и пусть и — любое целое число; тогда формула суммирования ! » у,= [ у(х) дх — — (у(ц — у (О))+,'~~ Ья„[у" '(1) — учя !(О)]+ я» о л 1 принимает следующий вид: о' — 1 1 1 =: — — (е' — 1)+ ~)~~~ Ья„х'"-' (е' — 1)+ И„= л ! лл — 1~ л 22» ( )! л 1 где гс» = — [ хя»е™фяь (х) ах.
о 4 Так как )ф2»(х) ! — (см. стр. 541), то (2п)2" 1!С»1< ~ г ~ е — =4е ~ — 1! 2» 1л! 4 !»11 /л! !2» (2п)2" [ 2л / так что )т — »0 при (г[(2п. Стало быть, при этих значениях х можно позволить индексу й в формуле суммирования стремиться к бесконечности, и в результате получится разложение функции — в ряд Тэйлора: ! Ел — 1 Х2л л 1 Это разложение мы уже получили двумя другими путями на стр, 478 и 542. Отметим, что мы еще раз убеждаемся, что интервал сходи- мости равен 2л. б) Суд»мы одинаковых сшененей нальуральных чисел.
Реиуррентные формулы для чисел Бернулли. Еще более простой пример сходящейся формулы суммирования Эйлера представляет тот случай, когда ряд в ее правой части обрывается после конечного числа членов. Это, в частности, произойдет, если у (х) есть многочлен, скажем, степени г (г)~1), так что у (х) и зсе дальнейшие произ!глц водные тождественно равны нулю.
Итак, полагаем г" (х)=х', где целое г)~1, и выбираем р =О, д = гп и Л ~ 2 . Под знаком суммы в правой части формулы г+1 ДОЛОЛНЕНИЯ К ГЛАВВ 1Х Эйлера участвуют члены с производными только нечетных порядков и с коэффициентами Ь2„; не изменяя этим результата, добавим члены того же вида с производными четных порядков и .коэффициентами Ьз, Ьз, ..., Ь2,+и ..., котоРые, как известно, Равны нУлю. В силУ 1 1 1 того, что — — (1 (()) — )'()г)) = — — (1 (т) — / (0)1 — — — У (т)— 2 2 =Ь1 [.гг (т) — У (О)), формула Эйлера примет в нашем случае следующий вив.: 0'+1'+2'+...
+(т — 1)'= ггг 2а = [ хгг(х+~~)~~Ь1[УЧ1 )(т) — у( '(0)1+В . о 1 1 Так как Ь)~ 2, то 2Ь)~г-4-1 и у' (х)=0. а стало быть, г+1 (2о) г(„=0. Равны нулю и все члены суммы в правой части формулы Эйлера с производными порядка г+1 и выше. Но равен нулю и член Ь,„, [У(б(т) — у() (0)1 в силу того, что у(~~(х)=сопя(. Кроме того, г( )(0)=0 при !'=1, 2, 3, ..., г. Поэтому формула Эйлера получает здесь такой вид: г г-1-1 0'+ 1'+ 2'+ ... -+ (т — 1)' = — + )~~ Ь1У! ) (т). Дальнейшие вычисления упростятся, если вместо чисел Ь„ввести числа Бернулли В„, определенные на стр. 478 и связанные с ними соотношением В„=п)Ь„(см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
