1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 108
Текст из файла (страница 108)
е. по направлению, параллельному оси х). Лля частных проиаводных существует несколько различных обозначений, из которых укажем следующие: Вш !в!+~ Ув) — У(~ь Ув) г (» «1 и (» у) и! (х у) Если желательно в самом обозначении подчеркнуть, что частная производная есть предел отношения приращений, то ее обозначают символом д или дх При этом пользуются круглой буквой д вместо обыкновенной А применяемой в обозначении производной от функции одного аргу- 11 э з. пвоизводныв от эвикции многих пнввмвнных ббз мента, желая этим покааать, что речь идет о функции от многик переменных, которую дифференцируют по одной из ник. Иногда удобно пользоваться символом О, введенным Коши (ср.
стр. 116): — =0 1', дУ дх но мы будем лишь изредка пользоваться этим обозначением. Точно таким же путем определяют частную производную от Г(х, у) по у в точке (хо, уо) соотношением У (хо уа + ) У (хо уо у ( . , ) дг =0 у(хз, у)= (х, у)=п„'(х, уо). Эта частная проиаводная по у дает наклон касательной к линии пересечения поверхности и= г" (х, у) с плоскостью х=хо относительно прямой, проходящей через точку (хо, уо) параллельно осн у. Будем теперь рассматривать точку (хо, уо), которая до сик пор считалась неподвижной.
как переменную точку и, в соответствии с этим, опустим индексы О. Другими словами, будем представлять себе, что дифференцирование выполнено в каждой точке области определения функции г"(х, у). Тогда обе частные производные сами окажутся функциями от х н у: (к у) т»(х у) д н п~(х у) у~(к у) д Например, функция и=х'+у' имеет частные производные а =2х и и = 2у, потому что при дифференцировании по х член у' рассматривается как постоянный и имеет производную, равную нулю, а прв дифференцировании по у член хо имеет равную нулю производную.
Аналогично функция и = к'у имеет частные производные ил = Зхоу и и =х'. Таким же образом дается определение частных производных прн любом числе н независимых переменных: дУ (х,, хо, ..., х„) . У (х, + Л, х,, ..., х„) — У (хо хо, ..., хз) = Яш и-оо л =у(""" )= ('х "" ) конечно, в предположении, что предел существует. Ясно, что можно также составить частные производные высших порядков от у (х, у), дифференцируя вновь частные производные <первого порядка» у' (х, у) и у„(х, у) по каждой из независнмык переменных и повторяя последовательно и дальше этот' процесс.
В какой последовательности дифференцируют по разным переменным, отмечают порядком указателей или же порядком символов дх и ду 564 ГЛ. Х. ОЧЕРК ТЕОРИИ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ (г в «знаменателе» слева направо. Таким образом, для частных производных второго порядка установлены следующие символы: По тому же правилу обозначают частные производные третьего порядка: д (дгУ) дУ дх (дхду) дхдудх г'"У" и вообще производные порядка и: 2.
Фактическое вычисление частных производных. В заключение решим несколько примеров на фактическое вычисление частных производных. Соглзсно определению, все независимые переменные, за исключением той, по которой производится дифференцирование, должны сохранять постоянные аначения. Поэтому надо просто все другие аргументы рассматривать как постоянные и выполнять дифференцирование по тем же правилам, по которым дифференцируют функции от одной независимой переменной.
Примеры. 1. Функция у(х, у) = ху. Первые производные: у, = у, у' = х; вторые производные: у„„=о, Уху= УХ.т= 1 Угу =О. 2. Функция у (х, у) = г'хг+у'. Первые производные: У„= у .Р'хг+уг Тгх'+уг Пагна функция равна полярному радиусу г= ггхг+у' точки (х, у). Следовательно, частные производные от полярного радиуса по х и по у таковы: дг х дг у дх г — = — = соя т, — = — = юпФ, где ф есть полярный угол точки (х, »), т.с. угол, образуемый радиусом-вектором этой точки с полярной осью, или, что то же самое, с положительным направлением оси х, 21 2 3. ПРОИЗВОДНЫЕ ОТ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 5бб Вторые производные: х' багха+ уа 'гГха+ уа у2 ха+уа )г(ха+уа)а ху лап ф соз ф х'+ у' )г(х'+ у')' 27 па ф созаф 3.
Функция — обратный полярный радиус в пространстве: 1 1 у'(х, у, х) = )гха+ уа+ лг г Первые производные; )аг(ха+ у2+ л2)а Га )Г(ха +уа+ла)а гд )а (ха+ у'+ л')а 7.2 Вторые производные: 3уа га+ 1 Зха уху= + г' га — +— а'2 г' Зух Злх 7 Уа а ау а-а ' -~ау ~ 22 2.2 га Зху при всех значениях х, у, х, кроме О, О, О; это выражают еще и так: функ- ция у (х, у, л) = 11г является решением «дифференциального уравнения» аггх+агуу+агаа =О 4. Функция у (х, у) = — л ')у у Первые производные: 1 — (х — а) (х ауМу / — 1 + (х — а)' ) (а. д)аы )г у 2у 1 2упа 4у" 1 1 Отсюда видно, что функция у= = — удовлетворяет урав)гха+уа+ха г нению 3 3 (х'+ уа+ л') У„,-( Угу+У„= —,+ =О 555 ГЛ. Х.
ОЧЕРК ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫК !3 Вторые производные: — 1 + (х — а)' ) (» ~!У«у (= 2у'Л 4уи4 3 1 3 (х — а)'+(» — а)') 4 уьт 4 ул 16уч' Стано быть, функция у удовлетворяет уравнению у»» »у=5 при всех значениях х н у. 3. Некоторые факты (без доказательств), Как и в случае одной независимой переменной, существование частных производных является специальным свойством функции'). Счастливым для приложений обстоятельством является то, что все практически важные функции обладзют этим свойством, за исключением, быть может, отдельных особых точек. В отличие от функций одной переменной, из существования частных производных не вытекает непрерывность функции многих переменных. Это ясно показывает пример функции и=...
уже рас- 2»у ху+у« ' смотренной на стр. 660. Эта функция всюду имеет частные производные, и все же она имеет разрыв в начале координат. Однако из существования у функции многих переменных ограниченных частнык производных действительно вытекает непрерывность функции. Зто свойство выражается следующей т е о р е м о й: Если функция у(х, у) имеет частные производные у и У„ всюду в области О и эти производные удовлетворяют всюду неравенствам: ! У. (х, у) ~ < М, !.г',(х, у) ! < М, где М не зависит от х и у, то у(х, у) непрерывна в области О. В частности, если г и у непрерыины в О, то они непременно и ограничены. так что функция у (х, у) тоже непрерывна в области О. Доказательство этой т'еоремы будет дано в т. Н. Читатель, вероятно, заметил, что во всех рассмотренных примерах было у»у = у .
Другими словами, результат дифференцирования не зависел от того. совершалось ли дифференцирование сперва по х, а затем по у или наоборот. Зто не было случайностью, и, действительно, существует следующая т е о р е м а: ') Однако выражение «дифференцируемость» здесь неприменимо. У функций многих переменных этот термин означает больше, чем одно только существование частных яроизводиых; но об этом будет речь во втором томе.
3! з а слОжные Функции и их диФФеРенциРОВАние 567 Если «смешанные» частные проивводные ~„у и уу„от функции г'(х, у) непрерывны в области О, то равейство выполняется всюду внутри области; другими словами, порядок дифференцирования по х и по у безразличен. Применяя эту теорему к ух и уу, затем к ухх, уху н у у и т. д, найдем, что кукку = ухух = уукх ухуу = ууху = пуух' Уххуу = скуку = Гхуух = Гухху = уукук = ууухх " ™ и, вообще, справедливо следующее предложение: !три повторном (многократном) дифференцировании функции двух переменных можно нак угодно изменять порядок дифференцирования, если только полученные в результате производные являются непрерывными функциями. Доказательство этой теоремы будет дано в т.
И. Упражнения 1. Найти частные производные первого порядка от следующих функций; а) ухх'+у', г) 1 е) !и 3~1+хь+у'. У~1+к+у'+ ' ' б) мп(хг — у); з) ек у~ д) у з!и (хг); 2. Найти все частные производные первого н второго порядка от следующих функций: 3) ХУ; В) 1Н(ЗГС1ЕХ+атегну); д) Ехг. б) !п(ху); г) ху; Ф Найти такую функцию у (х, у), которая является функцией от суммы (х'+уг) к являетса в то же время прокзведеикем вида ф(х) ф(у); другими словами, решить уравнения у (х, у) = ф (хь + уь) = ф (х) ф (у), которым удовлетворяют искомые функции у, Ф и ф.
ф 4. Сложные функции и их дифференцирование (правило цепочки). Преобразование независимых беременных. Дифференцирование обратных функций !. Сложные функции. Часто бывает так, что функция и от независимых переменных х, у задается в следующем виде: и=уф, т), ...), где аргументы $, т), ... функции у являются в свою очередь функциями от х и у: й = ф (х, у). т! = ф (х. у).... ббб гл. х. очвнк тнонии эвикции многих пнпамннных 12 Тогда говорят, что величина и=Ха, Ч, )=У()р(х, у), ф(х. у), . ) =Е(х, у) .задана как сложная функция от х и у. Например, функция и = е»» (х + у)' может быть записана как сложная функция так: и= — е1)) =-У(тй, т1), с=х у, )1=»+у. Точно так же н функцию =) ) -)-)) )') — *' — )' можно записать как сложную функцию в следующем виде: )=~)*, ).
)=Л вЂ” ' — », ' =)')*.).)). Для того чтобы уточнить понятие сложной функции, предположим сначала, что функции С = ц) (х, у), т1 = ф (х, у), ... определены в некоторой области О независимых переменных х, у. Тогда каждой точке (х, у) области О соответствует точка (с, т1, ...) в «пространстве» с координатами Э, т1, ... Когда точка (х, у) пробегает -область О, то точка (ь, т1, ...) будет пробегать некоторую область В переменных й, з), ..., а в этой области В определена функция у'Я, »1, ...). В конечном итоге функция и = у ()р(х, у), ф(х, у), ...)= = Р (х, у) определена в области О.
Обращаясь к на)пим примерам, находим в первом примере, что й и )1 определены при всех значениях х и у; у (В, т1) тоже определена при всех С. г1, стало быть, за область 0 можно принять всю плоскость х, у. Бо втором же примере область В ограничена неравенством ) Д ~ ( 1, так ьак функция агссоз с определена лишь при таких значениях 1. С другой стороны, и область О ограничена неравенствами х+1 » О и х'+у' <4, так как й н г1, как функции от х, у, определены только при этих условиях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
