1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 109
Текст из файла (страница 109)
Кроме того, область 0 должна быть ограничена еще п условием х'+у'>3, для того чтобы точка (а, т)) лежала в области В: ) С ! < 1. Стало быть, область 6 состоит из той части кольца 3 (х'+у'~4, которая лежит. справа от прямой х= — 1. Непосредственным следствием наших определениИ являешься следующая т е о р е м а о сложных функциях: Если функция и = у" Я, »1, ...) непрерывна в области В, а функции с=)р(х, у), т1=ф(х, у), ... непрерывны в О, то сложная функция и =р(х, у) непрерывна в области О. Читатель в состоянии сам доказать эту теорему.
2. Правило дифференцирования сложной функции (правило цепочки). Начнем со сложной функции простейшего вида и =у (з, т1, ...), где с, т), ... зависят лишь от одной независимой переменнои х: $=ц(х), з)=ф(х), ... Для дифференцирования такой функции существует важная теорема, известная под названием правила цепочки: а с, сложные эхнкции и их диэфепенциоовлние Если функция и= С" (З, Ч, ...) имеет непрерывные частные производные первого порядка в области В, а функции ~ =ср(х), Ч = ф(х), ... имеют непрерывные первые производные в области О, которая здесь является отрезком а(х(Ь, то функция и =с (цс(х), ф(х), ...) = Г(х) имеет в О непрерывную производную по х, причем Г'(х) =азсср'(х)+ Ячф'(х)+ ... =УЯ+У„Ч'+ ° ° ° В этой формуле ~а и у являются сокращенными записями: уь = Гь(ср(х), ф (х), ...), уч = уч(ср(х), ф (х), ...). Докажем эту теорему.
Для упрощения записи примем, что ЯвлЯетсЯ фУнкцией тРех зРгУментов: З, Ч, ь, Обозначим чеРез хо произвольную фиксированную точку интервала а ( х ( Ь, через Ео, Чы ьо — соответствУющие значениЯ Ц=сР(хо), т!о — — ф(хо), ко=)((хо), а через $, Ч, ь — значения ср(х), ф (х), )((х), соответствующие переменной точке х = хо+ Ь. Напишем прежде всего тождество Г(х) — Г(х,)= уК.
Ч, ь) — У(ро, Ч,, ~о)= =!.Уа. Ч. ~) — Пьо, Ч, ~))+(Уао, Ч. и — У(Ь' Ч.. И+ +!Уйо Чо ~) — У(Ьо Чо. ~о)! В правой части в каждой квадратной скобке только один из аргу- ментов изменяет свое значение. Поэтому к каждому выражению, заключенному в квадратные скобки, можно применить теорему о сред- нем значении для функций одной переменной. В итоге получим Г(х) — Г(хо) = =а — Ыуа(З, Ч, 1)+(Ч вЂ” Чо)у,ао.
Ч, Ь)+(~ — Е)уаа Чо "). где Э вЂ” некоторое промежуточное значение между с и $. Ч вЂ” между Чо и Ч, а ь — между ьо и ь. Затем, опять по теореме о среднем зна- чении, имеем: З вЂ” со — — ср(х) — ср(хо) = (х — хо)ср'(х,), Ч вЂ” Чо=ф(х) — ф(х ) =(х — хо)ф'(хг), ~ — ( = К (х) — К(хо) = (х — хо) Х'(хз) где х,, хг и хз — некоторые промеисуточные значения между хо и х.
Подставляя выражения этих разностей в предшествующее равенство Г (х) — Г (.ть) и деля его на х — хо, получим =уа(з, Ч, ьг)Ф (хс)-+ +ссч(его Ч гь)ф (хг)+УС(ььо Чо гь))('(ха), Заставим теперь х стремиться к х. В силу непрерывности функций ср(х), ф(х), )((х) величины $, Ч, ь стРемЯтсЯ к пРеделам $о, Чо ~о соответственно.
Тем более стремятся к последним З, Ч, ь. Промежуточные значения х,, 57о Гл. к, ОчсРк теОРии Функций мнОГих пеРеменных гг х, хз стремятся к хо, Так как все функции, участвующие в правой части последнего равенства, непрерывны, то йщ "(х) . „( ') = р'(хо)=Ха ($о Чо ~о) Ф'(хо)+уч(Во Ъ ~о) Ф'(хо)+ +Л( ° Ъ ~о) у.'(хо). Тем самым искомая формула для Г'(х) доказана. Непрерывность производной Г" (х) вытекает из выведенной формулы, так как Ф', Ф' и ~' непрерывны по условию теоремы, а 7а, гч и ус являются непрерывными функциями от непрерывных функций.
Эту теорему можно распространить на сложные функции от двух или большего числа независимых переменных следующим образом: Если функция и =у'(С, т), ...) имеет непрерывные частные производные первого порядка в области В, а функции С =Ф(х, у), г) =Ф(х, у), ... имеют непрерывные частные производные первого порядка в О, то функция и = Г'(х, у) =У(<р(х, у), Ф(х, у), ...) имеет непрерывные частные производные по х и по у в области О, и эти производные получаются по формулам р,=ШЕФ,+1 Ф + " р =уаФ +учф +- Эти формулы можно записать и в следующем виде: и,=иД +ичт) + ..., и =иД +и„~,,+ ...
Для того чтобы установить справедливость этих формул, введем временно обозначения: д'(х)=Ф(х, Уо). Ь(х)=Ф(х Уо) гле Уо есть какое-либо выбранное постоянное аначение переменной у. По определению частных производных имеем д'(х) = <р„(х, уо), й'(х) =Ф„(х, уо),,... Точно так же, если ввести обозначение Н (х) = = Г (х, Уо), то Н'(х) = Р (х, Уо).
По только что доказанной теоРеме мы можем теперь найти производную по х от функции и = Н (х) = = 7(С, В, ...)=~[у(х), 7г(х), ...): Н'(хо)=уая'(х,)+~ч7г'(хо)+ ... Возвращаясь к прежним обозначениям, имеем (хо Уо) =Уафг(хо Уо)+Учфг(хо Уо)+ ° Вторая формула доказывается таким же путем. Для вычисления частных производных высших порядков надо только вновь дифференцировать правые части наших формул по х и по у, рассматривая /а, рч, ... как сложные функции. Для функции и =у'($, г)) =7'(Ф(х, у), Ф(х, у)) мы таким путем получим: и„„= у,аФ', + 2у,„ц„:Фл+ у„„фг+ асаф,„+ у,ф,„ ил =УЕЕФгср +Уач(Ф Фу+ср,фг)+У Ф-Ф -+ШЕФ +Учф "уу =уаРу+ уачФуфу+уячф +уаФуу+учфуу 1 Ф СЛОЖНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 571 З Врнмеры 1) и эхсаУ+Усосх Мы здесь положим б=х!еу, ц= у сот х, так что Е =!еу, э = —, х соээ у П„= — у э!их, Пу= соэ х.
Так как и=э!+я, то и1 = и, = еа+ч, и, следовательно, и =э"гау+уссэ~(!Еу — уз!пх), и =гс~ау+усээ"! +соэх). У= ! соэ'у 2) В качестве примера сложной функции, зависящей в конечном итоге от одной независимой переменной, возьмем (,(,)]э!х! ~ч у(~ „) Здесь э= и(х), П= Ь(х). Сразу получаем по правилу цепочки л = уК+ учп' = ч$" ' ~'+ Р !и 5 т!' = ' (х) = ]и (х)]э !ю ~ л (х) — + л' (х) !и у (х)1. Эту формулу мы уже вывели иа стр. 229 с помощью искусственного приема.
Заметим еще, что в этих примерах можно выполнить дифференцирование и прямым путем, не прибегая к правилу цепочки, подобно тому как это было сделано в примерах иа стр. Ьбл — ббб. 4. Введение новых иезавненмых переменных. Особенно важный тип сложной функции воаникает в процессе введения новых независимых переменнь1х (замены независимых переменных). Пусть, например, и =г'(Е, 1)) — заданная функция аргументов Е и т], которые мы истолковываем как прямоугольные координаты в плоскости $, э). Если повернуть координатные оси в плоскости $, т) на угол О, то получим новую систему координат х, у.
Связь между координатами обеих систем выражается уравнениями: е=хсозΠ— уз!пО, т)=хз!пО-+усоэО или х=~созО+т]э!ВО, у= — ез!ВО+у]соэО. Теперь функция и=у(Е, т]) может быть выражена как функция новых переменных х, у: и = 7 (Е, Ч) = г" (х, у). Правило цепочки сразу дает и„= ие соз О+ и„э]п О, и = — ие з!и О+ и„соэ О. Стало быть, частные производные преобразуются по тем же формулам, что и независимые переменные. Это верно н для поворота координатных осей в пространстве.
Другой важный пример преобразования независимых переменных представляет переход от прямоугольных координат к полярным координатам г, О. Этот переход совершается по формулам: х=гсозО, у=гэ!пО, г = )ссхэ + уэ, О = агс!и .У . бт2 гл. х, очгвк теовнн евнкцнп многих пввеменных 15 Для произвольной функции и =г'(х, у), обладающей непрерыв- ными частными производными первого порядка.
получим: гг=У(х, у)=У(гсозб, гз)пО)=Р(г, Е), х у вше и =и г +и 0 =и — — ив — =и созб — и —, х гг Вг 'г ага г з у х С05 0 л., =- иггу + избу = иг — + из = " з1п б+ из Из этих формул вытекает важное и часто применяемое равенство: а +. иа и'+ — гР. 1 ил у г г' з' 5. Дифференцирование обратных функций. Переходя к общей ситуации, рассмотрим две непрерывные функции: ь=гг(х, У), т1=ф(х, У) имеюшие непрерывные произволные в области О плоскости х.
у. Каждой точке (х, у) в О эти функции приводят в соответствие точку 4=~у(х у), Ч=ф(х, у) в плоскости $, Ч. Когда точка (х, у) пробегает область О, то соответствующая ей точка (С, Ч) пробегает некоторую область В в плоскости $, Ч. Возможно, конечно, что несколько рззличных точек (х, у) приведут к одним и тем же значениям для $, Ч, так что различным точкам (х, у) будет соответствовать лишь одна точка (а, Ч). Мы будем предполагать, что этого ие бывает и что, напротив, всякой точке О(с, т)) в области В соответствует точно одна точка Р(х, у) в области О. На установленное нами соответствие можно поэтому смотреть с двух разных, но равноправных точек зрения: можно говорить, что точке Р соответствует О, а можно также сказать, что точке О соответствует Р, Вторую точку зрения можно выразить и по-иному: всякой точке ($, Ч) в области В соответствует одно значение х и одно значение у, а именно координаты точки Р, а это значит, что существуют две функции х=кй Ч), у=)16, Ч)* определенные в области В, которые представляют преобразование (соответствие), обратное по отношению к преобразованию $ = ф(х, у), Ч=ф(х, у).
Часто бывает, что вычислить функции уЯ, Ч) и Ь($, Ч) вовсе не легко, хотя они и сушествуют. Поэтому практически важно полу- ЧнтЬ СРЕДСТВО ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЧаСтНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ из, Кч, ЬЫ Ич непосредственно по частным производным ф„, ф, ф„, ф,„пе вычисляя самих функций К и й. Для этой цели азметим, что если выбрать какую-либо точку О(с, Ч), вычислить соответствующую ей точку' Р(л (ь, Ч), й(э, Ч)) в О, з затем найти точку в В, соответствующую точке Р, а это будет точка ~р(д(э, Ч), й(э, Ч)) ф(л (ь Ч) л(ь Ч)) 573 ь е сложные Функции и их диФФеРенциРОВАние то мы просто вернемся к точке Я.
Стало быть, равенства Ьг фМ(С Ч) !г(Е. 11)). Ч=-ф(а'(Е Ч) й6. Ч)) являются тождествами относительно е и т1. Но если тождественное соотношение дифференцировать по любой содержащейся в нем переменной, то получится вновь тождество, как это непосредственно вытекает нз определения, Поэтому, дифференцируя последние два тождества по й и т), полУчим следУющие тождества относительно с, т1: с 1=-Ф,ЕЕ+Ф,ЛЕ, (О=Ф,Е„+ р,д,г О=ф,к,+ф,йь, ! 1=ф а„+ф„й„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
