1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 112
Текст из файла (страница 112)
Однако мы здесь сформулируем без доказательства следующее более сильное предложение: Если функция у(х, у) непрерывна в гс всюду, за исключением возможных конечных разрывов (скачков) на конечном числе гладких кривых вида у = у'(х) и х = ф(у), то двойной инте гра.г существует. (Напомним, что кривые вида у=у'(х) или х=ф(у) называются гладкими, если функции у'(х) и ф(у) имеют непрерывные производные.) Доказательство этой теоремы мы отклалываем до второго тома.
Оно основывается па том факте, что при безграничном возрастании числа элементарных прямоугольников суммарная площадь всех тех прямоугольников, которые имеют общие точки с лициямн разрывов, стремится к нулю. Поэтому, хотя для таких прямоугольников значения МГ и тг могут сильно отличаться друг от лруга, но в суммы ~ч~~~т.ЛЯГ и ~МТЛЯ эти пРЯмоУгольники вносЯт лишь малый вклад, стремящийся к нулю.
Опираясь на эту теорему, можно дать определение обьема тел, имеющих своим основанием весьма сложные области 0 плоскости хОу и ограниченных поверхностью и =у'(х, у) н боковой цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси и. Действительно, пусть область 0 ограничена конечным числом кривых вила х=ф(у) или у=)'(х) с непрерывными производными ф'(у) и у'(х), и пусть у'(х, у) непрерывна в О. Ззключим область 0 в прямоугольник )с и в точках прямоугольника гс, не принадлежащих области О, мы припишем функции у'(х, у) значение нуль.
За обьем тела, имеющего основанием область 0 плоскости х, у и ограниченного поверхностью и=у (х, у), мы примем теперь двойной интеграл ~ ~ у(х, у)Ю (по л прямоугольнику гс). Зтот двойной интеграл обычно обозначают так: ~ ~ у(х, у)гЮ. о Из опрелеления двойного интеграла непосредственно вытекают некоторые простые, но важные его свойства.
Мы здесь только сформулируем соответствующие теоремы; чита~ель в состоянии доказать их самостоятельно. В в. двоннын и позтогныа интгггллы 1) Если функции г(х, у) и й(х„у) иктегрируемы ло прямоугольнику гг (т. е. для ких существует двойной интеграл ао гс), то и фуккциа /(х, у)+ д(х, у). а также функция су(х, у), где с — постоянная, иятегрируемы ио )т, аричем [ [г (х, у) + й(х, у)[сЮ= ~ ~ у(х, у)б5+ [ ~ й(х, у)сЮ ~ ~ с,у (х, у) сЮ = с ~ ~ 1(х, у) сй. 2) Если )'(х, у) )~д'(х, у) в й, то ~ г (х, у) йЯ)~ [ ~ й'(х.
у) сй. 3) Если область гс есть сумми (обьедикение) областей )[~ и Йг, то 1 1 Х(х, у)йЯ= 1 1 У(х. У) йз+ 1 1 Пх, у) йЕ. л, я, 2. Приведение двойного интеграла к повторному простому интегралу. Мы имеем теперь определение двойного интеграла, его. геометрическое истолкование как объема, а наш опыт с простым интегралом подсказывает обширную перспективу его практических приложений, но мы все еще не обладаем методом вычисления таких интегралов. В этом пункте мы покажем, что вычисление двойного интеграла можно привести к последовательному вычислению двух простых интегралов.
Пусть функция и =[(х, у) определена и непрерывна в прямоугольнике гс (а ( х (д, с ~<, у( й). Если зафиксировать каное-либо вначение хь в интервале а ( х ( д, то функция г (хь, у) будет непрерывной функцией оставшейся переменной у. Следовательно, существует интеграл е У(хь у)ду.
н он может быть вычислен методами„изложенными в предшествующих главах. Этот интеграл имеет определенное значение при любом выбранном нами значении хь, другими словами, этот интеграл является функцией ф(хь) величины хь или, если опустить ненужный уже теперь индекс О при х, ~ г' (х, у) йу = ф (х). ь 584 Гл. х. ОчеРк теОРии Функннн мнОГих пеРеменных 12 Пусть, например, у(х, у)=х'у', 0(х~1, 0(у~3, Пвои всяком фиксированном значении х из интервала 0<х<1 интеграл ~ х'узду= о з , Гу'!з 81 =хь узду=хе ) — 1 = — х', стало быть, его можно вычислить, и ои 'ь4) 4 о является функцией от х. Иля же, если у(х, у) = ест, 1 .
х (2, 1 (ук 4, то ~ ест йу= — (е — ес). ьх х 3 Итак, найдена функция ф(х); можно показать, что она непрерывна, — это является простым следствием равномерной непрерывности функции у(х, у). Но коль скоро ф(х) непрерывна, ее можно интегрировать от а ло Ь. и таким образом получится «повторный ин. теграл» ь ага 1' с( И = !' '(Ц Н , с) сс) с.. а а с Можно пролелать этот процесс в обратном порядке: сперва вычислить ь функцию от у, определенную интегралом ) у(х, у)йх, при фиксированном у, а затем эту функцию интегрировать по у от с ло й; тогда получится другой повторный интеграл: е ь 1 У( .
с)с.)сс. Эти два повторных интеграла получены последовательным вычислением двух простых обыкновенных интегралов, изученных нами в предыдущих главах. Важность повторных интегралов вытекает из следующей теоремы: Длл непрерывной функции у(х, у), а также длн функции у(х, у), имевгцей (самое большее) конечные разрывы (скачки) на нонечном числе гладких кривых, двойной интеграл равен каждому из повторных интегралов: ь е е ь ((П*,Мсс-( (Л*, с)сс «.=( (П..
И *)сс. я а с с а Мы ограничимся наглядным рассмотрением того случая, когда функция у(х, у) непрерывна. В нашем первоначальном рассмотрении двойного интеграла как объема тела, имеющего основанием прямо- 2! а а. двойные и пОВтОРные интеГРАлы угольник а (х (К с(у(сГ и ограниченного сверху поверхностью и = 7'(х, у), мы получили этот объем, разбивая тело на вертикальные столбики и заставляя затем стремиться к нулю лиагонали прямоугольников, являющихся основаниями этих столбиков.
Вместо этого л' — с можно наше тело разбить на слои (пластинки) толщины 72= плоскостями у = с+-ч72 (я=О, 1,,2,..., и). Параллельными плоскости Рнс. !37. и, х (эти плоскости пересекают плоскость х, у по прямым и = О, у = с+тл, ч = О, 1, 2, ..., лг) (см. рис. 137).
Эти плоскости разрезают тело на гл слоев, которые становятся при возрастании гл все более тонкими и общий объем которых равен объему всего тела, т. е. двойному интегралу. Но объем каждого слоя, очевидно, приближенно (но, как правило, конечно, неточно) равен произведению толщины 72 слоя на площадь его левой грани, т. е. й 1 7 (х, с-+ чй) р . а Если воспользоваться знакомым уже обозначением <р (у) = ~ T (х, у) с1х, л то объем слоя получит приближенное выражение Ьр(с+тй), а искомый объем всего тела т — Ъ 'ч' ~ йгр(с+ч72). ч-О ОЗО ГЛ. Х. ОЧЕРК ТЕОРИИ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ |3 При т-» сО эта сумма имеет своим пределом ) ф(у)йу.
Поэтому разумно ожидать, что объем тела или двойной интеграл в точности равен этому интегралу: а это и есть высказанное выше утверждение. Аналогичное рассуждение приводит к наглядному оправланию второго утверждения, что и другой повторный интеграл равен двойному интегралу: ) ~ ~ у (х, у)йу ~ а'х = ~ ~ у(х, у)йЯ. а ||а / и 3. Примеры и замечания. Поясним применение повторного интеграла к вычислению двойного интеграла примерами. Для фуякции и=у(х, у) =х'у в прямоугольнике Л (О~хк, '1, О~ <у<2) имеем 1 г ! 1 ~ х!узы ~ ~ хьуйу их= ~ ~ — ~ их= ~ 2хьих=~ — х4~ = —. и о о о о Этот пример интересен тем, что он принадлежит к общему классу функций, интегрирование которых упрощается на основании следующей теоремы: Если функция и=Г(х, у) в прямоугольнике )с' (а (х (д, с 4у4й) может ныть представлена в ваде произведения функции одного только х на функцию одного лишь у: у(х, у) =|у(х) ф(у).
то двойной интеграл втой функции по прямоугольнику А,' равен произведению двух простых интегра,|ов; ~ |р(х) ф (у) сИ = ~ |р (х) йх ° ~ ф(у) йу. В самом деле, при интегрировании по у функцию |р(х) можно рассматривать как постоянную и вынестн за знак интеграла, а затем, 5 Ь, ДВОПНЫЕ И ПОВТОРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ баТ Ф при интегрировании по х, ~ ф(у)!«у есть постоянное число; следо- с вательно. ь л ~ ~Ч(х)ф(у)"=~ ~Ч(х)ф(у 4"= Я а с ь а ь р(х) ~ ф(у)«(у х = ] ф(у)с(у ° ~ р(х)с(х. а с с а Пример другого типа — функция и = В!и (х+у) в прямоугольнике (О < х < и!2, О < у < и/2).
Имеем (*~-» -] Ц (*с) «) л о 1,а — СОВ Х+ — + СО5 Х «(Х = 2) а а!1 (5!Л Х+ С05 Х) «ГХ = ( — С05 Х + В!П Х] о =1+1=2. 4. Вычисленне двойного ннтеграла по непрямоугольной области. Начнем с кон- р !33 кретной задачи. Вычислим объем ]к вертикальной призмы, имеющей основанием треугольник плоскости х, у между осями х н у и прямой линией х + у = 1 и усеченной сверху пло- 3 х скостью и = — — — — у (грань СЕ1«на рис. 138).
2 2 Начнем с того, что дополним треугольник АОВ (основанне усеченной призмы) до квадрата (]: 0~(х41, 0<у(1 и продолжим функцию и=у(х, у) на весь квадрат Я, полагая у(х, у)=0 вне треугольника АОВ. Тогда при всяком значении х из интервала ]О, 1] функции у'(х, у) отлична от нуля лишь прн 0 (у<1 — х. Поэтому 1 1-5 1 — к Г'(х, у) 5(у = ~ ) (х, у) ««у = ~ ~ — — — — у) с(у = о о о (3 — х у1" 3 — х (1 — х)' =[ у ~ = (1 — х) — 2 =1 — х 2 2]о 2 1, 1 1 с-!«)" «1.. «1«с=!«(!" «1..
».«)«*=]'а — »«.=-'. 2' Я о о о 593 ГЛ. Х, ОЧНРК ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ (4 Прием, которым мы воспользовались в решении этой задачи, можно обобщить на любую функцию и = у (х, у), определенную в области 0 плоскости х, у, ограниченной кривыми у=ф(х), у= = ф(х) и прямыми х = а. х = Ь. Предполагаем, что а ( Ь и )р(х) (ф(х) в промежутке а ~(х~(Ь, причем равенство ф(х) =ф(х) возможно лишь в отдельных точках. Итак, предположим, что область 0 Рис. !40. Рис. !39.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
