1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 116
Текст из файла (страница 116)
Пример. Рассмотрим уравнение у' — ху=х'ут, Здесь а(х)= — х, Ь(х) =х'. Следовательно, ) а(х) йх = — ) хттх= — хт/2+с, так что можно принять а, (х) = — хт/2, и формула преобразованая искомой функции будет у О (Х) Ех62 Теперь у' — ху=о'е Гт+ое ~х — хне 2 о'е Г, и преобразованное х-'Гт «Ч2 «Ч2 х'/2 уравнение получит такой вид: «Чт З 2«~ 3 х*,~2 — е ' =хо е или — =хе Дях. оз Интегрируя, получим хзе Чз«х (хт 2)е 'Д ( е откуда (хт — 2) ех тт + с «Ч2 (2 — хз) ех Г2 — с (2 — хз) + с,е х Гз где с, = — с есть произвольная постоянная. Этот результат можно получить просто подстановкой в готовую формулу, выведенную выше, но проследить метод решения на конкретном примере значительно более поучительно.
Упражнения Решить следующие дифференциальные уравнения в упр. 1 — 7: 1. ху'+у = у'1нх. 1 2. уу'+ — у'=21пх (двумя способами: а) как уравнение Бернулли; 2 б) с помощью замены искомой функции). 3. Зуту'+у'=х — 1 (двумя способами). 4. (х'уз+ хтут+ ху+ 1) у+ (хауз — х'ут — ху+ 1) ху' = О.
5. (х'+ ут) гсу = Зхту нх. 6, у (1п х — 1и у) йу — х йх = О. 7. (1+ест) йх+ ею«(1 — — 1 йу =О. Ус 8. Показать, что дифференциальное уравнение вида О(а,х+Ь,у+с, )' гле а, аь,.. — постоянные, можно преобразовать в однородное, если аЬ, — а,Ь ~ О, следующим способом: надо ввести новую неизвестную функцию и новую независимую переменную: 21 = ах+Ьу+с, $ = а х+Ь,у+а,.
ООО гл. х!. сввдпния о днеевевнцилльных твлвниниях !1 если же аь, — а,ь = О, то введением новой искомой функции ч = ах+ ьу уравнение преобразуется в новое уравнение, с отделяющимися переменными. 9. Применить метод, указанный в предыдущем упражнении, к уравнениям: а) (2х+4у+3) у' = 2у+х+1; б) (Зу — 7х+3) у'= Зу — 7х+ 7. 10. Решить дифференциальное уравнение у'+у' = 1/х'. ф 2. Дифференциальное уравнение второго порядка; его общее решение и частные решения. Неполные уравнения второго порядка 1. Общее решение и частные решения дифференциального уравнения второго порядка. Начальные условия. В задачах механики и физики чаще всего встречаются обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка, в которых независимой переменной служит время 1.
Поэтому мы в дальнейшем будем обозначать независимую переменную через Г, а искомую функцию через х. В гл. Ч, 9 4 (стр. 337 — 339), мы уже имели дело со следующими уравнениями второго порядка: гах = шн — гх, гах = шн — гха, гах = — /Ьх, г = / (з). Все эти уравнения были решены полностью: для первых трех решение удалось выразить через элементарные функции, а решение последнего уравнения было выражено в квадратурах, т. е. с помощью интегралов от заданных функций.
Во всех этих задачах найденное для искомой функции выражение х(Г) содержит помимо независимой переменной еще и два совершенно произвольных параметра с, и с!. Это общее положение. В отличие от дифференциального уравнения первого порядка, общее решение которого содержит одну произвольную постоянную, для всякого дифференциального уравнения второго порядка существует «оби1ее решение» х(Г, с,, сД. содержащее две произвольные постоянные с, и см именуемые постоянными интегрирования. Подставляя вместо с, и с! какие-либо определенные значения. получим каждый раз определенное частное решение, и притом любое частное решение може~ быть получено из общего решения подстановкой вместо с, и с! подходящих частных значениИ. Таким образом, общее решение есть множество всех частных решений. Этот факт вполне понятен (в частности, на задачах, рассмотренных в гл.
Ч, 9 4). Нельзя ожидать, что одно только дифференциальное уравнение физического процесса само по себе определит полностью его течение. Напротив, представляется естественным, что в определенный момент времени, скажем в момент Г = О, можно выбрать произвольно начальное положение х(0) = хе и начальную скорость х(0)=хз (короче говоря, начальное состояние); другими словами, в момент времени 1=0 материальная точка может быть приведена в движение из любого начального положения с любой начальной г! г г.
диаеегенцилльнов квлвнннив втогого погядкл 607 скоростью. И уже когда это выполнено, можно ожидать, что движение будет вполне определено. Лве произвольные постоянные с, н с как раз и служат для того, чтобы выделить то частное решение, которое соответствуе~ выбранным начальным условиям, и этих постоянных ровно столько, сколько для этого требуется. В й 4, п' 4 (стр.
617), на примере дифференциального уравнения колебаний будет поКазано, что это частное решение определяется начальными данными однозначно, и там же мы узнаем, как его выделить. 2. Неполные дифференциальные уравнения второго порядка. Понижение порядка. Лифференциальное уравнение второго порядка непременно должно содержать вторую производную х и может еще содержать независимую переменную Г, искомую функцию х и ее первую производную х.
Таким образом, самое общее дифференциальное уравнение второго порядка имеет следующий вид: Р(Г, х, х, х) = О. Если в этом уравнении не участвуют явно какие-либо иа величин Г, х, х (независимая переменная, искомая функция, ее первая производная), то оно называется неполным. Неполное дифференциальное уравнение второго порядка можно всегда преобразовать в дифференциальное уравнение первого порядка простым приемом: надо принять первую производную х за новую неизвестную функцию. Этот метод называется лгешодом понижения порядка.
а) Очень просто это сделать, если в уравнении не участвует явно искомая функция х. (Присутствуют ли Г и х, безразлично для успеха преобразования.) Уравнение имеет тогда вид Р(Г, х, х) = О. Примем о = х за новую неизвестную функцию; теперь х =о и уравнение принимает вид Р (Г, о, о) = О. Это д. у. (дифференциальное уравнение) первого порядка, которое стараются решить изложенными выше методами.
Пусть найдено его общее решение ф(г, о, с,)=0, содержащее, как полагается, одну произвольную постоянную с,. Подставив сюда вместо о его выражение о=х, получим новое д. у. первого порядка ~р(Г, х, с,)=0. Его общее решение даст искомую функцию х(г) в явном или неявном виде. причем появится вторая произвольная постоянная сг, При мер 1. Решим л. у. 2ахх 1. Это неполное д. у. второго порядка: в нем нет искомой функциях (нет здесь явно и независимой переменной й зто не влияет иа метод решения, но упрощает, конечно, его ход). Вводим новую неизвестную функцию х = сд теперь х = е. дифференциальное уравнение принимает вид бОЕ ГЛ. Х!. СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ Это д. у.
первого порядка с отделимыми переменными: 2ао по=ад Интегрируя, получаем аи'=!+с, нли )~по= х ~/с+с,. Подставив сюда о = х, имеем новое д. у. первого порядка "г'а — = ж ~7+с, или г'а ах= х )гт+с|ат, ггт н новое интегрирование дает 2 у г'а (х+сг) = ж — (г+с,)!х 3 Это общее решение удобнее записать в другой форме, возведя обе части з квадрат: 4 а (х+ сг)' = — (!+с,)'. 9 П р и и е р 2. (1 + х') у" + ху' = О.
Здесь х — независимая переменная; в уравнеиим не присутствует явно искомая функция у. Вводим новую неизвестную функцию у' = р, для которой получается д. у. первого порядка (1+хт) р'+хр = О. Переменные легко отделяются: ар хНх р 1+ха' и, интегрируя, имеем !п ! р ! = — — !п(1+х')+!и! с,(, 1 откуда !р1= !с,! н р= —. с, г'1+х' г 1+х'' (Нет нужды писать ~ сь потому что с, — проазвольпал постоянная, способная принимать как положительные, так и отрицательные значения.) Но р = у', следовательно, имеем опять д.
у. первого порядка а'у с, ах )' 1+ х' откуда у=с,агз(тх+см Это н есть общее решение исходного д. у. вто- рого порядка. б) Пусть теперь д. у. второго порядка не содержит явно независимой переменной г, а искомая функция х в нем присутствует. Уравнение имеет следующий внд: го (х, х, х) = О. (Содержит ли уравнение х или нет, безразлично для успеха метода решения.) Введем и здесь х = о в качестве новой искомой функции, так что х = о. Но здесь мы сталкиваемся с затруднением-.
при введении новой искомой функции предполагается, что прежняя искомая фупк- я! а з. диФФеРенциАльнОе уРАВнение ВТОРОГО пОРядкА 6(9 ция тем самым убирается, а здесь уравнение принимает вид гч(х, о, о)=0, в котором наряду с новой неизвестной функцией о осталась и прежняя х.
Это затруднение преодолевается следующим приемом. Представляем себе, что о зависит от Г не прямо, а через посредство х, так что о есть сложная функция: о=о(х), где 2' а)О х=х(1); поэтому о=ох= — о, и исходное д. у. приводится (гх к такому виду: Р(х, о, оо)) = О, в котором о служит искомой функцией, а прежняя функция х играет роль независимой переменной. Его общее решение должно содержать одну произвольную постоянную с„т. е. будет выражаться так: ф(х, о, с,) =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
