1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 119
Текст из файла (страница 119)
Физически это означает, что если имеется одно вынужденное движение, вызванное внешней силой, и на него налагается произвольное свободное движение (это и выражается прибавлением общего решения уравнения без правой части), то получится процесс, удовлетвОряЮщий тому же уравнению с правой частью, которому удовлетворяет первоначальное' общее вынужденное движение. При наличии трения налагаюшееся свободное движение всегда со временем затухает 1под влия- Г пнем множителя е 2 1. Поэтому для данного вынужденного движения с трением безразлично, какое на него налагается свободное движение; со временем процесс все более и более приближаегся к одному и тому же установившемуся состоянию. бЯ ГЛ. Х!.
СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ и Во-вторых, если сила г (1) разложена на составляющие, то и действие силы можно разложить на части. соответствующие этим ее составляющим. Это означает следующее: если ур)=у (г)+у (г) и если х, = х, (1) есть решение дифференциального уравнения 1пх+ гх+ йх = У1(с), а хз = ха(8) есть Решение УРавнениЯ тх+гх+лх=уз(г), то сумма х(г)=х1(1)+ха(г) является решением уравнения тх+гх+Лх= у(г). Конечно, соответствующее утверждение остается справедливым, если возмущающий член у (г) состоит иа любого числа слагаемых.
Этот простой, но важный факт носит название принципа суперпозиции действия снл. Что касается доказательства, то оно легко получается Лри одном взгляде на дифференциальное уравнение. Указанное свойство дает возможность путем разбиения функции у (~) на два или большее число слагаемых заменить дифференциальное уравнение несколькими более простыми, которые часто легче решить: Важнее всего тот случай, когда внешняя сила у(г) периодическая. Такую периодическую внешнюю силу, если она является кусочно гладкой (стр, 523). можно разложить в ряд Фурье, а стадо быть, ее можно аппроксимировать с какой угодно точностью с помощью суммы конечного числа членов вида а„созпы1+Ьеа!п пот.
Поэтому достаточно будет найти решение нашего дифференциального уравнения для того случая,.когда его правая часть имеет вид аспзыг и дз!пюг, где а, Ь и ю — какие угодно постоянные. Вместо того чтобы работать с этими тригонометрическими функциями, можно получить решение дифференциального уравнения проще и иаящнее, если воспользоваться комплексной записью.
Полагаем у (~) = се'"', и принцип суперпозиции показывает, что достаточно найти решение дифференциалыюго уравнения тх+ гх+ йх = се'"', где с — любое действительное или комплексное число. Смысл такой ааписи заключается в том, что это уравнение объединяет два дифференциальных уравнения с действительными коэффициентами. Пусть для простоты с — любое действительное число. Тогда, .разбивая правую часть на два члена, пользуясь формулой Эйлера ег"'= созыг + +1а1пю1, видим. что наше комплексное дифференциальное уравнение равносильно двум двйствительныл1 дифференциальным уравнениям тх+ гх+ йх = с соз аг и тх+ гх+ йх = с з1п ы а! з 5. линейное уРАВнение с пРАвоя чАстью б21 в том смысле, что решения х,(г) и хг(г) этих двух действительных уравнений объединяются в решение х,(г)+!хг(!) комплексного дифференциального уравнения.
Обратно, если получено решение комплексного дифференциального уравнения, то его действительная часть даст х,(1), а его мнимая часть даст функцию хг(1). 2. Решение уравнения с правой частью вида се' '. Частное решение уравнения тх+ гх+ лх = секи мы будем искать с помощью естественной гипотезы, подсказанной опытом, При этом будем считать с действительным числом и предположим сначала, что г Ф О. Наша гипотеза ааключается в том, что существует такое движение, которое следует за периодической внешней силой в том же ритме и выражается функцией вида х = ое'"', и требуется лишь определить не зависящий от времени множитель о; точнее: требуется узнать, при каком значении множителя о эта функция будет решением, Подставляя в дифференциальное уравнение функцию х =пеки и ее производные х=!еоеьж и х= — егоекк и сокращая на общий множитель е!"', получим уравнение — тета+ 1гео+ ло = с, откуда с о= — те'+!ге+а ' Обратно: ясно, что при этом значении коэффициента о функция ое'"' действительно является решением дифференциального уравнения с правой частью сею'.
Таким образом, комплексное решение такого аида найдено. Для того чтобы разобраться в смысле полученного результата, надо будет еще выполнить некоторые преобразования. Комплексный коэффициент о мы запишем в следующем виде: е а — глег — !ге — с — сае-!"' (а — тег) + гге (а — лег)г + гге' причем положительный «коэффициент искажения» а и сдвиг фазы ай выражаются через известные величины т, г, й так: !к Ой = ге а — те' гге:ътт с'е ' созеб=(л — тег)а, гд и ой = геа. С помощью этих новых обозначений найденное решение записывается так: х сае8е(г — Ю и смысл его таков: сила ссозег вызывает движение сасове(г — б), а сила сз!пег вывывает движение саз!пе(! — Ь).
б2э Гл. х!, сВедения О диФФеРенциАльнь!х уРАВнениях 13 Итак, мы видим, что действие силы, т. е. процесс, вызванный внешней силой, есть функция того же аида, что и сама сила, а именно незатухающее колебание. Это колебание отличается от колебания, совершаемого силой, тем, что амплитуда помножена на коэффициент искажения и, а фаза сдвинута (отстает) на угол ой. Конечно, тот же реаультат можно получить и не прибегая к комплексной записи, но ценой большей затраты труда на вычисления. Согласно общим замечаниям, сделанным в и' 1, с нахождением одного частного решения вадача интегрирования дифференциального уравнения завершена, так как, прибавляя к найденному частному решению общее решение соответствующего л, д.
у. без правой части, получим самое общее решение нашего уравнения с правой частью, т. е. самое общее вынужденное колебание. Резюмируем еще раа полученный результат. Общее решение дифференциального уравнения тх+ гх+ йх = =се|о' есть х=сае|"о о!+с|и|(1)+сана(К), где с|и|(с)+с и Я есть общее решение дифференциального уравнения без правой части тх+ гх+ нх = О, а величины а и 6 определяются по формулам: сов вб =(н — тва) а, а|пой = гва.
г|* — '| -|.ю ' Постоянные с, и св входящие в состав дополнительной функции, дают возмо|кность выделить решение, удовлетворяющее произвольным начальным условиям, т. е. при любых наперед заданных значениях хо и хо можно так подобрать значения с, и св чтобы было х(0)=х„ и х (О) = хо. 3. Кривая резонанса. Для того чтобы составить себе наглядное представление о полученном решении и о его значении в приложениях, исследуем коэффициент искажения а как функцию «возбуждающей частоты» в: а= |у(в) = 1 К такому исследованию нас побуждает то обстоятельство, что на заданную колебательную систему, т. е. на систему, характеризуемую заданными постоянными значениями й, т, г, могут действовать периодические <возбуждающие сильв сены самой разнообразной частоты в и поэтому важно выяснить зависимость выпужленного коле' бания от возбуждающей частоты, Для более удобного описания хода взменения функции и = |р(в) введем величину в, = у А/и~; во есть круговая частота тех свободных колебаний, которые совершала бы наша система, если бы трение г равнялось нулю, или, говоря короче, собственная круговая частота нашей системы, лишенной зату- 5 5.
ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ 623 ханин (ср. стр. 616 — 617), Действительная частота свободных коле- баний этой системы, в силу наличия трения г, равна не вв а / Д Г 2 2 ге т 4т2 1' а 4т2 ' причем предполагается, что 47ст — гя.Р О, ибо в противном случае бессмысленно говорить о частоте свободных колебаний системы, так как она не может совершать свободных колебаний. Когда возбуждающая частота в стремится к бесконечности, то функция а=ф(в) приближается асимптотически к нулю, причем порядок ее убывания такой же, как величины 11В2. С другой стороны, ф(0) = 1/я; другими словамн, возбуждающая сила частоты нуль и амплитуды 1, т.
е. постоянная сила величины 1, вызывает определенное отклонение колебательной системы, равное 1,'й. Производная ср'(в) может обращаться в нуль в области в,Р О лишь при тех значениях в, которые обращают в нуль производную от подкоренного выражения (й — тв2)2+гяв2; стало быть, ср'(в) обращается в нуль при значении в=в,.Р О, удовлетворяющем уравнению — 4тв(72 — тва)+ 2еяв = О.
Такое значение, очевидно, существует в том и только в том случае, если 2ят — г2 > О, и тогда Так как функция ~у(в) всюду положительна, при малых положительных значениях в монотонно возрастает, а в бесконечности исчезает, то значение в, дает максимум функции а =ф(в). Круговая частота в, называется резонансной частотой системы.
Подставляя в функцию значение в=вн найдем величину максимума. Это максимальное значение 1 чр( )= Г т 4т' Это значение тем больше, чем меньше г. При с=О, т. е. при отсутствии трения, функция ф(в) обращается при в=в, в бесконечность; этот случай — предельный, и он позднее будет рассмотрен особо. График функции а=ф(в) называется кривой резонанса колебательной системы. Тот факт, что при в = в, (при малом трении г это происходит вблизи собственной частоты системы вв) искажение амплитуды а=ср(в) особенно велико, является математическим выражением явления резонанса, которое при неизменных значениях т и й тем резче выражено, чем меньше коэффициент трения г, б24 ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
