1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 121
Текст из файла (страница 121)
ХЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ искажения гармоник невозможно, конечно, выполнить точно, так как никакая часть кривой резонанса не проходит точно горизонтально. Однако можно стараться так подобрать параметры ю, г, Л прибора, чтобы не было заметного резонанса и чтобы резонансная кривая имела в точке а=О горизонтальную касательную, и тогда функция а = Ф (Ф) будет приблизительно постоянна при малых значениях м. Мы уже знаем, что етого можно добиться при значениях ю, г и Л, удовлетворяющих условию 2«т — г« =О.
Взяв какие-либо постоянные значения тл и Л и изменяя г, можно удовлетворить атому требованию подбором надлежащего трения г (или включением в колебательный контур подходящего сопротивления). Кривая резояанса показывает, что начиная от частоты 0 до частот, близких к круговой частоте Фе незатухающей системы, прибор регистрирует почти без относительного искажения и что при Ф > Ф, затухание значительно.
Отсюда видно, что добиться отсутствия относительного искажения в заданном интервале частот можно следующим образом: сначала выбрать и настолько малым и Л настолько большим, чтобы собственная частота Ф, незатухающей системы превышала наибольшую нз интересующих нас возбуждающих частот, а затем включить трение г, удовлетворяющее уравнению 2«тл — г' = О. В последних параграфах мы взучили колебательные явления простейшего типа. Во втором томе мы еще вернемся к дифференциальным уравнениям и тогда же рассмотрим колебательные процессы более общего характера. Упражнения В каждом из упражнений 1 — 5 найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям х(0) =О, х(0) =О.
Для уравнений 1-4 найти также амплитуду и начальную фазу установившегося вынужденного колебания, а также значение м, при котором зта амплитуда наибольшая. 1. х+ Зх+2х = сов м(. 2. х+х+х= соя атг. 3, х + х + х = 51п Фй 4. 2х+2х+х = сов оМ. 5. х+4х+4х= сов мг. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ Х1 1. Найти все кривые, у которых отрезок касательной имеет постоянную длину а.
(Отрезком касательной называется ее отрезок между точкой касания и осью х.) д Найти все кривые, пересекающие под прямым углом семейство кривых у=се, где с — параметр семейства, т. е. каждому значению с соот«х ветствует одна кривая данного семейства. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ Х! 3. Если з обозначает длину дуги провисающей нити, отсчитываемую от той ее точки, где касательная горизонтальна, то форма нити определяется дифференциальным уравнением т(у 1 — 1пз = — ~!и — ~.
кх с(х '1 л(х)' -" -1о Зная зто, показать, что уравнение нити есть у = асй — +с. 4. Решить дифференциальное уравнение злектрической цепи (без емкости). т'.з'+ АЧ = Е~ з1п мт, где т'., Е, Ез, м — постоянные. 5. Материальная точка М массы ш падает вдоль оси х по направлению. к началу координат, которое притягивает ее с силой, пропорциональной ее массе т н обратно пропорциональной кубу расстояния между ними. Найти закон движения и время падения (т. е. время достижения начала кОординат)„ если при 1 О было х = а и скорость о = О.
ПРИЛОЖЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА В гл. ! мы исходили из допущения, что действительные числа образуют совокупность, в которой обычные действии арифметики можно выполнять по тем же правилам, что и над рациональнмми числами. Здесь мы тщательно исследуем это допущение. Арифметические действия над рациональными числами мы будем считать даннмми. Нашей целью является выполнить абстрактное аналитическое расширение системы рациональных чисел с тем, чтобы построить более широкую систему действительных чисел, и добиться этого, ие опираясь в доказательствак на интуицию. Наши определении должны быть формулированы таким образом, чтобы из них вытекала, как их логическое следствие, приложимость обычных правил арифметики ко всем действительным числам в такой же мере, как они применимы к рациональным числам.
Введение иррациональных чисел будет выполнено в тесной связи с тщательным рассмотрением понятия предела; при этом будет повторено в переработанном виде исследование, проделанное в Дополнении ! к гл. ! (стр. ВО и след.). Единственное отличие новой точки зрения от прежней состоит в том, что теперь мы будем исходить из логического отвлеченного понятия действительного числа, между тем как прежде свойства действительных чисел предполагались известными. 1. Определение действительного числа с помощью гнезда интервалов').
Иррациональные числа н вообще действительные числа были определены в гл. 1, 5 1 стр. 23, с помощью десятичных дробей, причем рациональные числа представлялись конечными или периодическими десятичными дробями. Записывая такую десятичную дробь, скажем а = О,а,агат ..., мы хотим сказать, что число, представленное этой дробью и обозначенное через а, лежит между рациональным числом а„ = О, агат ...
аэ и рациональным числом ал + 10 '. Таким образом, число а определено с помощью последоватедьности все более суживающихся интервалов, каждый из которых содержится в предшествующем, причем и-й интервал имеет длину 10 Лля нашей нынешней цели было бы неудобно ограничиваться такими специальными последовательностями интервалов, в которых длина и-го интервала равна 10 ". Мы начнем со следующего общего определения. Рациональным (замкнутым) интервалом [а, Ь) мы будем называть совокупность всех рациональных чисел х, удовлетворяющих неравенствам а < х < Ь, где а < Ь, причем а и Ь вЂ” рациональные числа. Положительное число Ь вЂ” а называется длиной интервала.
Мы будем говорить, что интервал [с, д[ содержится в интервале [а, Ь), если а < с < г( < Ь, Бесконечная последовательность рациональных интервалов [аь Ь,[, [пг, Ьг[, ... называется ') Ь(ы делаем попытку ввести я русскую математическую литературу вместо длинного выражения «стягивающаяся последовательность вложенных интервалов» термин гнездо интервалов (пез! о! !п!егча!з).
общепринятый в математической литературе на английском языке; этим термином пользуется и автор книги гl7лиж. нгрге.) бй( ПРИЛОЖЕНИЕ гнездом интервалов, если каждый интервал [а„Ь„] содержит интервал [ал«ь Ьл»,], следующий непосредственно за ним, а длина ܄— пл стремится к йулю. Это значит, что для всякого наперед заданного сколь угодно малого положительного числа г сущестаует такое натуральное число Ф(г), что длина ܄— а„меньше, чем г, при всех индексах и, превосходящих Дг. Число г должно быть, конечно, рациональным, так как никакие другие числа еще пока не введены.
Исходя из наглядного представления гнезда интервалов и вспоминая, в частности, как с помощью гнезда интервалов можно выделить точку на числовой оси (зто показано на стр. 25), естественно прийти к мысли, что возможно дать определение произвольного дейстзительного числа посредством гнезда интервалов. Это надо понимзть так. Действительное число задается тем бесконечным процессом приближения, который определяется гнездом интервалов. Гнездо, общий член которого есть интервал [а„ Ьл], дает для подлежащего определению числа а тот факт, что зто действйтельное чйсло лежит между а, и Ьб оно лежит также между а, и Ьь между а, и Ьг и т. д. Таким образом, гнездо интервалов дает нам два рациональных числа, сколь угодно близких друг к другу, между которыми лежит определяемое дейстаительзое число.
Существенный шаг, который мы теперь делаем, состоит в том, что мы оставляем мысль получить обзективног определение иррациональных чисел. Мы отказываемся от попытки охарактеризовать иррациональные числа как данные математические объекты со специфическими свойствами. Мы не говорим, что иррациональное число есть такой-то и такой-то математический объект; вместо етого мы довольствуемся тем процессом приближения, который дается гнездом интервалов, и рассматриваем каждый такой процесс как определяющий действительное число. Если существует рациональное число а, содержащееся во всех интервалах [а„, Ь„], то действительное число, определяемое гнездом [а„, Ь,], считается тождественным с числом а.
Это определение включает рациональные числа в систему действительных чисел. Таким образом, на слова «иррациональное число» или, более общо, «действительное число» можно смотреть просто как на обозначение гнезда интервзлов'), Только зто имеют в виду, когда утверждают, что иррациональное число дается или определяется гнездом интервалов. На практике зто сводится к тому, что всякое действие над действительными числами является действием нал гнездами интервалоз. Это приводит к тому, что возможность производить вычисления с действительными числами зависит логически от действий над рациональными числами.
Необходимо выработать подход для определения сложения, умножения и других действий над действительными числами с помощью гнезд интервалов. При атом правилам действий должны быть даны такие формулировки, чтобы обычные законы вычислений сохраняли силу. Кроме того, должно быть обеспечено, что не возникнет противоречий с правилами вычислений над ациональными числами.
режде всего мы покажем, что наше определение действительных чисел подсказывает расположение действительных чисел по величине. Это само по себе обеспечит достаточную основу для аксиоматического построения понятия предела и более полного его понимания. Когда зто будет достигнуто, мы вернемся к вопросу о правилзх аычнсления с дейстзительными числами. ') Процессами такого типа часто пользуются, когда желают дать точную формулировку математических понятий. Например, при введении бесконечно удаленных точен в проективной геометрии зти точки не трактуют как определениыс математические об ьекты сами по себе; просто говорят, что бесконечно удаленная точка дается пучком параллельных прямых.
пвиложииие )з 2. Расположение действительных чисел по величине. Пусть два числа а н у заданы гнездами интервалов [а„, Ьа] = 1„и [с„, пл] =1». Тогда возможны следующие три случая. 1) Начиная с некоторого номера и = лэ и дальше всякий интервал ул лежит справа от 1„. т. е, при и = и, и, конечно, при всяком и > и, имеем Ь„< с„. Тогда говорят, что у больше, чем а, и пишут: у > а. 2) Если, напротив, начиная с некоторого номера п, и дальше 1э лежит справа от /„, то говорит, что а > у. В этом случае при в) пэ всегда Ил < а„.
3) Не имеет места ни одна из описанных двух ситуаций. Тогда говорят, что оба гнезда интервалов 1„и 1„определяют одно и то же число: а=у. Таким образом, два гнезда интервалов определяют одно и то же число в том и только в том случае, если интервалы 1„и 1„всегда частично перекрываются, т. е. если одновременно а„(Иэ и Ь„) с„, другими словами, если оба интервала 1„и 1э имеют при всяком и общие рациональные точки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
