1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 124

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 124)

Для этого зададим частное значение с= 1. Тогда при .некотором достаточно большом значении и и при всех достаточно больших значениях гп имеем ]а„.— а ] < 1. Отсюда видно, что все члены ат (с возможным исключением конечного их числа) лежат на отрезке ]а„— 1, а„+1]. Стало быть, можно выбрать такой отрезок, который будет содержать все члены ат без исключения. Принцип точки сгущения утверждает, что последовательность имеет по крайней мере одну точку сгущения.

Остается показать, что больше одной быть не может. Предположим, напротив, что существуют две точки сгущения а и а', ') Обращаем внимание на то обстоятельство, что члены последовательности он аь ..., согласно условию, рациональны, чего нельзя сказать о пределе а лвилотденив 1в причем а<а'. Построим вокруг а и а' две окрестности, не имеющие общих точек, [с, д] и [с', а'], так что с < и < б < с' < и' < а'. Так как а и а', согласно предположению, являются точками сгущения, то [с, й] содержит бесконечное множество точек а„, а [с', а'] содержит бесконечное множество точек а . Следовательно, для бесконечного числа значений т и и будет ]ам — а„[> с' — а > О. Но это противоречит условию, что при всех достаточно больших значениях тип ] а — а„] < с' — й.

Следовательно, последовательность имеет одну и только одну точку сгущения, а стало быть, сходится. Теперь мы покажем, что если последовательность а„аь ... сходится к пределу о, то для всякого е > О и при всех достаточно больших значениях т н п будет ] ав ат 1 < в. Возьмем окрестность [с, а] числа а, длина которой й — с < в. Тогда можно найти такое число Ф, что при всяком и > Ф члены а„будут лежать в [с, Н]. Если и и > Ф и т > Лс, то члены а„и ат лежат в [с, а].

Отсюда вытекает, что 1 ав — ат [ < б — с ~< в. 8. Определение основных действий над действительными числами. Пока мы имеем только определение действительных чисел с помощью гнезд интервалов и их расположение по величине. Только что доказанная теорема дает простое средство для определения арифметических действий над действительными числами. Пусть действительное число и задано гнездом пнтервалов [а, Ь„]. Так как эти интервалы образуют гнездо, числа а„ составляют монотонную неубывающую последовательность, а числа ܄— монотонную невозрастающую последовательность. Эти последовательности ограничены; это видно из того,' что всякое а„ не превышает Ьь а всякое Ь„ болыпе а, или равно ему.

Стало быть, эти последовательности сходятся. К тому же каждан из ннх имеет пределом действительное число а. В самом деле, любая окрестность числа и содержит все интервалы [а„, Ь ], за исключением, разве, конечного их числа, и, значит, содержит все членй каждой из последовательностей а„ и Ь„, опять-таки не считая, быть может, конечного их числа. Поэтому можно сказать, что всякое дейсгпвительное число лтовкет бить представлено как предел последовательность й рациональных чисел. Желая построить определение какого-либо арифметического действия иад двумя действительными числами и и [1, мы выбираем две последовательности рациональных чисел а„ и Ь„, имеющие пределами соответственно числа о и В.

Выполняем желаемое действие над парами чисел а„ и Ь„ и получаем таким путем новую последовательность. Показав затем, что эта последовательность имеет предел, мы скажем, и это будет наше определение, что предел новой последовательности есть результат действия над числами а и ]1. Пусть даны любые два действительных числа а и ]1, и пусть 11ш а„= а вт и 1нп Ь„= — ]1. Рассмотрим последовательности ан+Ьв, а„— Ьсь а„Ь„и 1/ап. в-+ч 81 пвиложвнип Если удастся доказать, что эти последовательности сходятся, то получим возможность установить следующие определения: а+ ог = 1пп (аз+ Ьл), а — () = ! пп (ал — Ь„), л +со л .+ 1 . 1 а!1= )пп (ас»Ьл), — = Ви —. л-+со а л.+со ал Сходимость этих последовательностей мы дока»кем с помощью критерия сходимости Коши. Из сходимости последовательности ао а,, аь ...

вытекает, что если е — любое заданное положительное число, то при достаточно больших значениях л и и, скажем при л > д»» и и > /»»», выполняется неравенство ! ал — ал»1 < е/2, а из сходвмости последовательности Ь„Ьм Ь„... вытекает, что при достаточно больших л и т, скажем при п > /»с» и и > /»/», будет ! Ьл — Ьт1 < с/2. Обозначим через /»»(е) большее из двух чисел /сс» и Ж»; тогда нри п > Ь/(с) и т.' Ь/(с) будем иметь 1(ал+ Ьл) — (а + Ь ) ! (! ал — а (+ ( Ьл — Ь 1 < с/2+ с/2 = з и ! (ал — Ьл) — (аи — Ьи) ! (1 ал — аи1+ ! Ь, — Ьи! < с/2+ с/2 = з.

Стало быть, согласно критерию Коши, последовательности ал+Ь„и ал — Ьл сходятся, Для того чтобы доказать, что последовательность а„йл сходится, заметим сначала, что числа ал и Ь„ образуют ограниченные множества, т. е. существуют два тзких положительных рациональных числа А и В, что при всех значениях п 1 ал1 ( А, ! Ьл1 % В.

Но тогда (алЬл — аиЬи ! =(ал(Ьл — Ьт)+Ьт(ал — ал) )( л )ал! (Ьл — Ьи)+1Ь ( )ал — аи1(А(Ьл — Ьсл(+В!аз — ам 1. Из сходимости последовательностей а,, а, ... и Ьь Ь,, ... вытекает, что для любого заданного з > О можно найти такие числа /»)» и /сг», что !ал — аи( < з/2В, когда п >/сс» и т > Ь/», и 1Ьл Ьт! <, когда и > /'»2»»»»» > '/».

2А ' Стало быть, если оба числа л и т превосходят большее из двух чисел /»»» и /»»», то последние два неравенствз выполняются одновременно, и тогда 3 е !алЬл — алЬ 1< А —,+ — =з. 2А 2В Итак, согласно критерию Коши, последовательность алЬл сходится.

Предположим теперь, что а Ф О н 1лп ал = а. Требуется доказать, что л.+ о последовательность 1/ал сходится. Сперва необходимо показать, что если номер л достзточно велик, то 1ал1 больше некоторого положительного числа р, не зависнщего от п. Возьмем рациональную окрестность числа а. ПРИЛОЖЕНИЕ 1а нс содержащую числа 0; это возможно, так как а ~ О. Начиная с некоторого и=-лм в дальнейшем все члены последовательности аь а,, ... лежат в этой окрестности.

Это значит, что при л > л, будет ! а„! > р, где р есть абсолютная величина рационального числа, соответствующего той границе интервала, которая ближе к началу О. На сходимость последовательности 1/аь 1/аэ, ... не повлияет, если лсы опустим перв.ие ла членов,' допустилю поэтому считать, что при всех значениях л !ал!> р > О. Заметим теперь, что 1 1 ! !аис — ал! !ат — ал! !аи — ал1 л ал аи ) )алаи! !ал! !аи! р' Пусть задано любое е > О. Из сходимости последовательности аь а,, вытекает, что при подходящем выборе числа А' ! асл — ал ! < ер', коль скоро л > Ас и и > Ас, так что Тем самым доказано, что последовательность 1/ал сходится, если о, т.

е. !Нп ал, отлично от нуля. люсю Любое действительное число можно, очевидно, представить как предел различных последовательностей рациональных чисел. Можно было бы поэтому опасаться, что данные выше определения арифметических действий не приводят к однозначным результатам. Предположим, например, что действительные числа а и' р имеют одно представление а = 1йп ал, р = !пп Ьл и друл-ьсо л +сю с гое представление а = !1ш ал, 5 = йш Ьл. Тогда позволительно думать, что, и.+са и.+аа с например, последовательности ал+Ьл и ал+Ьл могут иметь различные пределы. (Что они действительно имеют пределы, было выше доказана!) Мы теперь докажем, что это затруднение не возникает, а именно покажем, что если йш а = 11ш а„и 1ип Ьл = 1нп Ь„, л-ааа и-+аа л.+сю и-Ьсо то 1!|и (а„ ~ Ьл) = йсп (а„ и Ь„ ) йш (алЬл) = 1ип (а„Ь„ ) и-ьс и Фса и-+со л-Эсо и если !пп ал = йш а„ф О, то л-+сю и-+са 1, 1 11ш — = 1пп с и-+сю ал л-+со ал Доказательство очень просто.

Мы уже знаем (см. и' 5), что если 1ип ал = л.+ со с 1йп ал оюп, то смешаниаа последовательность а, а, Ьь ЬР ... имеет и-Эао тот же предел а. Аналогично, если 1нп Ьл = 1ип Ь„ Р, то последователь- и-Эсо л-+аа с с ность Ьп Ьн Ьп Ьн ... сходится к пределу )). Ссылаясь на эту же теорему ПРИЛОЖЕНИЕ и на другие теоремы, доказанные выше, находим, что следующие смешанные последовательности: / / а!*б1, а!вб1, азвЬ2, йтвбз,..., / / / / осЬ1, асб/, азбз, азбз, ..., 1 1 1 1 — — — — (если а ~ О) а1 а, йз а сходятся. В и' 5 было доказано, что всякая подпоследовательность, выделенная из данной сходящейся последовательности, сходится к тому же пределу. Отсюда вытекает, что последовательности / / / / — йзв Ьз " и й1 щ Ь1 йз — " Ьт " .

являющиеся нодпоследовательностями одной и той же сходящейся последовательности, должны сходиться к одному и тому же пределу. Аналогично последовательности // // а!Ь1, йзбз, ... и й/б1, й2Ь2,... имеют общий предел. Точно так же, если а ныл, то последовательности 1 1 1 1 / / а1 а ат аз 1ип (йлЬл) = аб, л-+со ! ии (ал й бл) = а в Ь, л +со и если а~0, то Ив 1 1 Л-+со йл й Прежде всего заметим, что рациональное число а есть предел последовательности а, а, ... В кзчестве двух последовательностей а,, й,, ... и Ьи Ь,, ...

можно взять последовательности а, а, ... и Ь, б, ... Тогда теоремы, на которые мы уже ссылались выше, дают: Ипс (йл в Ьл) Ив (аж б) = а В Ь, Ив (алЬл) = 1ии (аЬ) =аЬ, л.+со л +со л +со л "Ьоо 1 . 1 1 1ин .— = !ин л.+со йл л.ьсо а а ' а зто и требовалось доказать. 41 Р. Куралт сходятся к общему пределу. Полученные сейчас результаты позволяют поставить другой важный вопрос, связанный с нашими определениями арифметических действий.

Класс действительных чисел содержит все рациональные числа. В ходе наших определений арифметических действий над действительными числами мы тем самым попутно определили те же действия и для рациональных чисел. Но ведь мы начзли с предположения, что действия над рациональными числами известны. Позтому мы обязаны проверить, что новые определения не приводит к противоречию с известными ранее действиями над рациональными числами.

Мы должны показать, что если Ив ал = й и а+со Ив Ьл оо б являются рациональными числами, то /1-Ь сО ПРИЛОЖЕНИЕ !9 Едва ли необходимо упомннзть, что нз наших определений вытекает справедлкзость для множества действительных чисел всех правил зычно.!е- ния, которые действуют в системе рациональных чисел. Стоит только при- менить эти правила к рациональным числам, образующим наши последова- тельности. Докажем, например, распределительный закон: а([!+Т) = а[!+ ау. Пусть а= Иш ал, [) = 1!ш Ьл, у= !1ш сл. Тогла левая сторонадоказыл+сю "' л-ьт "' л-ьсо ваемого тождества будет Иш [ол(зл+сл)[, а правая сторона будет лэ со 1нп (алел+алел).

Характеристики

Список файлов книги