1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 127
Текст из файла (страница 127)
и, т. е. если ее первая производная кусочно непрерывна на этом интервале, то ряд Фурье 1 У (х) = — аз+ ~ (отсов Ух+а~ згп тх) с коэффициентами ( 1 Г а,= — Е! У(Г)созе(Н, Ьт=- — Л! 7(Г)з!пч(г(Г сходится абсолютно на всем интервале. Если 7" (х) имеет на — п <х <и конечное число скачков (разрывов первого рода), а в остальных точках СВОДКА ВАЖНЕЙШИХ ТЕОРЕМ И ФОРМУЛ 2 — + ~ (а„,+За.) = — ~ (7 (х) ) г(х.
уголгплекснап запись (стр. 512): и = — ~ у(г) л г~гагг. — л у(х) = ~~ а„е"», где 10. Максимумы и минимумы Нижеследующее правило годится для экстремумов функции у(х), лежащих впуупри рассматриваемого интервала (стр. 189 и след). 1(ля того чтобы функция у = у(х) имела экстремум в точке $, в которой она имеет производную у'(Е), необходимо, чтобы было у'(5) =О.
Если это условие выполнено, то У(х) имеет в точке 5 экстремум, если первая не исчезающая в втой точке проиэводная четного порядка; если же она нечетного порядка, то в точке $ нет экстремума функции. В первом случае экстремум будет максимумом или минимумом, смотря по тому, имеет ли первая ие исчезающая в точке $ производная отрицательный илн положительный знак (стр. 384). 11. Плоские кривые В этом разделе буквы 5, 11 обозначают текущие координаты (на касательной, на нормали, на эволюте, на эвольвенте). Уравнение кривой: а) у =У(х); б) Р(х, у) =-О; в) х= ар(2), у =0(Г).
Уравнение касательной в точке (х, у) кривой (стр. 306, 577): а) г) — у=($ — х) у'(х); б) ($ — х) Р»+(г) — у) Р =0; в) (5 — р(тцф (Г) — (ц — ')(рце'(2)=О, . Уравнение нормали в точке (х, у) кривой (стр. 307, 577): а) 5 — х+(г) — у)У'(х)=0; б) ($ — х)Ру — (11 — у)Р»=0; в) (5 — р(рц ч~'(г)+ (ч — ф(рц г)'(П = о Кривизна (стр. 325): 2 2 а) й = ч ; б) л У Р Ру — 2Р»уГ ~у+ РууГ (1+ у") ' (Ег+ Р',)*'* в) й= (йг+'фг)ая Радиус кривизны (стр. 326): 1 Р= (й( 42 Р.
Курант имеет кусочно непрерывную производную у' (х), то ряд сходится равномерно на всяком частичном интервале, не содержащем разрывов функции у(х). Во всякой точке х, где у(х) непрерывна, сумма ряда равна значению у(х), а во всякой точке разрыва функции у(х) сумма ряда Фурье равна среднему арифметическому левого и правого предельных значений функции. (стр. 522 †5). Соотношение полноты тригонометрических функций (стр.
536): СВОДКА ВАЖНЕЙШИХ ТЕОРЕМ И ФОРМУЛ Эволюта (геометрическое место центров кривизны) (стр. 327, 351 — 357): , 1-4-у' 1+у' а)«=х — У' з †. «)=У+ Р2+ Р2 б) 5 = х+ Рх ))=У+ У 2 2 Рххру 2Рхурхру+ Руурх Ф'+Ф« Фу+ Ф« В) а=ар — ф ....,. 11=111+ф —.—.: — а~; — ° ФФ-М ФФУ-ФФ Эвольвента (стр. 354): 5=х+(а — з) х, 11= у+(а — з) у, где а — произвольная постояннаа, а з — переменная длина дуги, отсчиты- ваемая от любой выбранной точки кривой. Точки иерегиба (стр. 188, 310), Необходимое условие точки перегиба: а) у =О; б) Р Ру — 2ЄЫРУ+Р Р',=О; в) ху — ху=О, Угол между двумя кривыми (стр.
308): з' — х' Рхбх+ Рубу а) (ем =,,; б) соз Ф = в) сов м= '+УУ' (стр. 577). ~х'+ у'М х)+ у', Условие ортогоналкности двух кривых: а) У'й'= — 1; б) Р«Ох+Рубу =0; в) хх, +уу, =О. Условие касания двух кривых: а) Т' = е', б) Рхб — Р 0 . = 0; в) ху, — х,у = О.
Две кривые у=у(х) и у=я(х) имеют в точке х касание и-го по- рядка, если у(х)=е(х), у'(х)=е'(х), ..., Т(х)(х)=8(л)(х), у(ль1)( ) ~,(хь1)( .) (стр. 381 — 383). 12. Длина дуги, площадь, объем Д. Длина дуги (стр. 319 — 324) Пусть плоская кривая задана уравнениями: а) у=у(х); б) Р(х, у) =0; в) х=ар(С), у=ар(Г); г) (в полирных координатах) г=г(О). Формулы для длины дуги: а) з = ~ 2) 1+ у'х аах; в) з= ~ )а хз+уз а(2; .«а «а х, е, б) з= ~ — фТР2+Р2 а(х; г) з= ~')угу+«" с)8. СВОДКА ВАЖНЕИШИХ ТЕОРЕМ И ФОРМУЛ Б. Площадь плоской фигуры а) Площадь Б криволинейной трапеции, ограниченной кривой у =у(х), осью х и двумя ордииатами х= а и х=Ь, есть (если у(х) >О на (а, Ь)) а э 5 = ~ ус(х = ~ у(х) с(х (стр.
103 — ! Об). б) Площадь плоской фигуры, ограниченной замкнутой кривой, заданной параметрическими уравнениями х=«(С), у=у(!), причем кривая описи- вается один раз, когда с пробегает интервал 1, ~~ г~ аг имеем х(!э) = х(П) У (С ) = У (!с). ПРедполагаетса, что кРиваЯ сама себЯ не .пеРесекает. Площадь этой фигуры (стр. 317) с, с, с, Б = — ~ у (С) х (!) ас(= ~ х(!) у (1) с(С = — ~ (ху — »Ат) с(С 1 Г 2,~ са са причем результат получится положительным, если контур фигуры, пробе- гается в положительном направлении, и отрицательным — в противополож- ном случае. (Об ориентации площади см. стр. 312.) в) Площадь, ограниченная дугой кривои г=г(0) (в полярных корр „ натах) и двумя радиусами-векторами В = Вэ и В=Во выражается формулой е, 5 = — ~ г'с(0 г 2 л аа (стр.
3!9). В. Объем Объем )с тела, ограниченного куском поверхности « =у(х, у), плоскостью хОу и цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси «, есть )г'= ) ~ у(х, у) с(хату, О где 0 — область плоскости х, у, вырезанная боковой (цилиндрической) поверхностью тела (стр. 582), ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ ГЛАВА 1 6 1, стр. 28. 1.
г), д). Показать, что х удовлетворяет уравнению вида ха+а,хз -(- .. ... +а»=0, где аь ..., ав — целые числа; доказать, что корни зтого урав- нения лйбо целые, либо иррациональные числа. а Использовать иррациональность числа з|п60'=УЗ(2, Ь тз ас — Ь' 4. Преобразовать трехчлен так: ах'+2Ьх+с = а (х+ — ~ +— аг' а 7. Если а ) 0 и Ьз — ас ~(0, то уравнение ах'+2Ьх+ с = 0 может иметь действительные корни в том и только в том случае, если Ьт — ас= О; затем воспользоваться упр. 6, 8. Косинус угла между двумя прямыми по абсолютной величине (1, 9.
Воспользоваться неравенством Шварца. 10. Возвести обе стороны в квадрат, а затем воспользоваться неравен- ством Шварца. Сумма длин двух сторон треугольника не меньше длины третьей стороны. йй 2, 3, стр. 41. 2. а), г), д), ж) нечетные; б) четкая. ) д) м), н) четны; г) и д) тожд й 4, стр. 46. 2 3 ("+')(2»+1)(2»+3). 1 3. в) 'Разложить (1+1)» по формуле бинома Ньютона.
1 1 1 4. а) — а(а+1)(л+2). 6) Сложить выражения — — — от 5=1 3 й а+1 и 1 1 до й=т Отв. —. в) Сложить выражения — — от а=1 ' а+1 йз (Ь+ 1)з п(а+2) до а=а. Отв. + 5. Третьего порядка; 193. 7. — (2аз+Зл' — 11»+30). 1 6 В 5, стр. 55. 1. а) 1; б) 333; в) 333333. 2.
а) 0; б) оо; в) 6; г) а,(Ь»т д) 1)3. 4. 19. 5. а) 6; б) 10; в) 14. 6. а) 25; б) 2500; в) 250 000. 9, а) 0; б) нет; в) да; д) 30. ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 15. Самое большое из чисел а„ а,, ..., ал. 16. 2. 17. Воспользоваться известным пределом †-»О. и йл 6 6, стр. 67. 1. Для всякого заданного положительного числз Л, как бы оно ни было велико, существует такое и, что ! ал! > М. 2. Существует такое положительное число г, что, как бы велик нн был номер йг, найдутся такие индексы т и и, большие чем ДГ, для которых !ал — ам! ~е.
1 5. Погрешность меньше чем —; г ш 2,71828. и(и() ' 6 7, стр. 7!. 1.а)6; б)15; в)1/2;г)З, 3. Пределы а) и б) не существуют; предел в) существует и равен 1. й 8, стр. 78. 1 1 1 1 60' 600 ' 6000 ' 10(1+2!Š— 1 )) 1 1 1 1 1 1 1 в) 120 1 +)Е/э) ' ' !00' !0000' Ц1» ' 10' 100' 1Е)0' и т.
дл г) —, —, —; д) —. —, —.. 4. а) 1/600, е/6; б) 1/400, е/4; в) 1/77 600, с/776; г) 1/10000, с'; д) 1/100, з. 5, а), б), в), г), ж) непрерывны; д) имеет разрыв при х= 2 и х=4; е)»»» х=3; з), л), н)»»» х=(и+1/2)п; и), к) т»» х=ип; и)»»» х=ип ифО. Дополнение 1 к главе 1, стр. 93. = — 2/3„, » = — 1/3„, » О, Величины, помеченные знездочкой, принадлежат последовательности.
2. Точками а хэ, хь х,, ..., х„=а РазДелить интеРвал иа конечное число частичных интервалов столь малых, что !у'(х) — у(х)! <с, если х н х лежат в одном н том же частичном интервале. Каждую пару смежных. точек х х1, у=у(х1) соединить отрезком прямой. к л 3.
Выражение — ) х — х,, ! — — )х — х1! зависит от х линейно в ин- 2 ' 2 тервале (х! ь х1), а вне этого интервала оно имеет постоянное значение. Составить сумму подходящнх выражений такого типа. 1. а) Верхняя граница = 324/5„нижняя = О, б)»» =1/2„ в)»» = 9/10„ г)»» 19/10„ д)»» =2„ верхний предел = О, нижний = О. верхний предел 0„ нижний = 0„. верхний предел = 1/2,. - нижний 1/2. верхний предел = 312, нижний = 1,'2. верхний предел = 1, нижний = О.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ з з ! Оигв. — +х — — ! х — 2 )-1- ! к — 3 ! — — ! к — 5 (, 2 2 2 е е зэ 4. а) —; б) —, и > 0; в) —. 6' иа" '' ' 2' Дополнение И и главе 1, стр. 97. 2. а) г= а; б) г=2а сок(8 — 04); в) г= соз(8 — Е ) ' 3. соз 20 = солт  — з!и' В, з!и 20 = 2 з!и 8 соз В; соз38= 4 солке — 3 сов О, з!пзе =за!не — 4з!Вте; соз 58 = 16 соз' 0 — 20 созз В+ 5 соз В, з!и 58 = 16 4!п'  — 20 нп' 0+5 и!и В. 4. а) — 6!; В=н, г=з; е=л!2, г=2; 0=за/2, г=б; б) 1+)'3+ +1(1 — »гз); В=и/4, г=4»г2;  — н/3, г= —; В= — и/12, г=2»г2; „) 2; Е = н/4, . = ) 2; В = 7и/4, г = » 2; Е = 2п, =2! г) 2-2!»'З; Е=бн/6, — 2; 0 = бн/3, г = 4; д) Ш1; 0=0, г=1; 8=0, г = ж1: е) ~ ( — + — ); 1 »г2»' 2 н, н .
»г)г2+1+!»Г 2 — 1 н »г2 4 з г = »г2; В = —, г = »' 2; з) — У!8 (1' 3+ 1)/2! 0 = 7н/4, г = 3»г2; 0 = 7н/6, з =(3» 2)Ч =У!8; и) 1,( — ! ~ !УЗ)/2; В=О, г= 1; Е=О, 2н/3, 4п/З, 4 ,г = 1; к) »г2 ! »/ » 2 + 1 + 1 »' »г2 — 1); 8 = н/2, г = 16; 0 = н/8, г = ж 2 5. Показать, что еь удовлетворяет уравнению х" — 1 = О, затем разло жить многочлен х" — 1 на множители. Смешанные упражнения к главе 1, стр. 97.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
