1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 123

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 123)

Общее определение этого понятия таково: число 6 называется точной верхней границей числового множества, если множество ке содержит яи одного числа, превышающего 6, а для всякого числа, меньшего чем 6, существует яо крайней мере один элемент множества, превосходящий вто число 6. Важно четко различать верхний предел н точную верхнюю границу множества. Возьмем, например, множество чисел 1, 112, 1>3, ... Точная верхняя граница есть 1, а верхний предел есть О, так как О есть единственная точка сгущения этого множества. з! ПРИЛОЖЕНИЕ Теперь мы покажем, что всякое числовое множество, ограниченное сверху, имеет точную верхнюю границу.

Числовое множество называется ограниченным сверху, если существует такое число М, которое превосходит все числа множества. Ясно, что если множество содержит наибольший элемент С, то это число О и есть тОЧнам еЕрхНЯЯ граиица Мнажества, Но множество, ограниченное сверху, не должно обязательно иметь наибольший элемент„как это видно на примере множества о„= 1 — 1/н (н = 1, 2,...). Так вот мы утверждаем, что если это числовое множество не имеет наибольшего элемента, то верхний предел [) множества является и его точной верхней границей. Для доказательства предположим, что множество содержит число х > [). Рассмотрим все элементы множества, не меньшие чем х; таких может быть лишь конечное число, так как в противном случае интервал [х, М) солержал бы бесконечное число элементов множества, а стало быть, содержал бы хотя бы одну точку сгущения множества, а это противоречит предположению, по которому Р есть верхний предел множества.

Среди конечного числа элементов множества, ие меньших чем х, был бы один наибольший, который был бы вместе с тем наибольшим элементом всего множества. Этот вывод противоречит условию. Следовательно, если множество не содержит наибольшего элемента, то ин один элемент множества не превосходит его верхнего предела. Но число [) удовлетворяет и второму условию, содержащемуся в определении точной верхней границы.

Действительно, пусть у есть любое число, меньшее чем [); тогда интервал [у, М) является окрестностью числа !!. А так как б есть точка сгущения множества, то зта окрестность содержит бесконечное число точек множества, и все они больше чем у. Аналогично определяется и точная нижняя граница я числового множества квк такое число, которое не превышает ни одного элемента множества и обладает тем свойством, что всякое число, большее чем я, превосходит по крайней мере один элемент множества. Всякое множество, ограниченное снизу, имеет точную нижнюю границу, которая является либо наименьшим элементом множества, либо его нижним пределом.

5. Сходящиеся числовые последовательности. Мы будем рассматривать последовательности действительных чисел аь а„ ..., всегда предполагая, что они ограничены. Принцип точки сгущения показывает, что числовое множество аь а,...„ имеет по крайней мере одну точку сгущения. Числовая последовательность называется сходящейся, если она имеет только одну точку сгущения а; это число а (единствениая точка сгущения) называется тогда пределом последовательности; этот факт записывают так: !ип а„= а. э.+ о Этому определению предела можно придать и следующую эквивалентную форму: Числовая носледоеательность ао аг, ...

имеет предел а е гном и только е том случае, если есякоя окрестность числа а содержит есе члены а„последовательности, эа исключением, быть может, конечного их числа. Эквивалентность обоих определений доказывается следующим рассуждением. Если ограниченная последовательность а„ имеет одну лишь точку сгущения а, то вне любой окрестности числа а может оставаться только конечное число членов.

Обратно, если всякая окрестность числа а содержит все члены а„ с возможным исключением только конечного их числа, то последовательность а„ ограничена, а стало быть, имеет хотя бы одну точку сгущения а. Однако другой точки сгущения последовательность иметь не может. В самом деле, если бы существовала другая точка сгущения а', отличная от а, то можно было бы выделить для каждого из чисел а и а! свою окрестность так, чтобы эти две окрестности не имели общих точек ПРИЛОЖЕНИЕ и каждая из зтих окрестностей содержала бы бесконечное число членов последовательности.

Но это противоречило бы условию, что вне любой окрестности числа а может лежать лишь конечное число членов последовательности. Последовательность, не имеющую предела, ие следует рассматривать как нечто аномальное. Напротив, скорее наличие предела является в некотором смысле явлением исключительным. Например, последовательность, члены которой заданы формулами ат , = 1 — 1/и, ат — — 1/п, где и = 1, 2, ..., имеет две точки сгущения, а именно 0 и 1. На стр. 82 — ВЗ было показано, что множество всех положительных рациональных чисел можно перенуиеровать в виде последовательности, но при этом полностью нзрушается расположение этих чисел по величине. Там же было показано, кзким путем проще всего это сделать.

Выше уже заварилось, что для множества всех рациональных чисел всякое действительное число является точкой сгущения. Понятие сходящейся последовательности позволяет вывести из принципа точки сгущения очень важное следствие: Если бесконечное числовое лсножество М имеет число $ своей тач«ай сгущения, то из множества М можно выделить такую последовательность его элементов а,, аг, ..., которая сходится к пределу 4. Для доказательства предположим, что число $ задано гнездом интерва.лов [а„, Ь„[, где ап < $ ( Ь„. Так как я является точкой сгущения, то [а„Ь,[ содержит бесконечное число точек множества М.

Выберем одну из них и обозначим ее чеРез ао ОтРеаок [аг, Ь»1 тоже содеРжит точки множества М. Выберем одну из них, отличную от ап и обозначим ее через а, и т. д, Продолжая этот процесс неограниченно, получим ограниченную последовательность ап а,, ..., которая имеет число $ своей точкой сгущения и не может иметь другой точки сгущения. Следовательно, она сходится к пределу э. Обращаем внимание читателя на следующие простые, но важные теоремы о сходящихся последовательностях: Если последовательность ап аг, ...

сходится к пределу а, то и всякая выделенная из нее бесконечная частичная последовательность сходится к тому же пределу а. Например, подпоследовательность ап а,, а,, ... тоже имеет а своим пределом. Это сразу вытекает из простого замечания, что всякзя точка сгущения частичной последовательности должна быть также точкой сгущения перво.начальной последовательности. Действительно, частичная последовательность ограничена, а стало быть, имеет по крайней мере одну точку сгущения; втой точкой может быть только а. Если две последовательности а,, а,, ... и [[п бг, ... имеют один и тот же предел у, то »сметанная» последовательность а,, бп аг, [1», аг, ,[1».... сходиться к тому же пределу у. Доказательство. Любая окрестность числа у содержит все числа а„ и все числа блеза исключением, быть может, конечного числа членов обеих последовательностей.

Следовательно, она содержит все члены смешанной последовательности, исключая, быть может, конечное их число. Это и доказывает теорему. б. Ограниченные монотонные последовательности чисел. Числовая последовательность аь аг, ... называется монотонной, если при всех значениях и либо аь (а„ьп либо ае) а„+ь В первом случае последовательность называют монотонной неубывающей, по втором — монотонной невозрастающей. Докажем теперь важную теорему: всяная ограниченная монотонная последовательность сходится. пвиложпние Мы можем ограничиться доказательством втой теоремы для неубывающей последовательности.

Для другого случая доказательство совершенно аналогично. Так как всакая ограниченная последовательность имеет по крайней мере одну точку сгущения, то остается только показать, что наша монотонная последовательность не может иметь больше одной. Предположим теперь, что существуют две такие точки а и а', и пусть а < а'. Числа а и а' окружим (каждое порознь) окрестностями Уи и У „не имеющими общих точек. Каждая из этих окрестностей должна содержать бесчисленное множество членов а„последовательности. Возьмем один из членов, содержащихся в Уий пусть это будет а,.

Пусть теперь аг есть первый из членов последовательности с номером з > г, лежащий в У . Такой член непременно имеется, так как У содержит бесконечное множество членов последовательности. Но все члены, лежащие в Уи, меньше любого члена из Сгш. Следовательно, а, > аг, хотя г < е. Это противоречит условию, что последовательность является неубывающей. Стало быть, последовательность имеет единственную точку сгущения, т. е. сходится. Прибавим еще следующее замечание; если последовательность аи а,, ... являетсв неубывающей и ограниченной, то йш а >а при любом Ф. Дело н-Ьсь н том, что членов а, меньших чем а, может быть лишь конечное число: такими могут быть только члены ап а, ..., а . Следовательно, предел будет не меньше чем а .

Таким же путем можно убедиться, что предел невозрастающей последовательности ие превышает любого члена последовательности. 7. Критерий сходимости Коши цля последовательностей с рациональными членами. В этом месте еще невозможно дать общий критерий сходимости для любой последовательности действительных чисел, так как еще не определено вычитание действительных чисел. Поэтому мы здесь докажем критерий сходимости для рациональных последовательностей, а к общему случаю вернемся в и' 9 на стр.

642. Итак, докажем следующий критерий сходимости: Последовательность рициональныл чисел ин аг, а,, ... сходится е том и только е том случае, если для есякого сколь угодно малого положительного числа г можно найти такое число дг(г), что при есяком п>Ф и есяком т>дг ]а„— а ]<е. Сначала покажем, что если это неравенство выполняется для всех достаточно больших индексов т и и, то последовательность сходится '). Докажем, что последовательность ограничена.

Характеристики

Список файлов книги