1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 118
Текст из файла (страница 118)
получим для определения Л квадратное уравнение тйа+гЛ+ )з = О. Корни этого уравнения г 1 Л, = — + — )Ггз — 4тй, 2т 2т г 1 Лз — — — — — — ~/ гз — 4т7з. 2т 2т Из способа их получения вытекает, что каждая из функций х,(1) = ех' и хз(г)=ехм является, по крайней мере формально, решением дифференциального уравнения; это можно проверить и прямой подстзновкой. При этом возможны три различных случая.
а) гт — 4пз)г > О. В этом случае корни Л, и Ля действительны, различны и оба отрицательны. Как было сказано, мы имеем пока два отдельных решения: х,(!)=а~к и хт(!)=е"'. На основании доказанной выше теоремы, с помощью этих двух решений можно сразу построить такое решение диффереициалы!ого уравнения, которое содержит две произвольные постоянные с, и сш а именно: х = с, хг (1) + сзхя (!) = с, ах '+ сзе "4. Что это выражение действительно является решением, легко проверить и непосредственно: надо только дважды его дифференцировать и подставить в дифференциальное уравнение, С другой стороны, в и' 4 (стр.
617) буде~ доказано, что это выра!кение представляет собой самое общее решение нашего диффереппиального уравнения, т. е. всякое решение может быть получено из этого выражения путем подстановки вместо с, и сз подходящих численных значений. б) гз — 4т)г = О. Квадратное уравнение имеет один двойной корень Л = — †. Стало быть, мы пока располагаем только одним 2т ' г решением х, (!) = е т . Однако простое рассуждение наводит в этом случае на другое решение, Пусть квадратное уравнение имеет два цг ам различных корня Л и Л,, Л, чьЛ. Тогда выражение тоже '! будет решением нашего дифференциального уравнения. Заставим е' — е л хк ю теперь Л, стремиться к Л; тогда 1пп = — егл = !еы, и Л,— Л ДЛ естественно ожидзть, что полученная функция (еы будет решением лифференциального уравнения беа правой чзсти, если Л есть двойной корень квадратного уравнения.
Но легко проверить, что в этом б!4 ГЛ. ХЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ 12 % С ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ВЕЗ ПРАВОЙ ЧАСТИ 2) б15 случае функция Г хз (г) = се 2'" удовлетворяет дифференциальному уравнению. Действительно, г г '=( — ') -' --2=(" --') -' подставив эти выражения в левую часть дифференциального уравне- ния, получим после упрощений г / г2 тХ2.+ ГХ,+йХ2= Е аж т( — — + )444=0, 4т так как г2=4тл.
г г Итак, имеем даа решения: х,(г)=е 2м и хт(г)=ге 2, и с их помощью получаем для дифференциального уравнения без правой части такое решение: г Г х =с,е 2"' + саге которое содержит две произвольные постоянные: с, и сз. в) г' — 4тй < О. В этом случае можно положить га — 4тй= = — 4тттт, и два решения дифференциального уравнения получаются в следующей комплексной форме: г à — — 4СРЛ вЂ” 4-4Ы х,(г)=е 2~ и хз(г)=е 2"' С помощью формул Эйлера есгт4=созтг ч гз)птг эти комплексные решения можно записать так: г х, (г) = е 2 (сов те+ 4 ВОп т~) = и, (г) + гиа(г), г х, (г) = е 2'" (созе — ) з)птг) = и,(~) — )иа(г) и отделить вещественную часть от мнимой: и4(г)=е 2 созтг, и2(г)=е 2 з)птг, С другой стороны, х4 (Г) +хг (4) х (т) — х (т) 4() 2 ' и2(с) Из последних выражений видно, что действительные функции и4(г) и ит(Г) являются решениями дифференциального уравнения, Предлагаем читателю в качестве простого, но полезного упражнения проверить это прямой подстановкой в дифференциальное уравнение.
61б гл, хь сведения о днеевяенцилльных кялвнениях (з с помощью двух решений и,(1) и из(1) можно составить общее решение г х С1и~ (г)+азиз (г) = е м (С1созтг+с» з1птг), содержащее две произвольные постоянные с, и сз. Это решение можно записать и в другой форме: х=ае "" созч(Ф вЂ” б), если положить с,=асозчб, с»=аз(птб. В этой записи решения произвольными постоянными являются а и Ь.
Напомним, что это решение нам уже знакомо для частного случая г =О из гл. Ч, э 4 (стр. 339). 3. Физическое истолкование решении. В первых двух случаях (когда г) 2 1/шй или г=2 у'тА) решение выражается показач — — с тельной функцией или функцией ге з'", график которой при больших значениях 1 мало отличается от графика показательной функции, или же линейной комбинацией этих функций.
В этих случаях процесс является затухающим и не имеет колебательного характера: при возрастании времени 1 отклонение х от точки покоя аснмптотически приближается к нулю, не совершая колебаний вокруг значения х = О. Действие трения или затухания в этих случаях настолько велико, что упругая сила не может его преодолеть и не в состоянии вызвать колебательное движение. Совершенно иное течение имеет процесс в третьем случае, когда г < 2 углгй, когда ~рение г столь мало, что появляются комплексные корни Х, и Хз.
Тогда общее решение дается формулой ч х=ае з созе(1 — б), которая дает теперь затухающие колебания. Эти колебания можно представить себе образно как гармонические колебания с круговой ГЛ гз частотой т= ~г — — —, но с «амплитудой»„убывающей по покат 4т'' ч зательному закону ае з»1 . вместо того чтобы быть постоянной, как при настоящих гармонических колебаниях. Это убывание «амплитуды» тем быстрее, чем больше показатель затухания г/2т. В физической литературе показатель затухания обычно называют логарифмическим денременшом затухающего колебания. Этим термином хотят огметить, что логарифм «амплитуды» убывает со скоростью г12лк Процесс такого затухающего колебания изображен на рис.
142. Величину Т= 2п/ч называют условным периодом колебания, а величину то — начальной фазой. В том частном случае, когда г = О, получаются 617 5 а линеиное уРАВнение Без пРАВОИ чАсти настоящие гармонические колебания с круговой частотой УО = 17 Ф/т— собственной частотой незатухающей колебательной системы. 4.
Выделение частного решении, удовлетворяющего заданным начальным условиям. Единственность решения. Остается еще показать, что найденное решение, содержащее две произвольные постоянные с, и сю можно приспособить к любому заданному начальному состоянию, а также доказать, что оно исчерпывает все множество решений дифференциального уравнения. Пусть требуется найти такое решение, которое в момент времени 1=0 удовлетворяет начальным условиям х (О) = хо, х (О) = хо, причем числа хо и хо могут быть заданы совершенно произвольно. Тогда в первом случае из и' 2 надо положить с1 + са — ке, с1)ч + ся)оз = КО.
Из этих двух линейных уравнений для неизвестных с, и сз получаются единственные значения: Доха — Хо Ко Д!ХО ся —— Ло — Л, так как определитель системы Рис. 142. й — 7,, +0. Во втором случае тот же прием дает два линейных уравнения: г С, ХО, — =С,+СО=ХО, йж из которых с, и ся тоже определяются однозначно, Наконец, в третьем случае для определения постоянных а и Ь получается следующая система уравнений: г асозчЬ=КО, а(тз!ВУЬ вЂ” — созтЬ1=хе, 2т из которых для неизвестных а и Ь опять получается единственная система значений: а= — аг уяхэ+1х + — х), Ь= — агссоз — '. — О ~ О 2Ш О~ ° — О а Тем самым действительно выяснено. что полученное общее решение можно з любом из трех возможных случаев приспособить к произвольно заданному начальному состоянию.
Остается доказать, что других решений не существует, а для этого достаточно обнаружить, что заданному начальному состоянию не могут соответствовать два различных решения. 515 Гл, хь сВедения о диФФеРенциАльных уРАВнениях Доказательство поведем от противного. Предположим, что существуют два решения и(1) и о(8), для которых и(0)=хо и(0)=хв и о(0)=хо, о(0)=:со. Тогда разность этих решений то=и(1) — о(г) тоже будет решением дифференциального уравнения, и это решение будет соответствовать начальному состоянию тв(О) = О, е (0) = О, т.
е. начальному состоянию нокоя; это значит, что решение ш (Г) соответствует такому начальному состоянию, при котором в момент 1 = 0 материальная точка находится в своем положении покоя со скоростью, равной нулю. И мы должны доказать, что при тзких начальных условиях она никогда и не придет в движение. Для этой цели помножим дифференциальное уравнение ттв + г ш -[- )етв = 0 2 на 2чв; так как 2чвщ= — щз, а 2шщ = — щт, то в результате понт лучится — (тет) + — „(йщя) + 2гтвт = О. Проинтегрируем теперь это равенство ночленно от момента ! = 0 до Г=т; принимая во внимание начальные условия тв(0) =О, е(0) =О, получим т [тв('с)[2+ й [тв(т)[2+ 2г ~ [тв(Г)[яс(Г = О.
о Но это равенство содержало бы противоречие, если бы щ было отлично от нуля в какой-либо момент времени т ) 0; действительно, тогда левая часть была бы положительной величиной, так как т, м и г по условию положительны, между тем как правая часть есть нуль. Следовательно, щ = и(1) — о(г) постоянно равно нулю, и единственность решения доказана. Упражнения Для дифференциальных уравнений в упр.
1 — 5 найти общее решение, а затем частное решение, соответствующее начальным условиям х(0) =О, х (0) = 1. 1. х — Зх + 2х = О. 2. х + Зх + 2х = О. 3. 2х+х — х = О. 4. х+ 4х + 4х = О. 5. 4х+4х+х = О. 6. Найти общее решение дифференциального уравнения х+х+х=О, э 5. линейнОе уРАВнение с ПРАВОЙ чАстью 019 а также его частное решение, соответствующее начальным условиям х(0) =О, х(0) =1. Определить круговую частоту «, условный период Т, амплитуду а к начальную фазу «б этого решения. 7. Найти решение уравнения 2х+2х+х=О, соответствующее начальному состоянию х(0) =1, х(0) = — 1.
Вычислить амплитуду а, начальную фазу «б к круговую частоту «этого решения. Найти общее решение каждого нз следующих дифференциальных уравнений: изх игх их 8. — — 6 — +9 — =О. ит2 ит2 ис изу игу 9. — — — + — =О. ихз ихг их ~4у игу 1О. — = —. их' ггх' ф Б. Линейное уравнение с правой частью. Вынужденное движение 1. Общие замечания. Прежде чем перейти к решению проблемы при наличии внешней силы у(1), т.
е. к интегрированию линейного уравнения с правой частью, сделаем несколько важных замечаний. Во-первых, если нг(1) и о(() — два решения уравнения с правой частью, то их разность и(1)=нг — о удовлетворяет соответствующему уравнению без правой части; это сразу обнаруживается путем подстановки этой разности в дифференциальное уравнение. Обратно, если и(1) есть решение уравнения без правой час~и, а о(1) — решение уравнения с правой часгью, то е(1)=и+о является тоже решением уравнения с правой частью. Стало быть, из одного-единственного (часлгноао) решения уравнения с правой частью можно получить есе его решения путем прибавления к этому частному решению общего решения уравнения без правой части (так называемой дополнительной функции). Следовательно, остановка только за тем, чтобы найти одно лишь решение уравнения с правой частью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
