1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 117
Текст из файла (страница 117)
Подставив сюда о=х, получим новое д. у. первого порядка: ф(х, х, с,) =О, общее решение которого будет содержать помимо с, еще одну про- извольную постоянную сз. Пример 1. Возьмем д. у. второго порядка х=У(х), которое было уже решено другим путем в гл. У (стр. 339) при изучении движения материальной точки по заданной кривой. Полагая х=о, откуда х =он', приводим д. у.
к виду (!о о — = у(х). (гх В этом д. у. первого порядка переменные сразу отделяютсж и(то = у(х) 2!х, о' Г с, а следовательно, — = ~ У (х)2!х = Л (х) + †, где У((х) обозначает одну 2 нз первообразных функций для У (х). Разрешаем вто уравнение относительно о: -ЛЛ( ):н Заменяя о его выражением о =х, имеем новое д. у, первого порядка: и'х — -)22 ()е ч -Н 22Х 22 (*)-), 22'Х 22,(*) (" 2 2 22 * 2 Ю 22 Это решение содержит две произвольные постоянные н является решением исходного д. у. второго порядка. Пример 2.
уу" =! — (у')'. На этот раз через х обозначена независимая переменная, а искомая функция есть у. В этом д. у. отсутствует независимая переменная х. Вводим 4~У а~Р ГР 3У ~,Р в качестве новой искомой функции р = у'; тогда — = — = — — = Р. лхн лх лу Лх = ау 39 Р. Курннт б(О ГЛ. Х1. СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ !1 Преобразованное дифференциальное уравнение будет лр р сгр ч(у ур — = 1 — рг или лу 1 — р' у Интегрируя, получим !п)у(= — — !и!1 — рв!+!п)с,(, 2 а после потенцирования 2 с, Сг у= откуда !1 — рв ! = —, )Г!1 — Ф! у сг 1 сг 2 т.
е. либо 1 — р'= —, либо р' — 1= —. у2 у2 у — с, 2 2 с!у 'у у — с, Гг г В первом случае р = ~ или ; отделеу лх у иие переменных дает ж ссх, и интегрированием получаем )Гу - — сг ж чг у — с1 — — х+сг. Отсюда у — с1 — — х +2сгх+сг. чГ 2 2 2 2 2 2 Во вглорож случае последовательно имеем: с!у )ч у +сг 2 2 или =ч(х; Ш у у +с =х+сг сгх у 'т у —,с ° Г 2 ~ 2 и, наконец, у +с, =х +2сгх+сг. 2 2 2 2 Оба случая можно объединить в одной формуле: ув = х' + с,х + с,. Это и есть общее решение исходного дифференциального уравнения второго порядка.
Упражнения Решить дифференциальные уравнения: 1 у" +(у')2+1=0. 2 (1+х') ув+2ху'=О. 3. (1 — у) у" +2у'=О. 4. хх= 2(х)'. б. (1 — В)в — Св= 2, 6. ау"=у'. 7. Определить движение материальной точки по оси х под действием силы, притягивающей ее к началу координат и обратно пропорциональной квадрату расстояния от начала. 5 3. Дифференциальное уравнение колебаний н механике н фнаике 1. Простейшие механические колебании. Простейший тип механических колебаний мы уже рассмотрели в гл. ХГ, 2 4.
Речь шла о материальной точке массы т, способной двигаться вдоль оси х и связанной с точкой покоя х=б упругой силой. По условию вели- э~ В з. днооьнннцнлльнов эндвнение колнвлнип 611 чина возвращающей упругой силы пропорциональна отклонению х и, стало быть, равна ( — йх), где й — положительная постоянная, а знаком минус подчеркивается, что сила всегда направлена к началу координат. Теперь мы предположим, что существует еще сила трения, пропорциональная скорости точки х и направленная в сторону, ей противоположную; следовательно, сила трения измеряется выражением ( — гх), где «коэффициент трения» г — положительная постоянная.
Допустим. наконец, что на точку действует еще внешняя сила, заданная как функция У(1) времени 1. Тогда, по основному закону Ньютона, произведение массы т на ускорение х должно быть равно упругой силе, сложенной с силой трения и внешней силой, т. е. должно быть равно их равнодействующей, Это выражаешься следующим уравнением: тх.+гх+йх = у(1), которое и описывает движение материальной точки. Это дифференциальное уравнение называется уравнением колебаний.
хотя процесс, описываемый этим уравнением (см. стр. 616), далеко не всегда является колебательным. дифференциальное уравнение (любого порядка) йе й" †'х йх аэ (С) — + а, (Г) + ... + а„ , (С) — + а„ (С) х = у (Г) ~ге не ' т называется линейным. Если коэффициенты а,, аь а,, ..., а,„— постоянные числа, то оао называется линейным дифференциальным уразйением (л. д. у.) с постоянными коэффициентами. Ясно, что уравнение колебаний есть л. д, у.
второго порядка с постоянными коэффициентами. Член Г" (1) (внешняя сила) называется правой частью уравнения колебаний или еозмуцаеи(им членом. Если внешняя сила отсутствует, т. е. Г (1)= — О, то движение точки называется сеободныл~ движением или свободным колебанием, а дифференциальное уравнение называется однородным или ураенениелс без правой части. Если же внешняя сила )'(1) не равна нулю при всех значениях Г, то движение точки называется вынужденным, а дифференциальное уравнение— неоднородным или уравнением с правой частью. 2.
Электрические колебании. Механическая система описанного выше простого типа может быть фактически реализовзна лишь приближенно. Например, теория малых колебаний маятника есть лишь приближенная теория. Колебания магнитной стрелки, вибрации центра телефонной (микрофонной) мембраны и другие механические колебания тоже можно заменить описанной схемой только с некоторьщ приближением.
Существую~, однако, процессы другого типа, которые с гораздо большей точностью соответствуют нашему дифференцизльному уравнению. Это явления, происходящие в электрическом колебательном контуре. 39» б12 Гл. хе сВедения о диФФеРенциАльных уРАВнениях Рассмотрим колебательный контур. изображенный схематически на рис. 141, обладающий индуктивностью А, сопротивлением )1 и емкостью С.
Кроме того, пусть на контур действует ннешняя электродвижушая сила ф(1). заданная как функция времени Е например напряжение, подаваемое генератором переменного тока, или напряжения, воз- А ~ буждаемые электромагнитными волнами. Для того чтобы вывести дифференциальное уравнение прорвг/ цесса, происходящего з контуре, обозначим напряжение (разность потенциалов) на обкладках конденсатора через Е, а заряд конденсатора через ьг. Р"с 141 Эти величины связаны соотношением СЕ = Я. Сила тока l, которая тоже будет, как и напряжение Е, функцией времени 1, определяется как изменение заряда в единицу времени, т.
е. измеряется скоростью уменьшения заряда конденсатора: з = — 1') = — СЕ. Соглзсно закону Ома, произведение силы тока на сопротивление равно суммарной электродвижущей силе, т. е. равно в данном случае напряжению на обклалках конденсатора минус электродвижущая сила самоиндукции ь/ (она действует в противоположном направлении) плюс внешняя электро- движущая сила ф(1). В итоге получается уравнение И=.-Š— Ы+грЯ, или — КСЕ=Е+(СЕ.+гр(1), или, окончательно, уравнение ЕЕ + РсЕ + — Е = — — ф (1), 1 1 С С которому долишо удовлетворять напряжение в контуре, как функция времени.
Получилось дифференциальное уравнение точно того же типа, что и для механических колебаний в и' 1. Что касается коэффициентов уравнения, то вместо массы здесь индуктивность, вместо коэффициента трения — сопротивление, вместо коэффициента- упругости — величина, обратная емкости; внешней же силе соответствует здесь внешняя электродвижущая сила (помноженная на постоянный коэффициент). Если внешняя электродвижущая сила равна нулю, то дифференциальное уравнение будет без правой части. Из уравнения (1) можно вывести дифференциальное уравнение и для силы тока з'.
Для этого умножим (1) на ( — С) и продифференцируем его по времени. Так как — СЕ=У, — СЕ=У и — СЕ =К то для з'. как функции времени, получается дифференциальное уравнение + + С От уравнения для напряжения Е оно отличается лишь правой частью, а в случае свободного движения, когда ф(1)=0, оно с пим совпадает полностью.
э с линеиное уРАВнение Без пРАВОИ чАсти б13 й 4. Решение линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами без правой части. Свободное движение 1, Общая теорема о решениях л. д. у. без правой части. Всякое линейное дифференциальное уравнение без правой части (А) аа(1) х+а,(г) х-+аг(г) х = О обладает следующим замечательным свойством: если функции х,(1) и ха(1) являются решениялш уравнении (А), то и выражение (В) Х = С1Х1 (С) + Саха (С) будет решением етого уравнения нри всех значениях ностоян- НЫХ С, И Сг. Д о к аз а т ель с та о. Тот факт.
что х1(с) и хг(С) являются решейнями, выражается следующими тождествами: иэ (1) х, + а, (1) х, + аа (8) х, = О, аа Я ха + а, (Ф) хэ .+ аг (с) хг = О. Подставим теперь функцию (В) в левую часть дифференциального уравнения (А): ив а, Я вЂ” „, (с, х, + с,х ) + а, (1) — „„(с,х, + сгх ) -+- а (1) (с,х, + сгхг) = = аа (1) (с,х, + сгхг) + а, (г) (с,х, + сгхг) + аэ (г) (с,х, + саха) = = с1 [ад (г) х, + а, (1) х, + аг (Г) х,[ + + сг [аа (1) ха + а, (8) ха + аг (1) хт[ = — О. Левая часть оказалась тождественно равной нулю, что н доказывает наше утверждение. Доказанная теорема поможет нам в следующем и' построить общее решение л.
д. у. типа (А), но с постоянными коэффициентами. Эта теорема справедлива для л. д. у. без правой части любого порядка, что читатель без труда сам докажет. 2. Формальное решение, Для дифференциального уравнения без правой части с постоянными коэффициентами (стр. 611) тх+ гх+ Ах = О легко получить решение, имеющее вид показательной функйии х = е".
[На мысль иекль решение з такой форме наводит тот уже нзвестныи нам факт (см, стр, 207), что линейное уравнение без правой части первого порядка х+ ах = О имеет частное решение е- ' именно такого вида.] Для этой цели надо попытаться так подобрать постоянную Л, чтобы выражение х=еАю удовлетворило уравнению. Подставив это выражение и его производные по 1, х =Ле"' и х = Лте", в дифференциальное уравнение и сократив на общий множитель ех'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
