1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 115
Текст из файла (страница 115)
1. Уравнения с отделяющимися переменными. Если возможно дифференциальное уравнение путем умножения (или леления) на какое- либо выражение привести к виду Л (х) у =— В (у) где известная функция А зависит только от х, а  — только от у, то оно называется дифференциальным уравнением с отделяющимися .переменными. Последнее уравнение можно записать и в такой форме: А (х) дх -+ В (у) в(у = О, и тогда говорят. что переменные уже отделены, Интегрируя почленно, получаем ~ А (х) в(х+ ~ В (у) г(у = с, где каждый символ интеграла означает здесь какую-либо первообразиую для своей подынтегральной функции, а с — постоянную интегрирования, Если обозначить эти цервообразные функции, считаемые извест.ными, через А,(х) и В,(у), то получим равенство А, (х) + В, (у) = с, которое можно считать общим решением дифференциального уравнения (в неявном виде), потому что. если представить его себе решенным относительно у, то общее решение получится в явном виде.
Ясно, что решение получено путем квадратур. Пример 1. Решим уравнение у = — кля — = —. Отделение переду х пх х пу и'х ! у пенных дает — = —, откуда получаем решение ! и ~ — ~ = в. у х ' !х ') Некоторые дифференциальные уравнения имеют кроме общего решения еще и так называемые особые решения. О яих будет сказано в т. П, гл. Ч1, й 5.
Особым решением дифференциального уравнения называется такое его решение, которое не входит в состав общего решения, т. е. не получается из последнего ни прк каких значениях постоянной интегрирования. (Прилг. перев.) 3! $ !. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА у2 у' = — тоже решается отдех2 1 1 полу чаем — — = — — + С. у х Пример 2. Дифференциальное уравнение су лх леннем переменных: — = —. Интегрируя у2,22 х откуда у = (общее решение). При мер 3. Рассмотрим уравнение уу' + ху' = х. Приведем его к виду ус(у+х (у2 — 1) ссх — О нлн ! +х2тх= о у яу у2 ! Теперь переменные отделены. Интегрируя, получим 2!и!У 1!+2х =с, илн !У вЂ” 1!е =с'=!с,~, илн также (у — 1) сх = с,.
Примеры одноролных функций: з!и У (нулевого измерения), ах+Ьу х и у'ахл+Ьху+сут (первого измерения), хт+ут и хзф У (второго х измерения). Дробь * , у которой числитель и знаменатель †олнород- М(х, у). АГ(х, у) ' ные функции одинакового измерения т, можно представить как функцию от, оаной только дроби у/х. Действительно, положим 1=1/х. Тогда М (1, у/х) = х 22М (х, у) и /ч'(1, у/х) = х 22М(х, у). Следовательно, ' = ' = А' (у/х) и является однородной М(х, у) М(1, у/х) функцией измерения О.) Однородным дифференциальным уравнением первого порядка называется дифференциальное уравнение Вида М (х, у) !1х+ М (х.
у) с(у = О, Упражнения Решить дифференциальные уравнения: 1. з!В х соз у ссх + соз х з!и у лу = О. 2. (1+у2) х 2Гх+(1-Ь.хс) Лу = О. 3. ус~ Лх — (1 + 2~) Лу = О, 4. (1+у ) 2ГХ вЂ” (2у+)Г1+у2) (1+х)зГ2 ну =О. 2. Однородное дмфференцнальное уравнение первого порядка.. (Сначала дадим определение однородной функции измерения т. Функция двух переменных ф(х, у) называется однородной функцией измерения т, если при любом значении 1 ф(! Гу) =г ф(х у). З! 4 1.
ДИООВЯВНЦИЛЛЬНЫН УНЛВНЕНИЯ ПННВОГО ПОНЯДКЛ бо! Интегрирование дает л2 с — =1п)х!+ —. 2 2' (Здесь удобяо произвольную постоянную обозначить через с/2.) Так как л=у/х, то ут = хт (2 1и ! х ! + с) и у = ~х)Г2 1п !х!+с, 2. Решим уравнение первого порядка (2 $~ху — х) лу + у сх = О.
(А) Это однородное дифференциальное уравнение, так как выражения М (х, у) = у и Ф(х, у) = 2 г'ху — х являются однородными функциями оди- накового (первого) измерения. Однако здесь легче прийти к цели, если еыс'х разить не —, а —: йх оу ' йх х — 2)гху х / х у 'г' кх и ввести вместо х новую переменную о=х)у, так что х=оу и — =о+ лу йе -1- у †. Преобразованное уравнение будет йу ' йо йо о+у — =о — 2уо или у — +2Уо=о, Ну йу Отделение переменных дает =+ — = О, по йу 2)го у откуда, интегрируя, получим: 'г' о + 1и ! у ! = с и окончательно — + 1п ! у ! = с.
х у Упражнения Решить следующие однородные дифференциальные уравнения: 1. у' ох + х (х — у) су = О. 2. ху их+(х'+у') иу = О. 3. хз — ут+ 2хуу' = О. 4. (х+ у) их+(у — х) йу =О. 5. (х'+ху) у'=х г'х« — у'+ху+уй 3. Общее линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида у' -+ а (х) у = Ь (х). (ау Термином «линейный» здесь отмечается, что уравнение линейно, т. е.
первой степени, относительно совокупности символов у и у'. В гл. !!1, бо2 Гл. х>. сВедения о диФФеРенциАльных уРАВнениях !з й 7, и'и' 1 и 6, мы полностью решили линейное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами, т. е. тот частный случай этого уравнения. когда а(х) =а =сопз1 и Ь(х)=Ь=сопз1. Однако уравнение (а) можно полностью решить н в общем случае, если а(х) и Ь(х) — непрерывные функции от х. причем решение приводит к показательной функции и к квадратурам (хотя выполнение этих квадратур с помощью элементарных функций большей частью и невозможно). Сначала рассмотрим частный случай, когда Ь(х)= — О.
Дифференциальное уравнение (а) можно тогда записать (предполагаем, что у~ О) в виде — = — а (х) у' у откуда, интегрируя, получаем !и ~ у ~ = — ~ а (х) с>х = — а, (х) .+ !и ~ с (, где а,(х) — какая-либо из первообразных функций для а(х), а по:тоянную интегрирования вдесь целесообразно записать в виде !и~ с), .де с — произвольная постоянная. Потенцирование дает (у>=>с>е-" 1"> и у=ее о ов>.
Ф) Эта формула дает и при с=О решение уравнения (а), а именно у=О. Пусть теперь Ь(х) не равно нулю. Введем новую неизвестную функцию и(х) с помощью формулы у=и(х) е-о ьт> это преобразование получено заменой в общем решении ((>), найденном для частного случая, когда Ь(х) = О. постоянной с неизвестной функцией и(х) и называется в силу этого изменением или вариацией постоянной.
Так как а,'(х)=а(х), то у' = и ' (х) е-' ы>-и (х) е-' < >а, '(х) = и' (х) е-' ыв> — а (х) и (х) е-о < > и для искомой функции и(х) получается дифференциальное уравнение и'(х)е-о <'>=Ь(х) или йи=Ь(х)е" < >ах, откуда и (х) = ~ Ь (х) е" !'> йх+ с. причем символ интеграла обозначает здесь только какую-либо одну из первообразных функций для своей подынтегральной функции, а с — произвольная постоянная интегрирования. Выражение для и(х) построено из известных функций а(х) и Ь(х) исключительно с по- н $ !.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯЛКА 6Щ упражнения Решить следующие линейные дифференцизльные уравнения первого порядка: 1. у +усозх=сояхз!нх. 2. у' — У = е» (х+ 1)" яу х+1 2 '1 у' у=»' х 3. х(х — 1) у'+(1 — 2х) у+хя = О.
б. (1+х') у'+ху = 1 6. (1+ у') !>х = (агс!я у — х) ну. 4. Уравнение Бернулли. Теперь рассмотрим несколько более. общее дифференциальное уравнение у'+- а (х) у = д (х) у", (в) где в — любое постоянное число; оно известно под названием урав-. нения Бернулли. Линейное уравнение является его частным случаем мощью квадратур, т. е.
процессов обыкновенного интегрирования, и с участием показательной функции. Для первоначальной неизвестной у получается следующее выражение: у(х) = е к ! >~ ~ >>(х) ек >х>о>х+51, где а,(х)= ~ а(х)с(х — одна из первообразных функций для а(х). Это и есть общее решение дифференциального уравнения (а); оно содержит одну произвольную постоянную с.
В построении преобра- зования у = и (х) е-к~ !"> участвовала произвольная первообразная а, (х); поэтому могло бы показаться, что различный выбор этой первооб- разной, определенной лишь с точностью до постоянного слагаемого, мог бы внести' в окончательное решение для у еще одну произволь- ную постоянную. Но этого не будет. Действительно, если в оконча- тельной формуле для у(х) заменить а, (х) через а, (х)+ с,, то после упрощения получится прежнее выражение, только лишь с заменой с на се-'. П р и м е р. Решим дифференциальное уравнение у'+ ху+х = О.
Сна- чала приведем его к внлу у'+ху = — х, х' так что а(х)=х, Ь(х)= — х. Имеем ~ а(х)!тх= ~ хстх= — +С; нрн- 2 мем а! (х) = Х2>2. Теперь ь(х) е"'>х> !Гх= — ) хех> !гх= — ехг> (одна первообразная), и но формуле общего решения у (х) к-х'>2 ( гх >2 + с) ся-х'Г> Правильность результата легко проверить дифференцированием. Оба гл. х). сввдвння о диэеьивнцнлльных яялвниннях (4 при л = О. Если и =- 1, то получается уравнение с отделяющимися переменными — =[б(х) — а(х)[у или — =[()(х) — а(х)[с)х, а'у лу ах у которое интегрируется сразу. Поэтому будем предполагать, что п+1. Уравнение Бернулли можно решить тем же методом, что и линейное уравнение. Сперва решаем более простой его частный случай, когда ))(х)= О, а именно уравнение у'+ а (х) у = О.
Его общее рещение уже было найдено в предыдущем п'1 у= се-' (л) (у) где а)(х) = ~ а (х)((х есть какая-либо первообразная функция для .а (х). Затем для рен)ения общего уравнения, т. е. уравнения, в котором ()(х)+О. применяем уже знакомый нам метод изменения постоянной, а именно вводим новую искомую функцию т)(х) по формуле у — о (х) е — а,(л). эта формула подсказана 'найденным выше общим решением (у) для частного случая уравнения Бернулли и получается из (у) заменой постоянной с новой неизвестной функцией п(х). Дифференцируя формулу преобразования, имеем у' = пе- (л) — о (х) е-а (л) а' (х) = ое-л ол — а (х) о (х) е-а (л).
1 После подстановки этого выражения и выражения для у в уравнение ([)) получим для определения п(х) следующее дифференциальное уравнение: — е-' (") =))(х) [о(х))л е-" ('), а'х я котором переменные можно сраау отделить: о л((т) б(х)ер л)аы )с(х. Интегрируя, получим 1-л = ~ ()(х) ен ") (л) с(х+с, 1 — л где под символом интеграла мы здесь подразумеваем лишь какую-либо одну первообразную. Подставляя сюда вместо и его выражение через у, о=-уеа~(л), получим у1-л (1 в)е(л-1)а,(л) ~ ~ ()(х)е(1-л)а,(юс(х+с $ Ь ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 665 где а,(х) есть одна из первообразных для функции а(х), а с — произвольная постоянная. Метод изменения (вариации) постоянной очень важен и может быть применен во многих случаях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
