1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Эти тождества можно рассматривать как две системы линейных уравнений для нахождения неизвестных да, Ь1; Еч, Ьж Обозначим через 1) общий определитель обеих систем: ф.ф, $х 5, л(ы предполагаем, что О Ф О. Тогда фу фх ггу йь= — ЛЕ= — — ' й = —— 0 ' г".1' ч Р нлн Чу Чх ьу Вх ха= —, УЕ= — —, х = — —, У=— 1У В ч 11 ' ч 11 Вот мы и выразили частные производные от обратной системы функций через частные производные от исходной системы функций, Определитель дь де дх ду дг1 дц дх ду называется функциональным определителем или якобианол системы функций $, т) по системе переменных х, у или, лучше, якобианом преобразования $=$(х, у), т)=ь)(х, у).
Он встречается так часто. что для него установили специальный символ: д(ь г)) д(х, у) ' Упражнения 1. Вычислить частные производные первого порядка от функций: 'г г- ' ') г- ч.г~" ггг.~г.г'г.~г' 1 г* г.» г.г г б) у = агсз|е г) Г= сьнр'х+ух. х+у' " 674 ГЛ. Х. ОЧЕРК ТЕОРИИ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 2. Вычислить производные по х от функций: = ~(-.')"Г 3. Доказать, что если у (х, у) удовлетворяет «уравнен22ю Лапласа» д»У д«У — + — =О, дхз ду« то и функция 2Р(х, у)» у1 2 2, 2) удовлетворяет атому уразу = (,хт+у' х2+у2 нению.
4. Доказать, что функции 1 а) у (х, у) =1п)Гх»+у', б) а(х, у, х) = Ьгхт+у2+хт ' 1 в) Ь(х, у, х, то) =,+ +,+ удовлетворяют соответствующим уравнениям Лапласа: а) ух«+у =О, б) а „+я +л«2=0, в) Ь2хх+ Ьуу+ Ьг«+ яви=о. 5.
Лана функция а = г' соа О, где г и 0 — полярные координаты. а) Найти хх и х в точке 0 =н/4, г =2. 6) Выразить х, н хе через лх и х . 6. Преобразование Е = а + ах + бу, 21 = Ь вЂ” бх+ ау, где а, Ь, а, б — постоянные и аз+62=1, переводит функцию и(х, у) в функцию (7(5, П). Доказать, что (Ги(гчч — (Гтч —— и .«и à — и«к 7.
Вычислить якобианы следующих преобразований; а) 3 =ах+Ьу, П= сх+ду; б) г= ггхт+ут, О =агс(н У; в) $=х', 2) = уз. 8. Даны два последовательных преобразования: х =х(и, о), у = у(и, о), затем и = и ($, т(), о =о(С, П). Доказать, что д(х. у) д(х,.у) д(и, о) д(с, 21) д(и, о) д($, 21) 9. В качестве следствия из результата упр. 8 доказать, что д(х, у) 1 д (и, о) д (и, о) ' д (х, у) 10. Пользуясь результатом упр. 9, вычислить якобианы преобразований, обратных преобразованиям, данным в упр. 7. В Б. Неявные функции Теперь мы можем восполнить пробел, оставшийся в технике дифференцирования не только функций нескольких переменных, но даже и функций одной переменной. Речь идет о дифференцировании ненаных функций.
Для того чтобы подойти к понятию неявной функции, мы начнем со знакомого понятия об обратной функции для за. няявныв еьнкцин функции у= ) (х). Вта обратная функция получается, если решить уравнение у — )'(х) = 0 относительно х. Рассмотрим теперь задачу о решении более общих уравнений вида Р(х, у)=0 относительно х нли у, а также аналогичных уравнений, где функция Р зависит от нескольких независимых переменных. Уже из курса аналитической геометрии читателю известно, что кривые часто задают не уравнениями вида у=т(х) или х=гр(у), а уравнением вида Р(х, у) = О. связывающим переменные х и у.
Таковы уравнения окружности ха+ ут — /са = О. эллипса х2 у2 —,+ — ", — 1=0 и лемнискаты (ха+)и)з — 2ат(хт — уа)=0. Для ае того чтобы получить у как функцию от х или х как функцию от у, надо решить урзвнеиие Р(х, у) = 0 относительно у или относительно х.
Так вот говорят, что уравнение Р(х, у)=0 определяет у как функцию от х или х как функцию от у неявно или в неявном виде, а решив это уравнение, получим функцию у =г" (х) или х =ф(у) е явном виде. В приведенных только что примерах и во многих других уравнение Р(х, у) =0 удается решить и функцию у=~(х) илн х=ф(у) выразить явно с помощью элементарных функциональных символов. В других случаях решение уравнения может быть получено в виде бесконечного ряда илн другого предельного процесса, т.
е. в этих случаях решение у=) (х) или х=ф(у) можно получить приближенно с какой угодно точностью, Однако для многих целей более удобно исследовать функцию, пользуясь ее неявным определением Р(х, у) =О. вместо того, чтобы прибегать к точному или приближенному решению уравнения. Не следует думать, что всякое уравнение Р (х, у) = 0 определяет в неявном виде функцию у = г"(х) нли х =гр(у), какова бы нн была функция Р(х, у). Это ошибочная мысль.
Напротив, легко придумать такие примеры функций Р(х, у), для которых уравнение Р(х, у)=0 не имеет решения в виде функции одной переменной. Так, например, уравнению ха+уз= О удовлетворяет лишь одна пара значений х= О, у= О, а уравнение ха+уз+ 1 = 0 вовсе не имеет (действительных) решений. Необходимо поэтому исследовать, при каком условии уравнение Р(х, у)=0 определяет в неявном виде функцию у = Г(х), и выяснить свойства этой функции. В этом месте мы не можем заняться таким исследованием; мы здесь удовольствуемся геометрической картиной, которая наглядно подскажет требуемые результаты, а строгие доказательства отложим до второго тома. 1. Геометрическое истолкование неявных функций. Лля того чтобы геометрически уяснить себе этот вопрос, изобразим функцию и = Р(х, у) поверхностью в трехмерном пространстве.
Найти значения (х, у), удовлетворяющие уравнению Р(х, у)=0,— это то же самое, что найти значения (х, у), удовлетворяющие двум уравнениям и=Р(х, у) и и=О, т. е. найти сечение поверхности и=Р(х, у) 570 ГЛ. Х. ОЧЕРК ТЕОРИИ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ р плоскостью и = 0 (плоскостью х, у). Может случиться, что не существует ни одной такой точки; тогда нет и пересечения, и уравнение Р(х, у) =О не имеет решения и не определяет никакой функции у = у (х) или х = <р(у). Предположим теперь, что существует точка (хз, уз), удовлетворяющая уравнению Р(х, у)=О. Это значит, что точка (ха, уе, О) является общей точкой поверхности и=Р(х, у) и плоскости хОу. Представин себе теперь касательную плоскость к поверхности и = Р(х, у) в точке (хз, ур, О).
(Точное определение касательной плоскости к поверхности будет дано во втором томе; здесь имеется в виду лишь наглядное представление о ней.) Существуют две возможности: касательная плоскость совпадает с плоскостью хОу или нет. Первый взриант возможен лишь в том случае, если обе кривые и= 7(хе, у), х=хе и и=.у(х, уе), у=уз имеют в точке (хз, уз, О) касательные, лежащие в плоскости хОу, а это будет, если Р„(хе, уо) = О и РУ (хо уо) = О. Если же Р„(хо уз) + О нлн Р (хе. уа) + О, то касательная плоскость не совпадает с плоскостью хОу. Рассмотрим первый случай: Р„(хю уа)=Р (ха, уз)=0.
Можно показать на примерах, что в этом случае нет уверенности в су!цествовании решения вида у=у(х) или х=!р(у). например, при Р(х, у) = 1 — гг1 — х' — у' соответствующая поверхность и=1 — )л 1 — х' — у' есть нижняя половина шаровой поверхности радиуса 1 с центром в точке (О, О, 1). Она имеет с плоскостью хОу общую точку (О, 0), и в втой точке частные производные Р (О, 0) и Р (О, 0) равны одновременно нулю. Ясно, что (О, 0) есть единственная точка плоскости ху, .удовлетворяющая уравнению Р(х. у) =О. Для другой функции Р (х, у) = ху тоже имеем Р (О, 0) = 0 и одновременно Р, (О, 0) = Р„(0, 0)=0. На этот раз все точки оси х н все точки оси у удовлетворяют уравнению Р (х, у) = 0; однако в окрестности начала координат нет единственного решения вида х = сг(у) нлн у = у (х). Вывод таков: если Р„ (хз, уе) = Р„(хз, уа) = О, то нельзя быть уверенным в существовании решения.
Остается второй случай: Р (хз, уа) Ф О или Р„(ха, уз)+ О, и тогда касательная плоскость в точке (ха, уз, 0) не совпадает с плоскостью хОу и пересекает ее по прямой линии. В этом случае наглядное представление подсказывает, что и поверхность и = Р(х, у), тесно примыкая к своей касательной плоскости, тоже пересекает плоскость хОу по однозначно определенной кривой.
Как далеко эта кривая простирается, нас теперь не интересует, но естественно ожидать, что какая-то часть ее в окрестности точки (хз, уз) может быть представлена уравнением вида у = у (х) или х = !р(у). 2. Дифференцмрование неявных функций. Остановимся на том случае, когда одна из частных производных не обращается в точке (хз, уа) в нуль; для конкретности пусть Р (хз, уз) чь О. Наглядное представление, что гладкая поверхность и = Р(х, у) должна пересе- 577 % ь. неявнын еункцнн каться по гладкой крнвои с плоскостью хОу, которая ее не касается в их общей точке (хе, уе, 0).
наводит на следующую теорему: Если функция Р(х, у) имеет непрерывные производные Р„ и Ру и если точка (хе, уе) удовлетворяет уравнению Р(х, у) = О. так что Р(хе, уо) = О, между тем как Р (хе, уе) Ф О, то вокруг точки (хе, уе) можно выделить тассой прялсоугольник х, (х(хг, у, ( у ( уг, что в интервале х, ( х ( хг уравнением Р (х, у) = О определяется однозначная и непрерывная функция у=с (х). значения которой лежат в интервале у, ( у ( у,; зта функция принимает при х = хе значение уе — — У(хь) и в каждой точке интервала х, ( х ( х, удовлетворяет тождественно уравнению Р[х, 7'(х)] = О. Кроме того, функция у= С(х) имеет непрерывную про.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
