1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 111
Текст из файла (страница 111)
изводную. Эту теорему можно действительно строго доказать. и это булет сделано во втором томе. Здесь мы, допуская справедливость этой теоремы. добавим следующее: Производная от функции у = 7'(х), определенной в неявном виде уравнениелс Р(х. у)=0, дается формулой у'=У'(х) = — — '. Ру ' Эта формула получается сразу с помощью правила цепочки. Дойсс их йу ствительно, — „Р[х, у(х)]=Р,— „+Ру — „=Р,+Р 7". Однако так как выражение Р[х, 7(х)] тождественно равно нулю, то его производная тоже равна нулю; стало быть, Рк+Р 7'=О, откуда и вытекает докааываемая формула. Можно вычислить и у"; для этого рассмзтриваем правую часть формулы для у' как сложную функцию, дифференцируем ее по правилу цепочки, а затем заменяем у через — — тзк: Ру Ру (Ркк+ РкуУ ) Рк (Рук+ РууУ ) 2 У Продолжая так дальше, можно вычислить и у"', усу и т.
д. Даже в том случае, когда уравнение Р(х, у) = 0 легко решить относительно у, часто много легче найти производную от неявной функции по приведеннон формуле, чем раньше решить уравнение, а затем дифференцировать явное выражение функции. 37 Р. Курант 578 гл, х. очаги тнояии еуикции многих пнннмпииых 13 В качестве примера рассмотрим уравнение окружности Р(х, у) ~хт+ уг — 1 = О. Имеем У =— у Это нетрудно проверить. Решая уравнение окружности относительно у, получим два решении: у = г' 1 —.с' (для верхней полуокружности) и у= — У' 1 — х' (для нижней). Для верхней полуокружности у' =, а для нижней РТ вЂ” х' х у'=, так что в обоих случаях у' = — х/у.
т'1 — х' В качестце второго примера рассмотрим Р(х, у)= — ел+к+у — х=о. Этому уоавиению удовлетворяет точка хь 1/2, уь= — 1/2. Вычисление дает Р,(1/2, — 1/2) =О, Рт (1/2, — 1/2) = 2. Следовательно, уравнение имеет решение у = у(х), но вычисление явного выражения втой функции не просто. Тем не менее наладим е"-ьт — 1 У = Рт ел+У+1 Пользуясь этим выражением для производной, можно найти, например, экстремумы функции у=У(х), хотя бы и не зная ее ивного выражения. Необходимым условием экстремума является у'=О, т.
е. е"+т — 1=0, откуда у — х. Подстановка у = — х в уравнение Р (х. у) = О дает 1 — 2х=о, а стало быть, х=1/2, у= — 1/2. Вычислив значение У" (х) при х = 1/2, обнаруживаем, что оно отрицательно, так что функция у = У(х) пашет в точке х= 1/2 максимум у = — 1/2. 3. Дифференцирование неявной функции многих переменных. Теорему о неявной функции можно обобщить на функции многих переменных следующим образом: Пусть Р(х, у, ..., г, и) есть непрерывная функция своих аргументов х, у, .... г, и, имеющая непрерывные частные производные Р..
Рт, ..., Р., Р. Пусть система значений хо. у,, ..., г„, иэ удовлетворяет уравнению Р=О, так,что Р(х, уо, ..., го. ио)=0, между тем касс Р,(хь, уэ ° ° -, го, иэ) Ф О. Тогда можно выделить интервал и,~~и <иг вокруг ие и область О, содержащую (хэ. уэ...., гэ), таким образом, что уравнением Р(х, у, .... г, и)=0 определяется однозначная функция и=/'(х, у,..., г); эта функция удовлетворяет з каждой точке области () уравнению Р(х. у, ..., г,,У(х, у, ..., г)) =О, и для нез иэ = У (хэ уэ ° ° ° ге) Кроме того, функция и=у(х. у, ..., г) является непрерывной функцией независимых переменных х, у, ..., г и имеет Ь а. нкявнык окнкции по ним непрерывные частные производные, определяемые уравнениямич Р„+Р„У =О. Р„-+Р„У, =О, За доказательством существования и непрерывности функции и мы опять отошлем читателя ко второму тому.
Формулы же для частных производных (к, уу, ..., (, легко получаются с помощью правила цепочки. Попутно заметим, что понятие неявной функции дает возможность дать общее определение термина «алгебраическая функция». Функция и=!'(х, у„..., г) называется алгебра22чеснод фуннциед независимых переменных х, у, ..., г, если эта функция и может быть определена неявно уравнением Р (х, у.
.. х, и) = О, где уч есть многочлен от переменных х, у, ..., г, и, т. е. если и удовлетворяет «алгебраическому уравнению». Функции, не удовлетворяющие никакому алгебраическому уравнению, называются трансцендентными (стр. 39). В качестве примера на дифференцирование неявной функпин многих переменных возьмем уравнение зллипсоида х' у' и' — + — + — — 1 =О. а» Ь' с' По данному выше правилу получаем частные производные: 2х 2и с' х 2у 2и с' у и и а' ' с' ак и ' У Ь' ' ск Ь' и' дифференцируя полученные выражения вновь по х и по у, мы вычислим частные производные второго порядка: с' 1 с' х с'а'и'+ с'х" КК а2 "и+ ак ' ик К а'и' су х с4 ху и = — — и кУ вЂ” ак ' ц2 У а2Ь2 и2 с' 1 ск у с'Ь'и' с'ук Ь2 и ' Ьу и' Ь Упражнения 1. Доказать, что данные ниже уравнения имеют единственные решения для у в окрестности указанных точек: а) х' +ху + у' = 7 в окрестности точки (2, 1); б) х сваху =О (1, п(2); в) ху+1п (ху) = 1 » (1,1); г) х»+ у'+ху = 3 (1, 1).
2. Найти первые производные от неявных функций, заданных в упр, 1, в указанных там точках. 580 гл. х, очвгк теогии эвикции многих пнннмннных П з. Вычислить вторые производные от неявных функций упр. 1 в указанных там точках. 4, Найти максимумы н минимумы функции у = У(х), определенной неявно уравнением х'+х»+у' = 2т. Б. Показать, что уравнение х+у+«=з!п(ху«) имеет единственное решение « = У(х, у) в окрестности точки (О, О, 0), т.
е. единственное решение, прнннмаюн!ее прн х=О н у=О значение «=О. Найти частные производные этого решения в указанной точке. 5 6. Двойные и повторные интегралы 1. Двойные интегралы. Рассмотрим функцию и =у'(х, у), определенную и непрерывную в прямоугольнике г< (а (х (13, с (у(а3) и принимающую только положительные значения.
Мы желаем приписзть некоторый объем части трехмерного пространства, ограниченной прямоугольником гс, поверхностью и = Г" (х, у) и четырьмя плоскостями х =а, х=д, у=с, у=с(, х перпендикулярными к плоскости х, у. 3 33 /! ! ! 3 ! 3 3ь с « !< тому же объем должен быть опре! 3 3! 3 ! ! делен таким образом, чтобы он удов! летворял некоторым элементарным ! 3 ! условиям: !) если трехмерная область ! ! ! есть прямоугольный параллелепипед, ! 3 ! l 3 ! ! т. е. если функция и=а=сонэ!, то объем должен быть равен проРнс.
!36. изведению площади основания на высоту, У = (<3 — а)(33 — с) а; 2)если разбить прямоугольник гс, проведя надлежащие прямые, на меньшие прямоугольники 33<! и гсз, то объем тела с основанием гт должен быть равен объему тела с основанием й! плюс объем тела с основанием гса; 3) если тело с основанием г<! полностью включает тело с основанием Яю то объем первого тела должен быть не меньше объема второго. Эти соображения приводят к методу определения объема являющемуся распространением метода определения площади в гл.
П (стр. !ОЗ и след.). Разбиваем прямоугольник гс' прямыми, параллельными его сторонам, на меньшие прямоугольники Й3, )т3«, ..., Йл3, площади которых обозначим через Л53, ЛЯю ..., Л53т. В каждом прямоугольнике гс функция и = Г (х, у) имеет наименьшее значение т, и наибольшее значение М,. Поэтому прямоугольный параллелепипед с основанием гг и высотой М. полностью включает часть нашего тела, имеющую вид столбика с основанием )т3;, а эта часть содеРжит внУтРи себЯ пРЯмоУгольный паРаллелепипед с основанием 33т3г и высотой т) (рис.
!Зб). Отсюда видно, что объем рассматриваемого элементарного столбика лежит между т,ЛЯ н МгЛ8;, а с!ало быть, Ь б. ДВОННЫЕ И ПОВТОРНЫЕ ИНТЕГРЛЛЫ бй1 искомый полный объем Ъ' лолжен удовлетворять неравенству Ж н ХтгЛЗ1 <~~ <ХМуЛЗ, 1-1 т=г Предположим теперь, что число М частичных првмоугольников безгранично возрастает, и притом так, что длина наибольшей диагонали стремится к нулю. Естественно ожидать, как подсказывает наглядное представление, что обе суммы ~ туЛ51 и ~~.",М Ло булут сходиться, и притом к олному и тому нсе прелелу.
Этот-то предел мы и назовем ойвемом У. Читатель, наверное, заметил, что мы выполнили прямое обобщение рассуждения, проведенного в гл. П, стр. 103. Общий предел сумм ~.",ттЛЗ и ~~".,М1ЛЯ называют двойным интегралом функЛии и=у1х, у) по прямоугольнику )с и обозначают его символом ~ ) у'(х, у)а8. Сразу ясно, что если выбрать в каждом прямоугольнике гс по точке Яр т1) и вычислить соответствУюшее значение )'1ср т11) фУнк'- пии и, то ~ ~ У (х, У) йо = Кш )~~ У Яр Т11) ЛЯД и б.+с так как ~ УЯД т11)Л81 лежит между суммами,~,т ЛЯ и~'.~ МТВД стремящимися к интегралу как к своему общему пределу.
Проще всего выполнить разбиение прямоугольника )т на элементарные прямоугольники Йт следующим способом. Сторону прямоугольника, лля которой а ( х ( д, делят на и отрезков ллиною Ь вЂ” а Лх= — кажлый, а сторону с (у(4 делят на т отрезков длил — с ною Лу = . затем проводят через точки деления прямые, параллельные оси у и оси х соответственно. Площаль каждого прямоугольника йу будет тогда ЛЗ =- Лх Лу.
Затем в каждом пРЯмоУгольнике лт выбиРают по точке Яр з)1) и составлЯют сУммУ Хле Яр т11) Л~у = ХУ 6р ту) Лх ЛУ у Когда и и т одновременно безгранично возрастают, эта сумма стремится к двойному интегралу как к своему пределу. Этот способ разбиения подсказывает еще олно обозначение двойного интеграла: ~ ~ у(х, у) и'хйу. 582 ГЛ. Х. ОЧЕРК ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ И Такое обозначение со времен Лейбница вошло во всеобщее употребление. Доказательство того, что предел построенной выше суммы существует, если функция и= Г(х, у) непрерывна в гт, можно выполнить тем же метолом, который был применен в Дополнениих к гл. П (стр. 159 и след.).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
