1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 113
Текст из файла (страница 113)
(рис. 139 и 140) задана неравенствами а~(х~(Ь и ф(х)~(у~(ф(х). 1(ополним область 0 до прямоугольника й (п~(х~(Ь, с~(у~(4(), полностью содержащего область О, и в той части )т), которая лежит вне 0, положим у'(х, у) =О. Тогда л е (к) ) у(х, у)п)у = ) у'(х, у)4(у в (л) при всяком значении х из интервала а~(х (Ь, а потому ь 1 ()) .
т)та-11)) . т)та=( 1))., )ат)т.= а л а а ь Е(л) ( т)*, т)о)г*. а Ч(л) Итак, для области 0 такого вила, как изображенная на рис. 139 или на рис. 140, двойной интеграл выражается через повторный так: в / е(х) (1)) т)~4 1( ( ))., )а~)~*. а а В(а) хв ут па В качестве примера найдем объем У вллипсоида †.+ †+ — 1 = О. а' ь' с' ! Заметим, что — У есть обьем тела, ограниченного плоскостью х, у и верк- 2 1 6.
ЛВОПНЫЕ И ПОВТОРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ней половиной эллипсоида, уравнение которой есть и = у (х, у) = хэ у' с ьт/ 1 — — — — . Функция у (х, у), очевидно, определена лишь во ануа' Ьэ ' тренней области эллипса, таи что область б определяется неравенством »т ут — у хт у .ст — + — <1 или — Ь Ь/ 1 — — <у <Ьф' 1 — —, — а <» (а. а' Ьт У ат - 1Ь' ат ' Для вычисления повторного интеграла сначала находим а У)-х)а1 Е (х) — ~à —. / х' у' У(х, у)(ту= ~ с 1ЕГ 1 — — — — Лу= а' Ьт э (х) — Ь У 1-х')а' э У1-х~)а2 — ~/ Ьт ~! ) ут,ту -ь У)-х'-)а* Первообразную функцию мы получим, пользуясь формулой (стр.
245) ат х х ~'а' — х' с(х = — — агссоз — + —, ага' — х'+ С, 2 а 2 хт в которую надо подставить у вместо х и Ь 1У 1 — — змее~о а. Поэтому ат Э (х) ) с( Ьт ) хт! у У(х, у) ))у = — — — ((! — — ) агссоэ Ь ~ 2 1 ат ~ ЬЗГ! — »1,'ат ч (х) ' Чу Ь У) —.е~)а* + — Ь (1 — —,) — у у -лУ)-лча" сЬ (' х'1 = — — ))! — — 1(агссоз 1 — атосов( — 1)) + О = сЬ l х~ ! ) л )' ху! — — ! — — ) (Π— л) = — ' сь( ! — —, ) Итак, а Е(к) а 1 Г Г У= ! 1 у(х, у)ау)дх= — 'сь ) (1 — — — 'т)ах= -а е (х' а =лсь ~ ~! — — ) ах= лсЬ |х — — ~ =; — лаЬс, ат)) ! За))с 3 " о а следовательно, объем эллнпсоида 4 У = — лаас. 3 бйо гп.
ж очвгк твопии егнкцип многих пвпвмвнных ~а 5. Двойной интеграл в полярных координатах. В нашем определении двойного интеграла раабиение области на прямоугольники было, конечно, выбрано просто по той причине, что такое разбиение более удобно при пользовании прямоугольными координатами. Мы внаем, однако. что существует много приложений, для которых полярные координаты более подходят, чем прямоугольные. Прн рассмотрении функции г (г, 0), тле г и 0 — полярные координаты, более всего подходит разбиение не на прямоугольники, а на фигуры, ограниченные дугами окружностей г = сопа1 и отрезками полупрямых О = сопай Итак, предположим, что наша функция у (г, О) задана в такой области О, определенной неравенствами а ( (г ~(Ь а (О(Р.
(Если функция у'(г, О) задана первоначально в области О' пе такого типа, то мы дополним область 0' до объемлющей ее области 0 желательной формы и полагаем у'(г, О)=0 в точках, лежащих вне 0'.) Интервал а (г(Ь делим на части точками деления га = а, г,, га, ..., г„ = Ь и интервал а ( 0 ( ив точками деления Оа — — и, 01, Оа, ..., О = й и строим соответствующие дуги окружностей и полупрямые, выходящие из полюса (начала координат), тем самым разбивая область О на частичные области О, того же вида. площади которых обозначим через ЛЯ~Ь В каждой элементарной области 0; выберем по точке (рп 0 ) и составим сумму ~~'.,~(рп 0))ЬЯО, а ватем заставим л и лг безгранично возрастать.
Эта сумма будет опять-таки иметь своим пределом объем тела с основанием О, ограниченного сверху поверхностью к=у(г, О), и этот предел можно обозначить символом двойного интеграла ) ~ г'(г, 8) с(Я. о До снх пор мы не встретили ничего существенно нового. Теперь важно научиться вычислить эти интегралы либо приведением к повторным интегралам, либо к интегралам в прямоугольных коорлинатах. Построим систему декартовых прямоугольных координат в новой плоскости, плоскости г, О, и оси втой системы координат будем называть осью г и осью О. Для каждой точки области 0 с лолярнммк координатами г, 8 мы построим соответствующую ей точку плоскости г, 8 с прямоугольными координатами г, О.
Область 0: а (г (Ь, а (8(р отобразится на плоскости г, 0 в виде прямоугольника 0', в котором декартовы координаты г, 8 подчинены тем же неравенствам а (г (Ь, и (О (р, и каждая элементарная область О,,: г,, (г(гн О;,(0(0~ отобразится в виде малого прямоугольника О, '. Однако площадь ЛЯ, 'прямоугольника 0,' не равна площади ЛЯ, элементарной области О, . Отношение этих площадей легко найти. Площадь прямоугольника сьЯ,' =(г,— г,,) Х О О, ДВОПНЫЕ И ПОВТОРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Х (Ву — 01 о), а ПЛОЩаДЬ КРИВОЛИПЕйиай ОбЛаСтИ ГО8/ ВЫРажаЕтСЯ формулой Л /у 2 (г/ — го о) (Ву — В о) = 1 1 / = — (г,-+г,,)(г,— г,,)(0 — О,)= — (го+г,,)гав, . В каждой элементарной области о//) нам надо выбрать по точке; 1 1 выберем точку р,= — (го+г,,), 61 — — — (В)-4-0/,) Тогда, по определению, ) )' у(г, 8)ооБ=Вгп~~~~ Г(рп 6 )ГАЗ/р а Но а сумма в правой части этого равенства есть как раз та сумма, которую составляют при определении двойного интеграла от функции Г(г, В)г по прямоугольнику г/' в плоскости г, В.
Поэтому, когда разбиение делается все более мелким, так что число частичных областей безгранично возрастает, а линейные размеры каждой из О/ стремятся к нулю, то сумма стремится к двойному интегралу и ~ )" Г(., Е)уз=)" )'у(., В)г (В =)" )" у(., В)г(г (В= ь Е е ь (/о, оо.оо «,=1' (/о,,о),о) оо. а а а а В качестве примера вычислим в полярных координатах объем 1/ шара радиуса ж Верхняя полусфера имеет уравнение и = )/ ао — х' — у' = = Ь/ оо — /'о, 0 ( г ( а, О < В (2л. Имеем 2л о 2л 1 у = ~ ~ )/л' — го го/г /ГВ = ~ ~ — 1 (ао — го)о/о~ ЛВ = о о о 2л 1Г Ыа' г,,в 33 3' о 4 и, стало быть, 1/= — лао. 3 6.
Вычисление несобственного интеграла ~ е " огх. Формулы предшествующего л' лают новый способ для вычисления площади бесконеч- ной полосы между осью х н кривой у =е ", — со < х < сэ. Соответствующий интеграл часто встречается в теории вероятностей. Этот интеграл особенно интересен, как пример успешного вычисления определенного интеграла (в данном случае несобственного, от — оэ до + со) от функции, первообразная которой неизвестна (ее первообразкая не выражается через элементарные функции). Рассмотрим сначала двойной интеграл у от функции е Ы "тч = е по кругу О < г < а, Его легко вычислить: та а та У~= ~ ~ е игггг лб= ~ (2 — 2 е )л8=н(1 — е а'). а т.е о Квадрат — а (х (а, — а <у < а содержит внутри себя круг О (г (а и сам содержится в круге О <г <2а, а подынтегральнаи функция е ка всюду положительна; следовательно, а у а е —.-Ч=юк 1 ( 1'*- -"'гг)т кю,.— с —.- ).
-а -а Но рассматриваемый двойной интеграл можно записать и в таком виде: а стало быть, / а '( 3 н(1 — е )< ~ ) е к гГх) <п(1 — е еа'). — а Заставим теперь а стремиться к бесконечности. и мы сразу получим равенство )' е<ынх=ун Так как подынтегральная функция четная, то зто вполне согласуется с ре- Г ~ рн зультатом, полученаым другим путем на стр. 484, где ) е к ах= —. 2 е Т. Статические моменты н центр массы плоской фигуры.
Моменты инерции. В гл. Ч (стр. 327) мы узнали, что статический момент относительно оси х системы точек Р,, Рт, ..., Р„ с координатами (х,, у,), (хт, ут), ..., (х„, у„) и массами щи нтз...., т, и равен .~~ гнлул н что ордината Ч ее центра массы (центра тяжести) а=1 выражается формулой а 1 ~ч Ч =,~~,71 лглуа й-1 где Л4=~ гна л-г 882 гл. х. очвгк твогии отнкции многих пвгвмкииых р т 6. ДВОИНЫЕ И ПОВТОРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 593 Мы узнали также аналогичные выражения для статического момента системы точек относительно оси у и для абсциссы центра масс. Мы обобщим теперь эти понятия на массы, распределенные разномерно по плоской области О. Предположим, что масса распределена с плотностью 1 по области О; это значит, что всякая частичная область области О, имеющая площадь АЮ, обладает также и массой Ао.
Тогда полная масса области 0 численно равна площади фигуры О: Разобьем фигуру О на частичные области Он От, ..., О, с площадями АЗР АЗЫ ..., АЯ„В в каждой части О» выберем по точке (Е», т)»). Если вообразить, что вся масса ЬЯ» частичной области О» сосредоточена в точке (с», т)»), то статический момент полученной системы точек относительно оси х булет ~~'.~т)» ЬЯ». а ордината центра массы будет и.', „, АЗ„~ ч, Лй» ;~~ АЯ» М Заставим теперь п безгранично возрастать, а самый большой поперечник частичных областей 0» стремиться к нулю; тогда сумма будет иметь своим пределом двойной интеграл, и мы получим следующие выражения: ~ ~уйя т ~ ~ ~З „О тх о Эти выражения мы принимаем в качестве определений статического момента Т„фигуруя О относительно оси х и ординаты т) ее центра массы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
