1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 114
Текст из файла (страница 114)
Аналогично статический момент области О относительно оси у и абсцисса Е ее центра массы даются формулами: Т = ~ ~хйо', с= —, где М=~ ~йЯ, а а В качестве примера вычислим статический момент полукруга О ( — )р~ <х 4)т, Оиру <)уу — х') относительно оск х; и у'л'-х' т.-~) ггт-) ) ~Ч)~*- о -и о Г 1 1г хттл 2 ~ — (уст — хт) лх = — ~ ятх — — 1 = )рт 3й ' =а~ З1л З -Я 33 Р. Курант 694 Гл. х. ОчеРк теОРии Функпин мнОГих пеРеменных 1з 1 а так как М= 35= — ИЩ то ордината центра тяжести 2 а — 11' 2 Тк 3 411 11— М 1, 3н 2 Исходя из определения моментов инерции 7 и! системы материальных точек относительно оси х и Оси у: ! .= ~~'., таута, Е =,~'.~ т х~, 1-1 «-1 придем, с помощью аналогичного рассуждения, к формулам для мо- ментов инерции плоской области 0 относительно осей х и у: 1к= ~ ~Уапо. Гу= ~ ~Х ПО (предполагается, что масса распределена по области 0 с поверхностной плотностью 1).
Значение момента инерции, как уже было отмечено в гл. Ч (стр. 330), основывается на том, что при вращательном движении момент инерции играет ту же роль, которую играет масса в поступательном движении. Если, например, материальная фигура 0 вращается вокруг оси х с постоянной угловой скоростью Г», то ее кине- 1 тическая энергия равна — /„газ. 2 8.
Дальнейшие приложения. Читатель не должен думать. что рассмотренные в этой главе приложения двойного интеграла исчерпывают его возможности. С помощью двойного интеграла вычисляется. например. площадь куска кривой поверхности, а именно: если поверхность задана уравнением х = у'(х, у). где функция у (х. у) определена в области 0 и имеет в этой области непрерывные частные производду дУ ные — и —, то плошадь Р куска этой поверхности, имеющего д ау своей проекцией на плоскость (х, у) область О. выражается формулой Мы не затронули и многих других интересных тем. Дальнейшее развитие теории и приложений двойного интеграла, а также понятие тройного интеграла и многое другое выходит за рамки этой книги н должно быть отложено до второго тома.
5 а. дВОЙные и пОВтОРные интеГРАлы Упражнения 1. Вычислить следующие повторные интегралы. (Они, как зто принято, записаны упрощенно, без скобок, так что дифференциал, стовщнй на первом месте, относится ко внутреннему интегралу, т. е. интегралу, записанному на втором месте.) а з а з а) ~ ~ ху (хг — уг) 1(У01Х: г) ~ ~ хе тг(УЕХ1 о о 0 О и и 1У1-л б) ~ ~ соз(х+у)бт'тх: д) ~ ~ у ну11'с' 0 0 О О г 2 2-х ,) ~~ 1 буях е) ~~ улусах. 1 1 о 0 л. Определить объем тела, ограниченного плоскостью х, у и параболо- илом к = 2 — хг — уг, 3. Найти объем тела, ограниченного двумя цилиндрическими поверхно- стями: х'+х'=1 и уз+ха=1. 4.
Вычкслить с помощью двойного интеграла объем меньшей из двух частей, на который шар радиуса )1 рассекается плоскостью, отстоящей на расстоянии А < Й от центра шара, б. Для следующих ниже фигур найти площадь, центр тяжести, статиче- ские моменты относительно осей х и у и моменты инерции относительно осей х и у: а) полукруг 0 (у()Уйг — х'; б) прямоугольник 0(х(а, 0 <у (Ь; -/ х' в) пРЯмоУгольннк — а (х (а, — Ь (У(Ь; г) эллипс ) У! <Ь 1ГГ 1 — —; д) треугольник с вершинами в точках (О, О), (а, О), (О, Ь).
ГЛАВА Х1 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ. ПРОСТЕЙШИЕ КОЛЕБАНИЯ Мы уже встречались в различных вопросах с дифференциальными уравнениями, т. е. с такими уравнениями, из которых требуется определить неизвестную функцию и которые содержат не только эту функцию, но и ее производные или дифференциалы. Простейшей задачей такого рода является неопределенное интегрированна, т. е. задача нахожления по ланной функции 7'(х) ее перво- образной функции. Эта задача заключается в определении функции Р(х), удовлетворяющей дифференциальному уравнению у' — 7 (х) = О. Далее, в гл.
1!1, 3 7 (стр. 207), мы решили дифференциальное уравнение у'=ау и показали, что все решения этого уравнения выражаются формулой у=се'" при любом значении постоянной с. Затем в гл. Ч (стр. 337 и след..) мы видели, что проблемы механики приводит к дифференциальным уравнениям и вообще оказывается, что многие области чистой математики и большинство областей прикладной математики нуждаются в изучении и решении дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения для определения неизвестных функций от одной независимой переменной называются обынновенными; этим термином отмечается, что они содержат только «обыкновенные» производные от функций одной независимой переменной.
Во многих ветвях анализа и его приложений большую роль играют и дифференциал»неге уравнения с частными производными, служащие для нахождении функций от нескольких независимых переменных; эти уравнения содержат кроме независимых переменных и зависящих от них функций еще и частные проивводные от искомых функций. До снх пор мы в тексте встречались почти исключительно с обыкновенными лифференциальными уравнениями, если не считать гл. Х; только дифференциальное уравнение лля производящей функцик много- членов Бернулли (стр. 542) было, в сущности, дифференциальным уравнением с частными производными. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок содержащихся в нем производных. Так, у'=ау есть дифференциальное уравнение первого порядка; лифференцияльное уравнение движения точки вдоль кривой тз = Р (стр.
336), дифференциальные уравнения падения материальной точки (при разных законах $ Ь ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 597 сопротивления воздуха, стр. 337) тх= та' — гх и тх=тв -гхг, дифференциальное уравнение упругого колебания тх = — йх (стр, ЗЗЗ)— это все обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка, З»У дяг" Двухмерное уравнение Лапласа г+ —,=О (упр. 3, стр. 574), а также трехмерное и четырехмерное уравнения Лапласа я„„-+я + +Р„=О и Ь„„+.7г +)г„+7г =О (там же, упр. 4) являютсв дифференциальными уравнениями с частными производными второго порядка. В атой главе мы, не вдаваясь в их общую теорию, рассмотрим лишь некоторые типы обыкновенных дифференциальных уравнений. Главное внимание мы уделим дифференциальным уравнениям простейших колебательных процессов; они поучительны в теоретическом отношение и исключительно важны для приложений.
Необходимо запомнить следующие понятия и определения. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция, которая, будучи подставлена в дифференциальное уравнение, удовлетворяет ему при всех рассматриваемых аначениях независимой переменной (илн независимых переменных). Вместо термина решение часто польауются выражением имтеграл дифференциального уравнения, во-первых, потому, что сама задача является обобщением задачи интегрирования функций, а во-вторых, потому, что решение действительно нередко находят путем интегрирования функций или, как принято говорить, путем квадратур.
ф 1. Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка, решаемые с помощью квадратур Вспомним задачу интегрирования функции, т. е. нахождение решения дифференциального уравнения — = Г" (х); ответ гласит: у = ку их = ) 7" (х) г(х+ с. Вспомним также, что у дифференциального уравнения у' ау искомая функция у = се ".
В обоих случаях дифференциальное уравнение имеет не одно-единственное решение и не конечное число различных решений. Напротив, как мы видим на зтих примерах и как убедимся дальше, всякое дифференциальное уравнение первого порядка имеет бесчисленное множество решений, которые выражаются следующим образом. Существует «общее решение» у(х, с) дифференциального уравнения, которое зависит не только от независимой переменной х, но еще и от произвольного параметра с, называемого постоянной интегрирования; подставляя вместо с конкретные частные значения, получим различные частные решения. Общее решение объединяет, таким образом, все частные решения. Решить.
бйй гл, ш, сввднния о диефнгницилльиых квавнсниях !1 или интегрировать дифференциальное уравнение первого порядка означает найти его общее решение'). Существует небольшое число типов дифференциальных уравнений первого порядка, которые можно решить с помощью квадратур (хотя в большинстве случаев эти интегрирования не могут быть выполнены с помощью символов элементарных функциЯ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
