1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 106
Текст из файла (страница 106)
в и д д Стало быть, при любых значениях В и х из интервала — и-(х ~(л ряд СО Р(х) — Р(с) = ~~ [Ак(сов йх — соз Ц)+В»(з!пйх — з!пй$)) = я =1 = ~ !1 — (з!и вх — з1п Ц) — — (соз вх — соз Ц)~ чсч гак ь .аы( л л сходится равномерно относительно х. Заменив здесь Р(х) его выра- жением ~ ~Г (х) — †,' 1 г(х, получим к се к к а, л >и — т) ш =д,,) ° .в а*ч.ь,( ~ а ~ 1.
е к 1 1 а это и требовалось доказать. Нетрудно убедиться, что если функция у (х), кусочно непрерывнзя на отрезке — и ( х (и, периодически продолжена на всю ось х, то ее ряд Фурье можно интегрировать почленно по какому угодно промежутку. ГЛАВА Х ОЧЕРК ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ До сих пор мы занимались исключительно функциями одной независимой переменной.
Теперь мы перейдем к рассмотрению функций многих независимых переменных. Лаже практические приложения анализа вынужлают нас сделать этот шаг. Действительно, поч~и во всех взаимосвязях, встречающихся в природе, изучаемые функции зависят не от одного аргумента; напротив, онн обычно определяются двумя, тремя или большим числом независииых переменных.
Так, например, объем данной массы идеального газа можно рассматривать как функцию одного лишь аргумента, давления, если температура поддерживается постоянной, и только в этои случае. Как правило, температура тоже изменяется и объем газа зависит от двух переменных — давления и температуры; поэтому объем газа является функцией двух независимых переменных. Но и с чисто математической точки зрения существует настоятельная необходимость в подробном изучении функций многих неаависимых переменных. При этом можно будет использовать в полной мере то, что мы узнали до сих пор, так что во многих случаях потребуются лишь несложные дополнения. Большей частью достаточно рассматривать функцию только лвух независимых переменных х и у, поскольку для распространения результатов на функции трех и более аргументов не возникает необходимости в существенно новых рассужлениях.
Поэтому для упрощения формулировок и записей мы н ограничимся случаем лвух независимых переменных во всех вопросах, где существо дела не потребует особого рассмотрения лля большего числа аргументов. Систематическое изложение лифференциального и интегрального исчисления функций многих переменных невозможно в пределах этого тома, оно будет дано во втором топе этого курса. Здесь мы можем дать читателю только предварительный очерк некоторых из числа важнейших новых понятий и операций. Мы будем часто полагаться на наглядные соображения, откладывая полные доказательства до второго тона. В 1.
Понятие функции многих переменных !. Функция многих переменных и область ее определения. Уравнения вида и — хя+уя, к=х — у, и=ху или и= 'г' 1 — х — уз 554 ГЛ. Х. ОЧЕРК ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1! приводят в соответствие паре значений (х, у) значение функции и. В первых трех примерах это соответствие установлено для любой системы значений (х, у), в последнем же примере соответствие имеет смысл только для таких пар значений (х, у), для которых ха+уз(1. Во всех этих примерах величина и называется функцией незазисимах переменных или аргументов х и у. Этим способом выражения пользуются вообще всякий раз, когда каждой паре значений (х, у) из некоторого заданного множества приводится в соответствие, с помощью какого-либо правила, значение и в качестве зависимой переменной, и пишут и = У'(х, у), обозначая символом ~ правило илн закон соответствия.
Это взаимоотношение между х, у и и может быть задано либо с помощью формулы. определяющей функцию, как в приведенных выше примерах, либо посредством словесного описания, как, например: «и есть площадь прямоугольника со сторонами х и у», либо как результат физических наблюдений, как, например, при измерении магнитного склонения для различных географических долгот и широт. Существенным является только наличие соответствия. Аналогично величина и называется функцией трех независимых переменных х, у, х или и =Г(х, у,.г), если каждой тройке значений (х, у, г) из некоторого множества таких троек соответствует значение и, определяемое известным законом; подобным же образом определяется в общем случае и функция и= ! (х!, хг,..., х„) от и независимь!х переменных.
Множество значений. которые может принимать пара (х, у), называется областью определения нли областью задания функции а=! (х, у). Для целей этой главы мы ограничим наше внимание простейшими типами области задания. Мы будем предполагать, что пара (х, у) ограничена либо так называемой прямоугольной областью: а (х (Ь, с-<у(й, или же круговой областью, определяемой неравенством вида (х — а)г+(у — Ь)г (гг. Для функции трех переменных и=)'(х, у, г) мы тоже будем рассматривать только прямоугольные области: а .< х < Ь, с < у < й, а < х < Ь или сферические области: (х — а)г+(у — Ь)г+ (г — с)' ( гг.
Когда число независимых переменных больше трех, то геометрическая интуиция перестает служить, но и в этом случае часто продолжают пользоваться геометрическим способом выражения. Так, для функции и=У (хг, хг, ..., х„) от и переменных х,, хг, ..., х„мы будем рассматривать области вида а! <х! <Ь!, аг <хг <Ьг, ..., а„<х„<Ь„, 55б Гл. х.'ОчеРК теОРии Функции мнОГих пеРеменных 13 функции точку Р(х, у, и) с третьей координатой и=у'(х, 'у). Когда точка (х, у) пробегает область О, то соответствующая точка Р описывает в пространстве некоторую тюверхность.
Эту поверхность и приниматот за геометрическое изображение функции. Обратный подход присущ аналитической геометрии: в втой науке каждой поверхности в пространстве относят функцию двух переменных. Таким образом, между такими поверхностями и функциями двух переменных устанавливается взаимно однозначное соответствие. Так, например, функции и=у ! — хг — уг соответствует полусфера радиуса 1 с центром в начале координат. Рис.
130. Рис. !31. лежащая над плоскостью х, у. Функции и = ха+ уг соответствует параболоид арак(ения; это поверхность, описываемая параболой и=хг при ее вращении вокруг оси и (рис. 130). Функции и=ха — уг соответствует гиперболический параболоид, изображенный парис. 131; функции и = ху соответствует гиперболический параболоид, получающийся из того, который изображен на рис. 131, поворотом вокруг оси и на 45' и сокращением в 2 раза всех размеров, параллельных оси и. Линейная функция и=ах+ду+с изображается плоскостью в пространстве. Если в выражении функции и = у(х, у) отсутствует одна нз независимых переменных, например у, так что и зависит только от х: и = и (х), то изображением функции в пространстве х, у, и является цилиндрическая поверхность, получающаяся, если провести прямые, параллельные ося и, через зсе точки кривой и = и (х), лежащей в плоскости и, х.
з1 $ ь понятие Функции многих певеыенных Однако это изображение с помощью прямоугольных координат в пространстве обладает двумя недостатками. Во-первых, как только имеют дело с тремя или большим числом независимых переменных, наглядное представление уже не может помочь. Во-вторых, даже в случае двух независимых переменных часто удобнее проводить все рассуждения, оставаясь в плоскости х, у: ведь на плоскости можно без затруднений чертить и производить геометрические построения. С этой точки зрения следует предпочесть другой снособ геометрического изображения функции — .кетод линий уровня.
В Плоскости х, у выделяют все точки, в которых функция и = Г(х, у) принимает постоянное значение, скажем Рис. 133. Рис. 132. и =й. Геометрическое место таких точек и представляет собой так называемую линию уровня, соответствующую данному постоянному значению функции. Эту линию уровня можно также получить, пересекая поверхность и =- Г (х, у) плоскостью и = и, параллельной плоскости хОу, и проектируя линию пересечения ортогонально на плоскость хОу.
Система этих линий уровня, снабженных пометками соответствующих значений ло )гм ... уровня (высоты) л, дает представление о ходе изменения функции. Обычно уровню й дают последовательно значения, составляющие арифметическую прогрессию, например и=ли, где и =1, 2, ... Тогда расстояние между линиями уровня с соседними номерами и позволяет судить о крутизне поверхности и=Г(х, у), ибо между двумя соседними линиями значение функции изменяется на одну и ту же величину. Поэтому там, где лвнии уровня подходят близко друг к другу, функция круто поднимается или падает; там же, где расстояние между линиями уровня с соседними номерами л велико, ббй Гл. х, ОчеРк теОРии ФункциЙ мнОГих пеРеменных и поверхность носит пологий характер. Именно по этому принципу строятся карты рельефа геологического или топографического ведомства.
По этому методу линейная функция и = ах+ бу+ с изображается системой параллельных прямых ах+Ьу+с=а в качестве линий уровня. Лля функции и = хе+уз системой линий уровня является семейство концентрических окружностей х'+уз= а (рис. 132). функция и=хе — у', изображаемая гиперболическвм параболондом (рис. 131), имеющим в начале координат седлозую точку, изображается также системой линий уровня, состоящей нз гипербол, как показано на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
