1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 103
Текст из файла (страница 103)
1Х. РЯДЬ[ ФУРЬЕ сумма, получающаяся при обрывании ряда на и-м члене, представляет приближение к разлагаемой функции, и пригом приближение, которое можно довести до какой угодно степени точности путем выбора достаточно большого значения и. Поставим себе следующую задачу. Среди всех тригонометриче.ских многочленов и-го порядка Я» (х) = 2 + ~~ (Оа соя «х+Ра з1п «х) »=1 требуется найти, путем соответствующего выбора коэффициентов иа и [[ю тот многочлен, для которого выражение л — ~ [Г(х) — о„(х)[гдх= л » г Г[ —,г (х) — 2 — 7~(иа соя «х+ [1»з!п«х) Дх, и» л а-1 так называемая средняя квадратичния ошибка, имеет наименьшее значение.
Говорят, что определенный таким образом многочлен дает наилучшее приближение в среднем к функции Г(х). Это требование и это название можно обосновать следующими соображениями. Чем меньше значение интеграла, тем меньше в среднем должна бь!ть и подынтегральная функция, т. е. расхождение между 5„(х) и г'(х), хотя малое значение интеграла, конечно, принципиально не исключает возможности того, чтобы в тесной окрестности отдельных точек существовали значительные расхождения между этими функциями, Поставленную задачу о наилучшем приближении в среднем можно решить непосредственно: раскрываем квадрат под знаком интеграла и интегрируем почленно получающуюся при этом конечную сумму, Мы имеем под знаком интеграла следующее выражение: » [у (х)[г — аеу (х) — 2 У (агу(х) сов «х+р»Г(х)з!п «х)+ +" "'+У(и,соз«х+Рез[п«х) 1ь 2 «-! Заметим, что выражения 1 Г 1 à — [ Г(х) соя «х с[х = аю — ~ г'(х) з[п «х бх = да % 6.
ПРИБЛИЖЕНИЕ В СРЕДНЕМ как раз являются коэффициентами Фурье для функции у (х), и, выполняя почленно интегрирование, учитывая соотношения ортогональности (стр. 247), придем к равенству (у (х) — 5„(х))я дх = -1 и л ч =--) ~у(чг~ -~- ~ — -«~Э',-ьгв — р,— 2~~ р;~ч,ь)~= — я -~- я и ~у()г~ -~- т( — г~-)~къ — г-ьв — оу3~— -и 2 а-1 2 +1( а+ «)~' а-! Из этого равенства сразу ясно, что интеграл, стоящий в левой части, будет иметь наименьшее значение, если аа = аю йв =- Ьа. Таким образом, получаем следующий результат, Наилучшее приближение в среднем к функции у(х) с помощью тригонометрического многочлена и-го порядка дает частичная сумма ряда Фурье.
о„(х) = — '+ ~ (а» соз Ах+ Ьа з1п лх). ь-г Само наименьшее значение средней квадратичной ошибки равно Этот результат обнаруживает, что если хотят повысить точность приближения в среднем путем повышения порядка и, то нет нааобности изменять найденные уже коэффициенты, а нужно только определить появляющиеся новые коэффициенты многочлена. Из последнего равенства, левая час~ь которого всегда больше или равна нулю, мы уже вывели выше неравенство Бесселя: о + ~~). ~ог+ ьэ) ~~ ~ (у(х)р,(х гл. нс гяды ол ьв 536 Это неравенство показывает, что состоящая из неотрицательных слагаемых сумма в его левой части не превосходит не зависящей от и грани — ~ [у(х)[ с>х.
Поэтому сумма в левой части с возраста-п пнем и стремится к определенному пределу, который к. тому же не больше указанного интеграла; иными словами, ряд 2" +~(а~+[>~~) »-! сходится, и его сумма удовлетворяет неравенству Это неравенство тоже носит название неравенства Бесселя. Но можно утверждать и больше. Допустим для упрощения, что функция у(х) разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье; тогда подынтегральная функция в левой части равенства (е) при достаточно большом значении и может быть сделана, равномерно относительно х, сколь угодно малой; следовательно, и значение интеграла можно сделать сколь угодно малым, и мы получаем поэтому вместо неравенства Бесселя равенство Это равенство, которое называют соотношением полноты [или замкнутости[ системы тригонометрических функций, выполняется, впрочем, и для значительно более общих классов функций у (х), например для любых кусочно непрерывных функций.
(Доказывать это здесь не будем.) Этому соотношению полноты можно легко придать еще несколько более общий вид, Если функции у'(х) и ф(х) имеют соответственно гоэффициенты Фурье а», Ь» и а», [>», то соотношение полноты для [>ункции у(х)+ф(х) имеет следующий вид; +~~)" ((а»+а )»+([>»+ц»)э) = »-1 л — ~ ([у'(х)[а+ 2~(х) ф(х)+ [ф(х)[э) Фх, $ К ПРИБЛИЖЕНИИ В СРЕДНЕИ а для функции у (х) и ~р(х): Вычитая два последних соотношения из первого, получаем следующее равенство: а 3 которое является обобщенным соотношением полноты для пары функций. Упражнения 1*. Исходя из разложения котаигенса иа злемеитарные дроби (стр.
818), вывести степенной ряд (по степеням х) для функции нх с1я ях. Сравнивая полученный ряд с рядом, данным на стр. 480, показать, что ~ХЭ гм Х- ( — 1) Вг . 1 „, 1 (2н)м л~ 2 ° (2гл)! 2. Показать, что 3. Показать, что ( 1) ( !«И(2™ 2)пгм Х=.- ~гlй' Лгм 2 ° (2лз)1 4. Доказатзь что: пг лх 6' нг кх 12 ' а) О 1 ч ~ — "+ ~)~(а', + й',) = — ~ у'(х))г с(х, а-1 -и 2+1(оа+р')=- ~(ф( ))г (' Х к — ''+~~у (алая+да(«а) = — ~ у(х)<р(х) Нх, П -г (2г 1) пгт Х - ог ° (2а —, 1)™ 2 (2т)! ГЛ.
1Х. РЯДЫ ФУРЬЕ 5. Пользуясь разложениями синуса и косинуса в бесконечные произведения, показать, что; а-1 ( — 1)а 122ь-1(22» ОВ 1 б) !п соз х = — ла .1а — Х (2а) ! * л=! 6. Пользуясь бесконечными произведениями.для синуса н косинуса, вы:числить: 2 2 6 6 1О 10 14 а) — — ° — ° — ° — ° — ° — ...; 1 3 5 7 9 11 13 ''' 2 4 8 10 14 16 б) 2 ° — — ° — ° — ° — —... 3 3 9 9 15 15 ''' 7. Разложить гиперболяческнй котангенс на элементарные дроби.
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ !Х В 1. Многочлены Бернулли и их приложения 1. Определение и разложение в ряды Фурье. При выводе формулы Тэйлора в гл. Ч1, 9 2, и'2, существенную роль играли сле.дующие многочлены от х с параметром 8: (х — 5) л Всякий многочлен Рл+, является первообразной функцией от Рл, т. е. Рл+1(х) = Рл(х) и. кроме того, Рл (9) = О; этими соотношениями последовательность многочленов Р„(х) однозначно определяется. Аналогичные исходные соотношения приводят к построению другой последовательности многочленов — мноаочленоа Бернулли; мы сейчас дадим нх определение, а аатем разложение их в ряды Фурье.
Вместо интервала от х до 9 мы в данном случае возьмем промежуток от О дв 1 и определим многочлены Бернулли на отрезке О ( х ( 1 следующими рекуррентными соотношениями; 1 1р (х) =1, 1р'„(х) = 1рл, (х), ~ 1рл(х)с!х=О при и) О. о лРУНКЦИИ, ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ЭТИМ ПУТЕМ, ЯВЛЯЮТСЯ, ОЧЕВИДНО, МНОГОЧЛЕ- нами степени и.
От упомянутой выше последовательности многочленов Рл они отличаются тем, что от них требуется обращение в нуль не на верхней границе основного интервала, а в некоторой проме- 539' ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ !К жуточной его точке. Легко вычислить несколько первых многочле-. нов Бернулли; 'Ро (х) = 1 1 ср,(х) = х — —, 2' 9! (х)= — хо — — х+ 2 2 12' 1 1 1 1рз(х) хз х2 + х 6 4 12 1, 1 1 1р (х) = — хв — — хз-~- — х' —— 24 12 24 т2О Прн л>1 Ф„(1) — Р„(О) = ~ р'„(1),УГ = О, о Стало быть, многочлены !р„(х) при л > 1 можно продолжить на вскь ось х как непрерывные периодические фуш1ции ф„(х) периода 1, межлу тем как периодическая функция ф,(х), являющаяся продолжением многочлена !р!(Х), имеет конечные разрь1вы в точках х=л, я=О, + 1, + 2, ...
Она может быть получена из функции ф(х), рассмотренной в гл. 1Х, 9 4, и' 2, и изображенной на рис. 126 (стр. 514), сокрашением размеров вдоль обеих осей в 2п раз и последующим сдвигом (вправо или влево) на 1/2. Нетрудно найти ее разложение в ряд Фурье: 1 / 21п 2пх з!о 4нх з!Вбпх ) ф, (х) — — — ! 2 3 Согласно соотношениям, определяющим многочлены Бернулли, последовательное интегрирование ряда для ф,(х) дает следующие ряды Фурье для функций ф„(х): л Π— 21 2 жч соз 2ндх 1)2 т „при четном и, А-1 в+1 ОЭ вЂ” 2 Ъ~ з!В2пах ф ( ) ( 1) 2 „дт „пРн нечетном и.
А 1 Постоянные интегрирования определяются нз третьего определяющего со! 1 отношения многочвенов Бернуллн: ~ Ч!л(х) ох=о прн п) О.~ о В первоначальном промежутке от О до 1 эти периодические функции ф, (х) совпадают с многочленами Бернулли !рл (х). ГЛ. !Х. РЯДЫ ФУРЬЕ Функция ф„(х) является четной функцией при четном и и нечетной функцией при нечетном и, или, что то же самое, ф„( — х) =( — !)" ф„(х), Постоянные члены последовательных многочленов Бернулли образуют замечательную последовательность рациональных чисел: д„= р„(0). ПРи и > 1 Ь„= ф„(0) = фл (О), так как фл (х) — непРеРывнаЯ ФУнкцвЯ, 1 1 между тем как Ь, =ф,(0) = — 1/2, а ф,(0) — ' ' — О.
в,(0)+ р,(!) 2+2 2 Следовательно, де= 1, д, = — 1/2. а из разложени» в ряд Фурье сразу получается: при нечетном и = 3, 5, дл = О к СО зь4 2 %ч 1 д =( — 1)з — ч '~ — при четном и=2, 4, а=1 Из этих формул видно, что при и=2т знаки чисел да чередуются, начиная со знака плюс у дю В литературе встречаются и другие определения многочленов Бернулли, отличающиеся несущественно от приведенного здесь. Многочлены В,(х), введенные в упражнениях 3 и 4 на стр, 522, связаны с многочленами ф„(х), введенными в этом параграфе, соотношением В„(х) = и ! ф„(х).
Введенные на стр. 478 числа Бернулли В„= В„(0) = и! д„, где д„= р„(0). Из формулы для д„прн четном и = 2т получается эта формула дает явное выражение дзета-функции Римана Ь(З) (см. стр. 487) при целых значениях з=-2т через числа да . которые считаются известными. В частности [при т = 1 и т = 2 имеем дя = 4р, (О) = 1/12 и д4 — — 4р4 (О) = — 1/720), отсюда. получаются сле дующие замечательные формулы: 1+ 24+ 34+ 44+ 1 1 1 1 1 ! 1+ — + — + — + 24 3' 44 ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ !Х 541 Заметим кстати: пРи п — ьоо числа Ьп стРемЯтса к нУлю, а числа ~Ва ~ — к бесконечности.
Действительно, начнем с того, что В-1 А=1 Поэтому 2(2п) ~ < ~Ьа ( < 4 ° (2л) ~. Так как 2п > 1, то (2п) ~-+0 пРи Гл — ьсо, а отсюда вытекает, что Ьа — эО; с дРУгой стороны, Ьа В,=О при любом л1>0. Следовательно, числа ܄— ьО. Лалее, имеем ( Ва,л ! = (2т)! / Ьтп, ! ) 2 (2т)1(2л) ~'л, а правая сторона этого неравенства стремится, как мы уже знаем, к бесконечности, Стало быть, (Ва ( — псо. 2. Производящая функция многочлеиов Бернулли. Производлв«ей функцией многочленов Бернулли называется функция л) — ~ ф (1) яп п 0 это степенной ряд, расположенный по степеням г, коэффициентами которого являются многочлены Бернулли. На основании их разложений в ряды Фурье, для многочленов Бернулли получаетея следующая оценка: 2 '~т 1 2 ~ч 1 пп 4 ~ фп()! «2п)л ~~~,~п < «211)п,йп4 ап 3(2п)л < «2п)п ' Л-1 а-1 Поэтому абсолютная величина п-го члена степенного ряда для Р(«, г) )л) 1п меньше чем 41 — ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
