1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 105
Текст из файла (страница 105)
стр. 540). Теперь формула Эйлера дает 1'+2'+3'.+ ... -+(т — 1)'= щ'+1 ж! 01 = — + У вЂ”.1 г(г — 1)... (г — 1+ 2) т' г+1 21 1! г' 1 г тг+ чК1 1 (г'+ 1) г (г' — 1) ... (г' — 1+2) 1+1 ле г+1 1'1 г 1 г — ° +у,('. )В1~ »- 1 ъч гг+11 —,+11 г+1 -г+1[йй, г+! г-о Окончательное выражение правой части можно записать сил1волически так: — [(т + В)'+1 — Вг+ 1], ГЛ. !Х. РЯДЫ ФУРЬВ где словом «символически» хотят отметить, что выражение (т+В)' надо понимать не буквально, а со следующей оговоркой: раскрыть его по формуле бинома, а затем замени~ь каждую «степень» В» соответствуюшим числом Бернулли Вд.
Полученную формулу можно рассматривать и как рекуррентную формулу для вычисления чисел Бернулли В„когда все предшествующие бернуллиевы числа уже известны. Она дзет, следовательно, метод вычисления В, без явного использования многочленов Бернулли. При т = 1 рекуррентная формула принимает свой самый простой внд: [(!+В)' 1 — В'+!1= 0 или (1+В)' ~ — В'''=0 при г)~1.
На стр. 478 эта формула была получена другим путем. в) Постоянная Эйлера и формула Стирлинга. Применение второго вида получим, пользуясь формулой суммирования Эйлера в ее простейшей форме (А) (стр. 544) и полагая в ней 7(х) =-1/х, р = 1,' й = л. Тогда и е +2+3+'''+л — 1,~ х+2( л/,! х 1 1 л Г вч (х) 1п„+ Г 2 2л ,[ х' 1 или, в другой записи, 1+ —.+ — + ... + — — !пи = — + — — [ — йх. 1 1 ! 1 1 Г еч(х) 2 3 ' я 2 2я,[ хе 3 Так как ! ф1 (х) ! ( 1/2 при всех значениях х, то в интегральном члене подынтегральная функция по абсолютной величине всегда меньше чем 1/х, а интеграл а! — сходится.
Следовательно, интеграл в прая / йх г 1 вой части тоже сходится при п — » ж, и и СО чая 1 ~ 1 ~ ф1(х) 1пп гч.— — !пи = — — ! —,г/х=С, 1 где С вЂ” знакомая нам уже постоянная Эйлера (см. стр. 444), приближенное значение которой есть 0,5772... Мы, стало быть, получили два результата: во-первых, при и — » оо порядок роста гармонического ряда тот же, что и логарифма (этим ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ 1Х фактом нам уже приходилось пользоваться), а во-вторых, мы .имеем теперь явную оценку разности и ии Х вЂ” — 1и а — С = /с„= — + ! — дх. 1 1 Г 1Г1 (х) л и-1 л Отметин, что при и -ь со порядок малости гсл относительно 1/л не ниже единицы. Теперь мы уже в состоянии вычислить постоянную Эйлера С с погрешностью, не превышающей 0,00005; для этого достаточно положить л = 3. Наши оценки для многочленов Бернулли показывают, что (ггз~ лежит ниже Указанной гРани.
Более важное приложение получается, если положить в той же простейшей форме (й) формулы Эйлера /(х) =!их. р = 1 и 1/=а. Имеем !и 1!-1п2+ ... +1п(а — 1)= ~ !их 1(х — — !ил+ ~ — 'Г(х = 1 1 л =а!ил — а+ 1 — — 1па+е! — и1х. 1 Г ие1(х) 2 Х 1 Прибавив к обеим частям этого равенства 1и п, получим 1п а ! = 1п 1 -+! и 2+ ... + 1и а = (а -+ — ~! и а — л + Йл, 11 где «остаточный член» йл=1+ ~ ~ (') ~х. Х 1 Методом интегрирования по частям его можно привести к следующему виду: л л и 1 1 Если застзвить и стремиться к бесконечности, то в правой части получится сходящийся несобственный интеграл, так как абсолютная величина его подынтегрзльной функции меньше чем 1/хз. Стало быть, Я„ стремится к определенному пределу а, в силу чего получаем следующий результат: 1!ш ~1п и1 — (и -+ — )!и а-)-а~ =и, и-и 2 Потенцируя, получаем и! !1Ш = Ел=Р, и->, аи)' ае ГЛ.!Х.
РЯДЫ ФУРЬЕ где () есть определенная положительная постоянная. Для определения постоянной )) воспользуемся формулой Валлиса (стр. 265) в следующем ее виде: Нш = рл. ' (т!)г2г~ г— л.+оз (2т)! г" т Подставим в дробь, стоящую в формуле (л) под знаком предела, сначала и = т, затем н = 2т и разделим квадрат первого вырагке- ния на второе; получим )' ( л ) 1 2 ( ( е 2' )/ 2.
ты)' ге е (2т)! ) (2т)!У т Предел левой части равен Рг:() =р, а предел правой части равен (по формуле Валлиса) уг2н. Следовательно, !)= Уг2л. Таким обра- зом, мы вновь получили уже знакомую нам формулу Стирлинга: и != с„а"е "$/2ян, где сл — ь1 при и — >со и даже лежит очень близко к 1 при всех значениях и, что читатель может сам легко проверить с помощью надлежащей оценки Н„. г) Асимптотическое вычисление суммы ряда. Формула Стирлинга для приближенного вычисления факториалов больших чисел имеет большое значение в теории вероятностей, но это лишь одно из ее многочисленных приложений. Заметим, что здесь налицо именно та ситуация. которая была выше описана как характеристическая для этого вида приложений формулы Эйлера: какое бы значение й ни выбирать в формуле Эйлера, невозможно вычислить а ! при данном значении а ни точно, ни даже с какой угодно точностью, так как степень точности ограничена множителем с„! "тем не менее возможно получить вполне достаточные приближения для и!, даже-пользуясь, как мы это и делали выше, простейшим видом формулы Эйлера.
Формула Стирлинга в ее логарифмической записи представляет простой пример асимитотичесного разложения. Говорят, что ряд СО ~ Ул(х) (вообще расходящийся) является асимптотическим разложел-~ нием функции с(х) или что ряд является иолусходяя)имея с суммой с'(х), если для всякого фиксированного й 1'нп ~ у'„(х) — с (х) = О. ~.+~ 1л-1 Формула суммирования Эйлера беэ остаточного члена представляет во многих случаях асимптотическое разложение конечной суммы, стоящей в ее левой части (роль х там играет д). Полусходящиеся ряды часто дают полезные численные приближения (при больших значениях х). дополнения к ГлАВБ )х В заключение скажем несколько слов еше об одном приложении.
имеющем значение в теории функций и в теории чисел, о Ь-функции Римана (см. стр. 487), которая определена при в > 1 как сумма ряда + 2х+Зх+ '' Х ил' 1 1 1 л 1 Вычисление втой ~-функции теоретически можно проводить с помощью одного лишь этого ряда, но при значениях з. близких к 1, ряд сходится слишком медленно для эффективного вычисления; например, для вычисления ь"(2) с точностью до 0,0001 потребуется 100 членов. Можно, однако, воспользоваться формулой Эйлера для выражения и-й частичной суь)мы.
а затем устремить и к бесконечности в обеих частях формулы, фиксируя при этом значение й. Простая оценка интеграла для остаточного члена Йь (уже при относительно малых значениях я) показывает, что его абсолютная величина достаточно мала, чтобы обеспечить табулирование функции ь(з) с большой точностью Задача. Вычислить этим методом значение ь(3)2) с тремя десятичными знаками и произвести оценку остаточного члена. В 2. Интегрирование ряда Фурье Одним из замечательных свойств рядов Фурье является то, что их можно интегрировать почленно. Вообще, как мы уже знаем, правомерность почленного интегрирования функционального ряда обеспечивается его равномерной сходнмостью; в противном случае почленное интегрирование может привести к ложным результатам. Однако для рядов Фурье существует своя специальная теорема." Если функция 1" (х) кусочно непрерывна на отрезке — и ( х ..
н а если втой функции соответствует ряд Фурье — '+ У (аь соэ йх.+ дь з1п /гх), 2 ь-) то этот рнл можно интегрировать иочленно ио любому промежутку от $ до х, лежащему на отрезке — л (х (п, так что Более того, ири всяком фиксированном значении й ряд, стоящий справа, сходится равномерно относительно х.
Замечательно, что в условии этой теоремы не только не требуется равномерная сходимость ряда Фурье для 7'(х), но даже не предполагается, что он вообще сходится. ГЛ. Пс РЯДЫ ФУРЬВ Для доказательства этой теоремы построим вспомогательную функцию Р(х) = ~ [Г(х) — — '1а'х. Это кусочно гладкая функция, а из интегральной формулы для аз вытекает, что Р(п) = Р( — и) = 0; функцию Р(х) можно поэтому продол'кить периодически и непрерывно на всю ось х. Следовательно, ряд Фурье О 2 Ае+ )~~(Аксозйх+Вяз!пйх), 1 принадлежащий функции Р(х), сходится равномерно и его сумма равна Р(х). Исследуем теперь коэффициенты Аа и Вы )1ля этого преобразуем формулы для этих коэффициентов по правилу интегрирования произведения: и л А„= ~ Р(1) = — — „1~ 1(1)— 1 Г 1 Г 5!пде Ьл л л -в -л — Р(1) з!и й! !! = — ' " Г(1) — '" ' (! = — "' .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
