1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 107
Текст из файла (страница 107)
133. Метод изображения функции и = г"(х, у) системой линий уровня имеет еще и то преимущество, что он может быть также распространен и на функции трех независимых переменных и=г" (х, у, г). Вместо линий уровня фигурируют тогда аоверхности уровня г" (х. у, х)= и, где й — постоянная, которой можно приписать любую подходящую последовательность значений. Например, функция и = = ха+ уз+ гг изображается системой поверхностей уровня, состоящей из концентрических шаровых поверхностей с центром в начале координат. Упражнение Лля каждой из следующих функций построить линии уровня, соответствующие значениям и = — 2, — 1, О, 1, 2, 3: а) и =х'у; г) и= у' б) и=хе+у' — 1; д) и=у(1 — — ).
1 х'+ у' в) и=уз — х', ф 2. Непрерывность 1. Определение. Как и в случае функций одной переменной. основное требование, предъявляемое к функции двух переменных, чтобы ее можно было изобразить геометрически описанным выше путем, приводит к аналитическому условию непрерывности. И здесь понятие непрерывности вводится, аналогично прежнему, с помощью следующего определения: Функция Г'(х, у), определенная в области О, называется непрерывной в точке (е, т)) этой области, если во всех точках (х, у), близких к точке (Й, т)), значение функции у(х, у) лищь мало отличается от 1 (Й, т1), и притом сколь угодно мало, коль скоро точка (х, у) лежит достаточно близко от (с, т)).
Точнее: функция у'(х, у), определенная в области О, непрерывка в точгсе (ь, й) втой области, если для всякого заданного положительного числа г возможно найти такое положительное расстояние б=б(с) (вообще говоря, зависящее от е и стремящееся к нулю вместе с е), что для всех точек (х, у) области О, $2. ннпвввывность отстоящих от (С. г)) меньше чем на Ь, т. е. для всех точек области, удовлетворяющих условию (х — $)г+ (у — з))з ( Ьг, выполняется неравенство ! г (х, у) — у ($, з)) ~ с, г.
Другими'словами, неравенство !У(з+Ь, 'ц.+й) — г'(з т)) ) < е должно выполняться для всякой пары значений (й, й), для которой Ьг-+йг < Ьг, а точка Я+Ь, т~+и) принадлежит области О. Если функция непрерывна во всякой точке области О, то говорят, что она непрерывна в области О. Условие Ьг+ йз С Ьг, налагаемое в определении непрерывности на расстояние между точками ($, г)) и (х, у), можно заменить следующим равносильным условием: Всякому е) 0 должны соответствовать такие два положительных числа Ь, и Ьг, что ~ г" Я+Ь, з)+А) — УЯ.
т~) ) с.е, коль скоро ~ й ! с Ь, и ~ и ~ с Ьг. Оба условия действительно равносильны: если выполняется первое условие, то выполняется и второе при Ь, = Ьг = Ь/ф' 2; обратно, если удовлетворяется второе условие, то удовлетворяется и первое, если взять в качестве Ь меньшее из чисел Ь, и Ьг. Следующие свойства непрерывных функций почти очевидны: Сумма, разность и произведение непрерывных функций также непрерывны.
Частное непрерывных функций непрерывно всюду, где делитель отличен от нуля. Непрерывная функция от непрерывных функций сама также непрерывна (ср. стр. 868). В частности, целые рациональные функции (многочлены) всюду непрерывны, а дробно-рациональные функции непрерывны всюду, где знаменатель отличен от нуля. Полезно заметить себе и следующий очевидный факт: Если функция г(х, у) непрерывна в области О и отлична от нуля во внутренней точке Р этой области, то вокруг точки Р можно выделить такую окрестность, целиком лежащую в О, в которой у'(х, у) нигде не обращается в нуль, В качестве такой окрестности можно взять, например, достаточно малый круг с центром в точке Р. Действительно, если функция имеет в точке Р значение а, то, в силу непрерывности функции, точку Р можно окружить столь малым кругом, что значения у(х, у) внутри круга отличаются от а меньше чем на а/2 и, стало быть, не равны нулю.
560 гл. х. очкгк тнопии Фуикцигт многих пгинмннных 12 2. Примеры разрывов непрерывности. У функций одного аргумента мы встретились с тремя видами разрывов: бесконечными разрывами, конечными скачками (разрывами первого рода) и точками, в которых функция не стремится к пределу (с одной стороны либо с обеих сторон). У функций двух или большего числа независимь1х переменных такая простая классификация невозможна.
Положение осложняется здесь еще и тем, что нарушение непрерывности может происходить не только в уединенных точках, но и вдоль целых линий. 1 Примером может служить функция и =, для которой прямая к — у' к = у является линией бесконечных разрывов. При приближении к втой прямой значения функции безгранично возрастают: по положительным значениям, если приближаться к ней с однон стороны, н по отрицательным зна- 1 чениям — с другой стороны. Функции имеет ту же самую прямую (к — у)2 разрывов, но она стремится к +со, безразлично, с какой бы стороны 1 ни приближаться к этой прямой, Функция,, имеет лишь одну точку к +у' бесконечности к = О, у = О.
1 Функция и = з!п не стремится нн к какому пределу при стрем- У к'-,'-у2 ленин точки наблюдения к началу координат; изображающая се поверхность 1 получается вращением графика функции и=з1п —. к>0, вокруг осн и к (ср. стр. 76). Поучительный пример разрыва другого типа дает рациональная функция 2ку и= , . Функция первоначально не определена в точке к = О, у = О, к2+ у2 н мы дополним ее определение, полагая и(0,0)=0. Эта функция имеет в начале координат весьма своеобразный тип разрыва.
Вели положить к=О, т.е. двигаться вдоль осн у, то функция обращается в функцию одной переменной и (О, у) = О, которая при всех значениях у имеет постоянное значение О. Вдоль оси к функция переходит в и (к, 0) = О. Итак, функция и (к, у) является в яачале координат непрерывной функцией от к, если у сохраняет постоянное значение О, и непрерывной функцией от у, если к сохраняет постоянное значение О. Однако если расснатривать зту функцию в ее зависимости от обеих переменных к и у, то она имеет разрыв в точке к = О, у = О. В самом деле, в любой точке прямой у = к значение функцини = 1, так что сколь угодно близко от начала координат можно найти точки, в которых функция и (к, у) принимает значение 1. Стало быть, функция имеет разрыв в начале координат, н нет возможности дополнить ее определение в начале координат так, чтобы она стала непрерывной. Более подробное исследование приводит к следующему.
На прямой 2(па у = к1ни, образующей угол а с осью к, функция и = = 2 минасова= 1-(-(п1а 2ку = мп2а. Отсюда видно, что поверхность, изображающая функцию и= = к2+ уз может быть получена вращением вокруг осн и прямой, постоянно перпендикулярной к втой осн. Эта нрямая, совпадавшая первоначально с осью к, при своем вращении одновременно поднимается илн опускается так, что )ч лу поворота а соответствует высота ми 2а над плоскостью к, у.
При воз- ц 4 Х ПРОИЗВОДНЫЕ ОТ ФУНКЦИИ ЛЗНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ, 561 растанни угла и до 45' прямая поднимается до высоты 1, затем опускается до совпадения (прн а=90') с осью у, затем она продолжает опускаться до глубины — 1 (при а=135'), после чего начинает подниматься н прн а = 180' возвращается к начальному положению — осн х.
Поверхность, получающаяся при описанном здесь движении примой, называется цнлнндроидом; она встречзется в механике. Последний пример показывает, что функция и(х, у) может быть непрерывной функцией от х при любом постоянном значении у и непрерывной функцией от у при любом постоянном значении х и в то же время быть разрывнод функцией, если рассматривать ее зависимость от переменных х и у в их совокупности. В определении непрерывности существенно то обстоятельство, что значение функции в точке (с должно отличаться сколь угодно мало от ее значения в точке Р, коль скоро (',3 достаточно близка к точке Р; недопустимо ограничивать положение точки (;) относительно Р еще и каким-либо другим условием, помимо малости расстояния РЕС. Упражнения 1.
Исследовать непрерывность фуияцни и = . Построить лиха+у )'ха+у~ нин уровня и = Д (й = — 4, — 2, О, 2, 4). Изобразить на графике зависимость и от одного лишь х прн постоянном у = — 2, — 1, О, 1, 2. Аналогично изобраанть и как функцию от одного у при х=О, 1, уе2. В заключение изобразить графиком зависимость и от одного лишь г прн постоянном значении 0 (г, 0 — полярные координаты на плоскости х, у), 2.
Показать, что следующие ниже функции непрерывны: хз+ у3 а) 3!и (хз+ у); в) хз+ уз б) "" '; г) х21п(ха+уз). Р хз+ у2 3, Выяснить, являются лн непрерывными следующие функции н, если нет, в канна точках онн имеют разрывы: хз )„ уг хз ) уз хз ( уз а) 3!и †,; б) 3.+ а ! в) -3 ( уз 1 г) , + ф 3. Производные от функции многих переменных 1. Частные производные и нх геометрическое истолкование. Если в функции нескольких зргументов дать определенные численные значения всем независимым переменным, кроме одной, и предоставить изменяться зтои единственной независимой переменной, скажем х, то наша функция становится функцией от одной (оставшейся) перемепнои.
Рассмотрим, например, функцию и =у (х, у) от двух аргументов х и у и припишем аргументу у определенное значение у = ур —— с. Полученную при этом функцию и = г(х, уе) можно просто изобразить геометрически, пересекая поверхность а = у (х, у) 36 Р. Курант ббя гл. х. очгвк теовни егнкции многих пнвнмвнных и плоскостью у=ув (ср. рис. 134 и 133). Эта линия пересечения н имеет в плоскости у=ув уравнение и= Г(х, ув). Возьмем теперь обычным путем производную от функции и =с (х, ув) в точке х= ха (предполагаем, что производная существует). Эта производная называется частной производной от У(х, у) по х в точке (хв, ув).
и( ~ь Рис. 134. Рвс. 135. Согласно известному определению производной, частная производная по х есть следующий предел: 11ш в-ьв Если точка (хв, ув) лежит на границе области заданиа функции и = т (х, у), то предельный переход должен совершаться таким образом, чтобы точка (», +Ь, ув), оставалась постоянно в втой области. Геометрически эта частная производная дает тангенс угла между прямой, проходящей через точку (х, ув) параллельно оси х, и касательной к кривой и = у (х, ув), у = уа в упомянутой точке. Стало быть, она дает меру крутизны поверхности и=с(х, у) по направлению оси х (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
