1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 120
Текст из файла (страница 120)
ХЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ 13 На рис. 143 изображено семейство кривых резонанса; все они соответствуют одним и тем же значениям т =1 и Л = 1, а стало быть, и Ф, =1, но построены для различных значений г, На рисунке видно, что при малых значениях г ясно выраженный резонанс (четкий максимум) происходит вблизи и=1; в предельном случае г =0 вместо максимума был бы при и=1 бесконечный разрыв. При возрастании г максимум смещается влево, и при г У2 получается и, 0; в этом случае точка, в которой кривая $ В еуу /ет бУ л,ст етпгфжйтлгщае глещаелт — гм Рнс.
143. имеет горизонтальную касательную, достигла оси Ф, а максимум исчез. При г > )г2 производная Ф' (и) вовсе не обращается в нуль, кривая резонанса уже не имеет максимума, и резонанса ие возникает. Вообще, если параметры т, )г, г удовлетворяют условию 2)зт — гт (О, то система не дает резонанса. В случае знака 'равенства, т. е. когда г= )/2)ет, кривая резонанса начинается при ю, =-0 с начальной ординаты ~р!0)=1)м; в этой точке !О, 1/и) она имеет горизонтальную касательную, а затем медленно снижается до нуля. Ф б.
линейнОе РРАвненне с НРАЕОЙ чАстыо 625 4. Более подробное исследование процесса колебания. Проведенное исследование еще не может нас удовлетворить. А(ля того чтобы, действительно уяснить себе процесс вынужденного колебания, необходимо подчеркнуть еще один пункт. Частное решение сиеоэп-~~ следует рассматривать лишь как предельное установившееся состояние, к которому с течением времени все более и более приближается общее решение х(б) = сце'"и-б>+с,и, (с)+ саит(г), так как свободное движение с,и,(Г)+саит(с), налагаюшееся на чистое вынужденное колебание, затухает со временем.
Этот процесс затухания протекает тем медленнее, чем меньше г, и тем быстрее, чем г больше. Лопустим, например, что в йачале двииоения, при б = О, система находилась з покое, т. е, х(0)=-О и х(0)=0, Из этих условий определяются постоянные с, и с,, и сраву ясно, что они не равны одновременно нулю. И даже в том случае, если возбуждающая частота оу приблизительно нли точно равна ы,, так что должен бы быть резонанс, то относительно большая амплитуда а, = ср(оу,) не обнаружится с самого начала, она будет замаскирована функцией с,и,(б)+ + сбит(1) и проявится позднее, после некоторого затухания этой функции, а это произойдет тем медленнее, чем меньше г.
Лля незатухающей системы, т. е. при г=О, наше частное реше- ~ не вообще отказывается служить, если при этом возбуждающая частота со равна собственной частоте ао = ~/ А~~а, так как в этом случае ф(ыо) обращается в бесконечность. Это значит, что уравнение ьо,с упх-+ях= се ' не имеет частного решения видя ое'но'.
Но в этом случае можно получить частное решение нашего уравнения, имеющее вид х=обвьнк. Подставив в уравнение эту функцию и ее производные х = пе'"' (1.-+ Гает) и х = Ов "' (2)ыо — Го4, получим после сокращения на в'""' о (2)тыо — тУо~ + лг))= с, а так как пил~~=я. то отсюда с о= —. 2гнноо ' Таким образом, когда возникает резонанс в системе без затухания, мы получаем частное решение х — в она — в оооо.
сс сс 21тооо 2т тГЛш 40 Р. Куронт 626 гл. х1. СВЕДеНИя О ДИФФЕРЕНЦИАЛьных УРАВНеНИях 13 Это значит, что если правая часть уравнения есть действительная ет фУнкциЯ У (1) = с сов сее1, то х = — з1 п сзз1, если же У (1) = с з! и е2ег, 2)1 Дш 11 тО Х = — СОЗшсг. 2)' д1л Найденное теперь частное решсние представляет собой функцию, которую тоже можно назвать колебанием, но с «амплитудой», возрастающей пропорционально времени. Налагающееся на него свободное колебание в этом случае не затухает, так как отсутствует трение; но оно постоянно сохраняет свою первоначальную амплитуду. и его значение становится все менее и менее существенным по сравнению с возрастающей амплитудой чистого вынужденного колебания.
Следовательно, истинный смысл обращения в бесконечность резонансной функции а =ф(ы) для системы без трения раскрывается в том факте, что в этом случае чистое вынужденное рещение колеблется между положительнымн и отрицательными границами, абсолютная величина которых возрастает со временем. 5. Замечания по поводу регистрирующих приборов. Исследование, проведенное в н' 4, имеет исключительное значение для разнообразнейших приложений в физике и технике. При работе со многими приборами, например с гальванометрами, сейсмографамн, с электрическими колебательными контурами а радиоприемных устройствах, с микрофонными мембранами и т.
д., возникает задача об автоматической записи колебания какой-либо величины х под действием внешней периодической силы. Во всех таких случаях величина х, как функция времени Д удовлетворяет, по крайней мере в первом приближении, нашему дифференциальному уравнению колебаний. Периодическую внешнюю силу с периодом Т можно разложить в ряд Фурье вида и — 1 2х У(2) = ~~~', т1е или, лучше, приближенно предс»авить ее, с достаточной точностью, триго- Ю н71 нометрическим многочленом ~ч~~~ у1е 1- — М Согласно принципу суперпозиции (стр. 620), частное решение х (1) нашего дифференциального уравнения можно тоже представить в виде бесконечного ряда 2и СО Пг1 х(г) = ~ о1е ( -сю (вопросов сходимости мы здесь поднимать не будем) или приближенно с по- мощью конечного выражения 11 2х х(2)= ~ о1е 1 -2У $ З.
ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ПРАВОЕ ЧАСТЬЮ Используя полученные ранее (стр. 621) результаты, имеем тогда йи -В,— г ое = уэиге 2иг 2и(г (К вЂ” бз = т(А — 4" 1 ) где у=:Т 4и' Л 4пэ (Д вЂ” т(э — — ) + гЧэ— т,) Тэ иэ— "с у(г)= Х у,е ! -ж Тогда мы будем говорить, что прибор регистрирует возбуждающую силу У(Г) без относительных искажений отдельных гармоник, если для всякой 2п частоты а <)т' — коэффициент искажения а=и(м) имеет приблизительно одно н то же значение. Это требование совершенно необходимо, если заключения о ходе возбуждающего процесса хотят извлекать непосредственно из поведения прибора. Так, например, граммофон или радиоприемник должен воспроизводить высокие и низкие ноты музыкального произведения, не искажая их относительной силы звука, Требование отсутствия относительного 40' Итак, действие произвольной периодической внешней силы на нашу систему можно описать следующим образом.
Возбуждающую силу разлагают на гармонические компоненты, выражаемые отдельными членами ряда Фурье; каждая компонента вызывает в системе свое колебание со своим искажением амплитуды и своим сдвигом фазы, а затем эти возбужденные колебания складываются. Если нас интересуют только искажения амплитуд, то изучение кривых амплитудного резонанса дает полную картину того, каким образом движение регистрирующего прибора отражает внешнее возбуждение. Влияние возбуждающих гармоник с большими номерами ( и большими 2п частотами ее= — Г едва заметно скажется иа отклонении х прибора. ИаТ против, все возбуждающие частоты, лежащие вблизи резонансной (круговой) частоты мь очень сильно отразятся на отклонении х.
Что касается смещений фаэ, то они играют в приложениях второстепенную роль (потому, например, что их не воспринимает наше ухо); впрочем, их можно исследовать путем, аналогичным методу исследования искажений амплитуд. Прн конструировании'физических измерительных или регистрирующих п иборов можно распоряжаться параметрами т, г, А в широких границах.
Х х стараются выбрать так, чтобы форма кривой резонанса возможно лучше соответствовала потребностям измерения. В этом вопросе решающую роль играют два требования. Во-первых, желательно добиться возможно большей чувствительности прибора, т. е. больших значений величины и=и(м), для интересующего экспериментатора интервала значений возбуждающей частоты м.
Как мы видели, для малык значений м величина а пропорциональна 1/А, так что число 11А может служить мерой чувствительности прибора при небольших значениях возбуждающей частоты. Стало быть, чувствительность прибора можно увеличить путем уменьшения параметра А, т. е. путем ослабления упругой связи. Во-вторых, существенную роль играет требование свободы от относительных искажений отдельных гармоник. Допустим, что возбуждающая сила приближенно представлена, с достаточной точностью, тригонометрическим многочлеиом 020 ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
