1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 122

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 122)

Из этого определения, в частности, вытекает, что если одно из двух гнезд интервалов получаешься из другого опущением конечного или бесконечного числа составляющих интервалов, то оба гнезда определяют одно и то же действительное число. Все эти правила для сравнения двух действительных чисел по величине нетрудно понять с точки зрения наглядного смысла гнезда интервалов.

Отметим теперь несколько простых фактов о неравенствах между действительными числами. Они пригодятся в дальнейшем. Сначала сделаем следующее замечание. Пусть число а задано гнездом интервалов [а„, Ь„], а число у — гнездом [с„,пл]; тогда, если окажется, что начиная с некоторого номера и = и, и далее выполняется неравенство а„ ( то уже можно заключить, что а (у. Действительно, если а = у, то это соотношение удовлетворяется на основании определения равенства действительных чисел, а если а < у, то, начиная с некоторого номера, имеем Ь„ < с„, а стало быть, подавно а„ < ою Но и обратно, если начиная с некоторого номера и далее а„ ( и'„, то либо Ь„ ) с„ для тех же значений и, н тогда, согласно определению, а = у, либо же для какого-либо значения и будет Ь„ < с„, так что а < у.

Точно ~аким же путем убеждаемся, что выполнение условия с„ ( Ь„ при .всех достаточно больших значениях я эквивалентно соотношению а )~ у. Из сказанного ясно, что если а есть действительное число, определенное гнездом интервалов [а„, Ьэ], то а„ ( а ( Ь„. Этот факт оправдывает наше правило сравнения чисел, так как ой показывает, что всякое действительное число в самом деле содержится в любом интервале определяющего его гнезда. Если а и б — два действительных числа и а < й, то (замкнутым) интервалом или (числовым) отрезком [а, й] называют совокупность всех действительных чисел $, удовлетворяющих соотношению а ($ (]). Этот интервал называют рациональным интервалом, если его «конечные точки» а и являются Рациональными числами.

Если а<$<]), т. е. знаки равенства не допускаются, то говорят, что действительное число $ лежит внутри интервала. Если действительное число Е лежит внутри интервала [а, б], то этот интервал называют окрестностью чисЛа Е. Всякий интервал содержит внутри себя рациональные числа. В самом деле, пусть гнезда интервалов [аю бл] и [с„, Н„] определяют числа а и ]3. Так как а < ]), то существует такое число и, что б„< са. Следовательно, 1 а ( Ь„< с (й.

Ясно, что рациональное число г = — [Ь„+с„) лежит внутри интервала [а, й]. Отсюда вытекает следующий вывод: если [а, й] является окрестностью действительно~о числа у, то [а, й] содержит рациональную окрестность числа у. Чтобы найти такую окрестность, надо только выбрать такие два рациональных числа а и Ь, что а < а < у < Ь < й. Нетрудно также убедиться, что если а < й, то можно найти тайне рациональные окрестности [а, б] для ПРИЛОЖЕНИЕ 31 числа а и [с, д] для 5, что Ь ( с, т. е, такие рациональные окрестности, которые не имеют общих точек. Определением основных действий над действительными числами мы займемся только в и' 8 (стр. Я8).

Предварительно мы проанализируем понятие предела с помощью изложенных здесь идей. 3, Принцип точки сгущения '). Определение действительного числа с помощью гнезда интервалов образует существенную основу доказательства принципа точки сгущения Вейерштрасса. Сначала сделаем несколько замечаний о самом понятии точни сгущения. Пусть дано бесконечное множество М действительных чисел, причем допускается, чтобм одно и то же число встречалось в этом множестве несколько рзз и даже бесконечное число раз.

(Таким является, например, множество 1, 1, 1, ...) Если число $ обладает тем свойством, что всякая его окргстность содержит бесконечное количество чисел, принадлежащих множеству М, то з называется точкой сгущения множества М. Само название напоминает о геометрической связи между числами и точками. Так нак всякая окрестность действительного числа 5 содержит рациональную анрестность, то достаточно сформулировать изложенное определение в терминах только рациональных окрестностей. Бесконечное множество чисел не обязательно имеет точку сгущения. Например, множество целых чисел не имеет такой точки. Точка сгущения множества ие обяззтельно является элементом множества. Например, множество 1, 1/2, 1/3,..., 1/п,... имеет точку сгущения О, но из определенна множества видно, что О не является его элементом. Множество, содержащее все свои точки сгущения, называется замкнутым.

Множество всех чисел х, удовлетворяющих условию О < х < 25, не замкнута, так как две из его точек сгущения, О и 25, не принадлежат ему. Напротив, условие О <к .,25 определяет замкнутое множество. Множество а <х <Ь является за.ккнутым интервалом. Множество может иметь и бесконечное число точек сгущения.

Например, всяное действительное число является точкой сгущения множества рациональных чисел. В самом деле, пусть а — любое действительное число, которое можно представить себе заданным гнездом интервалов [а, Ь„]; тогда всякая окрестность числа а содержит бесконечное множество интервалов [а„, Ь„], а стало быть, и бесконечное множество рациональных чисел а„, Ь„. Принцип точки сгущения, который мы сейчас докажем, заключается в следующем; Всякое ограниченное бесконечное множество действительных чисел, т. е.

всякое бесконечное множество действительных чисеЛ лежащее в определенном интервале, имеет по крайней мере одну точку сгущения. Доказательство будет достигнуто, если нам удастся построить гнездо интервалов, определяющее такое действительное число, которое обладает свойством точки сгущения данного ограниченного множества. Прежде всего заметим, что мм вправе считать, чта данное множество содержится в рациональном интервале; действительно, если первоначально указанный интервал не является рациональным, то его можно заменить более широким интервалом с рациональными граничными точками.

Разобьем теперь этот рациональный интервал иа два равных чзстичных интервалз; из них по крайней мере один содержит бесконечное количество чисел множества, так как в противном случае первоначальный интервал содержал бы лишь конечное число точек множества, что противоречит условию. Возьмем тот частичный интервал, который содержит бесконечное число элементов ') Этот а* и следующие три пункта являются, в сущности, повторением содеригания стр. 80 — 86 Дополнения ! к гл. 1, ПРИЛОЖЕНИЕ множества, или, если оба частичных интервала обладают этим свойством, возьмем один из них и разобьем его тоже иа два субинтервала. Как и при первом разбиении, по нрайней мере один из них содержит бесконечное число точек множества. Этот субинтервал или один из двух, если наждый из них содержит бесконечно много чисел множества.

разделим опять на два интервала и т. д. В итоге построено гнездо интервалов [а,, Ь [, так нак каждый такой интервал содержится в предшествующем, а длина я-го интервала равна длине первоначального интервала, деленной на 2". Это гнездо интервалов определяет действительное число В Покажем, что $ является точкой сгущения множества. Рассмотрим любую рациональную окрестность (г, в) числа В так что г < Е < з. Тогда существует такое число ль что при всяком я > я, должно быть г < а„, и такое число я, (возможно, и отличное от и,), что при и > и, будет Ь„ < з.

В результате, если одновременно и > и, и я > я,, то интервал [а„, Ь„[ будет содержаться внутри [г, е). Само построение нашего гнезда интервалов [а„, Ьв] показывает, что всяний интервал гнезда содержит бесконечное число точек данного множества, а стало быть, и любая рациональная окрестность (г, в) числа э содержит бесконечное количество точек множества.

Но это устанавливает бесспорно, что число $ является точной ггущения множества. 4. Верхняя н нижняя точки сгущения. Верхний и нижний пределы, В том построении, которое привело иас к точке сгущения ограниченного бесконечного множества, мы могли бы ввести следующее соглашение; всякий раз, как при очередном делении интервала каждая из его половин содержит беснонечное число точек множества, следует выбирать правую половину, т. е.

ту, граничные точки которой помечены ббльшими числами. При таком соглашении полученное гнездо интервалов даст вполне определенную точку сгущения [) множества. Это число 5 есть наибольшее из чисел, являющихся точками сгущения множества. Такой вывод вытекает из того обстоятельства, что справа от любого интервала [а„, Ь„) описанного выше гнезда может содержаться лишь конечное число точек множества. Если у есть любое число, превышающее [), а номер л достаточно велик, то Ь„ < у.

Только конечное число элементов множества может быть больше чем Ь„. Следовательно, у не может быть точной сгущения, так что О есть в самом деле наибольшее число, являющееся точкой сгу>ценив. Оно называется верхней точкой сгущения илн верхним пределом (1пп) множества.

Если в основу описанного построения мы положим другое соглашение: из двух частичных интервалов, содержащих каждый по бесконечному числу точен множества, все~да выбирать левый, т. е, тот, концы которого помечены меньшими числами, то тот же путь приведет нас к нижней точке сгущения, или нижнему пределу (1нп) множества.

Верхний предел [) и нижний и не обязательно принадлежат множеству. Например, у числового множества аг„=1!я, а,„, =1 — 1/я имеем а=О, О = 1, но числа О и 1 не являются элементами етого множества. В данном только что примере множество не содержит ни одного числа, большего единицы. Мы говорим, что в этом множестве число 1 является не только верхним пределом, но и точной верхней границей 6 множества.

Характеристики

Список файлов книги