1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 126
Текст из файла (страница 126)
~ сЬ х гГХ = вЬ х. !ехгГХ= — !п ! сов»!. ) 1ЬХДХ=!п сЬх. с!е х г(х =!п ! в!п х!. ~ с!Ь х г!х =!и ! вЬ х !. агсв!и х г!х = х агсв!и х+ г' 1 — х'. ) агссов х г!Х=х атосов х — )г 1 — хв. 1 агсге х ггх = х агс!е х — — 1п (1+ х'), 2 1 агсс!е х гтх = х агсс!ех + — !и (1 + х'). 2 агвЬ х г(х = х агвЬ х — г'"1 + хл. ~ агсЬ х гвх = х агсЬ х — )Уха — 1. 1 аг!1г х сгх = х аггЬ х+ — !и ! 1 — хг !. 2 1 агсгй х г!х = х агс!Ь х+ — !и ! Хг — 1 (, 2 — =в~!~ — ~.
~ — =Ы~!Ь вЂ” ~. — = !п ~ !е ( †+ †) ~. ~ †„ = 2 агс!Е (!Ь вЂ ) = 2 аг!Ь (!а †). (е !. ! = ! Ых ~ ггх = !п! !их!. = 1п ! !Ь х !. в!пхсовх ' ! вЬхсЬх г(х Г Дх гГХ = — с!их. ~ — = — с!Ь х. ~ — = !Ех. ~ — = гЬ х. зги г .с 3 вЬ'х совв х,~ сЬг х 1 Ыизх г!х= —,(х — з!пхсовх). ~ соввхг(х= — (х+в!пхсовх). 2 2 сВОдкА ВАжнейших теОРем т! ФОРмул гтх 1 (а = — агсга ~ — ! »г, х+Ьсовх аЬ ! Ь ь !' 1 а, Ь+О. ах 1 г'а = — - 1-4 х — Ь' сов'х аЬ 1Ь гтх 1 х = — агсгн —.
х+аг а а а' вЫ' а' в!н' 1 а х 1 а — х агй — = — !и, если !х! < а, а 2а а+х' х 1 х — а агсгй — = — !и —, если (х! > а, а > О. а 2а х+а' 1 а 1 11/Ь2 — с — х — Ь! 2ЬУЬ2 — с ! ЬУЬ' — с +х+Ь ! если с ~ Ьг, т. е. хг+2Ьх+с = О имеет действительные корни. агс! + если с > Ь', т. е. х'+2Ьх+с =О имеет мнимые корни. х 1, а +агсв1н — +С, ~ — — агсын — + С, сгх ! а х гтх х сгх = у"аг -!- »г. = — 1~ аг — х' . )/ а'+х' Ьгаг — х' гтх = вгвй — -!- С = !и !гх+ 1г»г + а' 1+ С,. х У аг-!-»2 = атей — +с = !н г!х+Ьгх' — а' 1+со 1/хг — аг а г!х 1 а 1 а+ Ггаг+х' хухг~! аг а х а х дх 1 а.
1 а+Ьгаг — хг = — — агси — = — — 1о хУаг — хг а Х а х а' х 1 Ьга2 х' гсх= — — атосов — + —, х и а' — х' ° 2 а 2 1 х, 1 Гг хг — аа' г21х= — — аг агой — + — х У х' — а', 2 а 2 1 х 1 '!Ух'+ а' гтх = — а' агвй — + — х )Гхг+ а' . 2 а 2 — аг!и ах 1 х+Ь 7'Сгг .г*"= у~=. ул=- = СВОДКА ВАЖНЕЙШИХ ТЕОРЕМ И ООРМ!УЛ ел" 5!п Ьх 2(х= — ~Ь2 еле(аз!пех — Ь соз Ьх).
лл ел" созЬ«2(х= 2 елл(асозЬх+ЬмпЬС). =+ лх 1 а2+ Ь2 5!ПЛ+1х 5!пл х соз х 2(х = Рекуррентнме формулы (стр. 261 и след,): с05 х ах= — с05 ха!пх+ — с05 хах. л 1 л-! л-2 и и 51п «ах= — — 5!и хсозх+ — ~ 5!п «!т». л 1 — 1 л — 2 и и хлсозхах=х" з!п х — и ( хл ' глпхах. Х 5!П»2(Х= — Х С05Х+П ~ Х Соз«12«. 5!паз хсозл !х а — 1 5!П Х С05 Х 2(х= + ~ 5!П ХС05 Х 1(Х.
52+и т+п,~ (10 х)л 2(х = х (! п х)л — и ( (! и х)л ! ах. хаел2(х «лет л ~ хЛ-!лет(х хл(1пх) т(х = — — ~ х (!пх) ах (а ~ ~— 1). (10 «) а+1 а+1 е 2а — 3 ( 2(х и — 1 ° ( 1 (1+»2)л 2 (и 1) (1+«2)л-1 2( ) ( +х )л-! В. Интегрирование отдельных классов функций а) Онтезрироеание рациональных трункций приподнтсз разложением на злементарные дроби н следующим трем основным типам (стр, 267 — 274)! !тх 1 1 а)л п — 1 (х — а)л (»2+2Ь»+с)л (с Ьт)л-р, ~ (! +из)л ' где с — Ьт>0, и= х+Ь и с:ЬН СВОЙКА ВАЖНЕЙШИХ ТЕОРЕМ И ФОРМУЛ хе(х 1 1 ( Ых (х'+2йх+с)" 2(п — 1) (х'+2ах+с)" ' ) (хе+ 2ах+с)з где интеграл в правой чести того же типа, что и в предыдущей формуле.
В последующем )7 обозначает рациональную функцию от своих аргументов. б) ~ )7(з!их, сов х) Ых (стр. 277), х 2г 1 — Р Подстановка: !а 2 = ' так что 3!и = — сов х = : 1+Р' 1+Р' 2 с(! 1+Р' Если же ег есть четная функция или )7 зависит только от !ах, то целесообразнее следующая подстановка: и' 1, с!и и=!Ех, з!и'х= —. соз'х= —, ох=' 1+ив' 1+и'' в) ~ Я(с)тх, зйх)дх (стр. 278). х 2! Подстановка: Т=Ш вЂ”, так что зйх=— 2' 1 — Р 2 дг д.ч= —.
еа' г) ~ )7(етл) дх. с(г Подстановка: Т=е . сгх= —. тз' д) ~ )7(х, )/Т:хг) дх (стр. 278). Подстановка: — х 1 — Р г — — 2с Г ~ + 1 + 1 1 + е) ~ !с(х, )гхг — 1) дх (стр. 278). Подстановка: 1+Р сй х=— 1 — Р' че а! П+гг)з ! = ~/, х= —,, )' хз — 1 = —, ох= /х — 1 1+Р 2! а(с!! $/ х+1 1 — !" 1 — Т (1 — ге)г ' ж) ~ )7(х, )/1+хе) дх (стр. 278). Подстановка: Г = х+ уехг + 1. х = —, )/х~+ 1 = с —, с(х = — дй Р— 1 — 1-1-Р Р+1 2! ' 2! ' 2Р > ) ЕЬ.! гиститвг ( р.пк)ь а интеграл в правой части вычисляется по последней рекурреитной формуле, лапкой выше; СВОДКА ВАЖНЕЙШИХ ТЕОРЕМ И ФОРМУЛ ах+ Ь Замена переменной $вт приводит этот интеграл к одному Ье) ас — Ьг ~ иэ трех последних типов. и) ~ г((х, в'ах+Ь, р сх+д)дх (стр. 280).
1 25 Подстановка: 5=)г ех+д, х= — (йг — й), дх= — г(5. с с к) ~ Ы(х, 1/ ) дх (стр, 280). Подстансъка: .,"/ ах+ Ь г(5л — Ь ай — Ье ел+ г( ' сй" — а ' (сй" — а)г 5. Равномерная сходимость и иэменение порядка предельных операций В. Пределы некоторых выражений Формула стирлинга (стр. 422): Ищ и =1. л Фел )Р2н плене-л Бесконечное произведение Валлиса (стр, 268 — 265): Ш 2 йй. ( 2п — 1 2п+1!' л Ф (2п) ! у"11 л-1 (О бесконечных произведениях см.
стр. 486 — 489.) е"= 1ип (1+ — ) (стр. 205). Ь(з)= ув —,— — д,, в>! л'4 п' .йй. 1 рл 1 (стр. 487), Определение равномерной сходимости ряда (стр. 452). Ряд, сходящийся равномерно в замкнутом интервале и имеющий своими членами непрерывные функции, представляет в этом интервале непрерывную функцию (стр. 4М). Если (у„(х) !~<ил и ряд ~Ч', а„сходится, то ряд ч1', ул(х) сходится равномерно (и абсолютно) (стр. 453). Изменение порядка суммирования и дифференцирования (стр. 457 — 458). Всякий сходящийся ряд непрерывных функций можно дифференцировать почленно, если полученный при этом рид сходится равномерно. Изменение порядка суммирования и интегрирования (стр.
454 — 456). Всякий равномерно сходящийся ряд непрерывных функций можно интегрировать почленно. Полученный ряд тоже сходится равномерно. сВОдкА ВАжнейших теОРем и ФОРмул где р пробегает все простые числа. хв ! в!п лх = пх П (!- —, ! и' 7 (стр. 518). л 1 Порядок величины функций (стр. 218 — 222): е«к 1!т =со, если с >0 к -» «2 х«2 (стр. 220).
1пх 1!т — =,О, если а>0 (стр. 220). к-» «2 Х нт (х!а!П(х(=0, если а>0 к-»о (стр. 222). 7. Некоторые определенные интегралы Если т и л — целые числа, то (О при т ~л, 5! и гих в(п пх 6!х = ~ (ти при т=п, л+О. в«п лгх сов лх «тх = О. (О при т ~и, сов гпх сов их дх = ! (л при ги=п, П~О. «2 )г е их=в 2 о (стр.
484, 592), о (стр. 827). Определение гамма-функции (стр. 291 — 292): и Г (х) = ~ е 'гк ' дг (х > О). Г (х) = (х — 1) Г (х — 1). о Если л — целое положительное число, то Г(л)=( -Н! (Св!. соотношения ортогональности тригонометрических функций, стр. 247.) сВОдкА ВАжнейших теОРем и ФОРмул 654 8. Теоремы о среднем значении. Интерполяция Теорема Ролла (стр.
126). Если ф(х) непрерывна на [а, Ь] и дифференцируема в (а, Ь) и. к тому же ф(а) =ф(И, то существует по крайней мере одна точка 4 между а и Ь, в которой ф'(й) =О, При аае Ь = 0 можно сказать так: между двуми корнями функции ф(х) имеется по крайней мере один корень ее производной. Теорема о среднем значении (дифференциального исчисления) (стр, 130). Если у(х) непрерывна на [х, х+Ь] и дифференцируема всюду в (х,х+Ь), то существует такое число О, что = у' (х.+ Ой), 0 < О < 1 Ь Теорема Ролля является ее частным случаем при у(х) = у(х+Ь). Обобщенная теорема о среднем значении (теорема Коши) (стр. 162, 229): г" (Ь) — 1 (а) з" (4) б (Ь) — б (а) у' 5) где 4 есть промежуточное значение между а и Ь. Формула Тейлора (стр.
366 — 310): Ь» + 1! )+2 ( )+ '" +л! У (~)+А» с остаточным членом (сар. 369 и след.) А»ь! Я» = — Г (й — г)»у~»+ ! (х+т) дт = /(»"'!(х-]-ОЬ) = а! з (»+1)! а е А»ь! = — (1 — О)»1'»+!!(х+ОЬ) (О < О < рр Теорема о средне.и значении (интегрального исчисления) (стр. 154)а з у (х) дх = (ь — а) т' ($), где а < $ < Ь. » ь ь у(х) р(х) дх= у'(1) ] .р(х) дх, если р(х) не изменяет знака в [а, Ь].
е » Интерполяция (стр. 394 — 400) Ьунтерлоляционная формула Лагранжа (стр. 399). Многочлен у(х) степени и, пРиниматщий в и+1 точках хг, хь ..., х» заданные значенна з'(хг) з'(х!) . ° з (х»), выражается формулой Г(х ) у'(х,) у(х») [ (х — хг)ф (хг) (х — х!)ф (х!) (х — х»)ф (х»)~ где ф(х) =(х — х,) (х — х,) ... (х — х„), сВОдкА ВАжнейших теОРем и ФОРмул 9. Разложения в ряд Тэйлора и в ряд Фурье д. Степенные ряды.
(Определение, стр. 459) у(х+А)=у(х)+ —,у'(х)+ —, уа(х)+ ... + — !у(в!(х)+ ггл или, в частности (при х = 0 и замене Ь через х), у ( .) = у (о) + — у (о) + — у (о) + ... + — у( >(о) + .. в окрестности точки х = О. б) Стененные ряды для некоторых функций (стр.
362 365, 373 — 377, 479-480): х! х! хе ! хл 1п(1+х) =х — — + — — — + — ... +( — 1)" — + ... 2 3 4 при — 1 < х <1. х хг х" е =1+ — + — +...+ — +..., 1! 2! ''' н! х' х' 2л ' ! в!их=х — —.+ — — +... -(-( — 1У! 3! 5! ' ' ' (2н+ 1)! .+. х' х4 и хгл соэ х=1 — — + — — + ... +(-1)" — + ...
2! 4! ''' (2н)! з а ге+! '""="+ 3!+'55+" +(2и+1)!+ хт хв хгн сйх=1+ — + — + ... + + ... 2! 4! ' ' ' (2л)! прн всех значениях х ! 2~ (2~ — 1) В, (2«)! Я и — — <х<-. 2 2' «! «о 2« хс!ах= аут( — 1) при — т! < х < и, «2 Вг« (2«)! «-о а) Общие сведения о степенных .рядах. Всякий степенной ряд ~~~', а„х" имеет радиус сходияости р; ряд схов О дится, если )х ! < р, и его сходимость равномерна и абсолютна во всяком интервале )х! <т1, где т! < р; во всех гочках, для которых )х! Ъ» р, ряд расходится (стр, 461). Если в формуле Тэйлора для функции у (х) остаточный член стремится к нулю при п -! Со, то функция У (х) разлагается в степенной ряд Тэйлора (стр. 372): сВОдкА ВАжнейшИх теОРем и ФОРмул где Вгг обозначают числа Бернулли (стр.
478). 1 х' 1 3 хг 1 3 5 х' агсз!пх=х+2 3+2,! 5+2 4 6 7 + ..., 1 х' 1 3 х' 1 3 5 х' тзп = — — — +.— ° — — ° — + — ..., 232452467+ х' х' агсгп х = х — — +- — — + 3 5 Хг х' агг!! х =х+ — + — + ° ° ° пргг ! "г)< 1 3 5 прн — 1 <к <1. Виномиальнмй ряд: (1+х)"=1+ах+ 2! х + а (а — 1) + а (а — 1) (а — 2) ...
(а — н + 1) хн + при — 1 < х < 1; если а > — '1, то и прн х=1; если а)0, то и п и х= — 1 Р В частности, 1 г г 1+х — =1 — х+х' — х'+ —..., (1+ х)' = 1 — 2Х+ Зла — 4х'+— — 1 1, 1 3 1 ° 3 ° 5 1' 1+х= 1+ — х — — х'+ — х' — х'+ —..., 2 24 246 2468 1 1 1 3 , 1 3 5 , 1 ° 3 ° 5 7 =1 — — х+ — х' — — х'+ х' — +... 1'1 +х 2 2 4 2 ° 4 ° 6 2 ° 4 б 8 Эллиптический интеграл (стр. 469); пгг ггФ 1 й з!и Ф о +(2) ( ) +( ) + '''~ Б. Ряды фурье (стр. 522 — 533) Если функция Г (х) кусочно гладка на интервале — и <х <.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
