1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 130
Текст из файла (страница 130)
93. » 95. По формуле бинома Ньютона ~~~~~ Лл,,(х) = [х+(1 — х)) =1. Лалее, л О дифференцируя Л раз функцию (а+к)» =. чч [' 1а" лхл л ?1и? т и разделив потом на Ь!, получны (Р)(а+х)» З= »4 ~Р)( )а" лхл л-л 43 Р. Курант ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ Теперь помножим иа х" и положим а = 1 — х, после чего получим 674 Р (Ь) х"= — ~~~ (Л)~ )(! — х)л "х" = )~~ ~~)Лж„(х). » Ф »-3 ГЛАВА 1Ч ! В задачах на неопределенные интегралы постоянные интегрирования опушены. бб 2, 3, стр. 247. 1. — л". 2. — — е ". 3.
— (1+х') г. 4. — (!их)з. 1 г 1, 2 1 2 ' 4 ' ' 9 2 1 б.— (и — 1) (!и х)""' б. Привести знаменатель к виду (Зх — 1)з+1. Отв. агс!Е(зх — 1). "+( — ".')'1 бх 4 4 8. —, = 2 — — . Оглз. 2х — — !п ! 2+ Зх !. 2-(- Зх 2+ Зх ' 3 9.
агсйпх — У1 —.с'. 1О. !п(х+1+У5+2к+хг). х+1 1 1 2к — 1 11. агсз!и —. 12. — !п (х' — х+1)+ = агс!3 2 2 Уз Уз ' к — 2 13. 2агсй.=+Уха — 4х+1. 'Уз 1 4 Зх — 1 14. — — У2+2х — Зх'+=агсз!п = 3 ЗУз У7 2 2х+1 2 2х — 1 15. — агс!е ° 16. = асс!и =, ° ' Уз Уз Уз Уз' 1 х+а 1 17. агс!и, если Ь вЂ” а' ~ 0; — —, если Ь вЂ” а' = О; УЬ:а' У Ь вЂ” а' х+ а — агй, если Ь вЂ” а' <О.
1 к+а ) а' — Ь Уаз — Ь х' хг хг 18. — — — —, — — — х — ! п ! х — 1 (. 4 3 2 19. З1п'хсоз'х=ыпхсоз'х(1 — совах) з!ихсозгх — з!пхсоззх. созз х соз х Ошз. — — + 5 .7 з!и'х ып'к з!пгх 1 ,д Чг 20.. — 2 -» — + —. 21. — (1 — хг) — — (1 — хг) '. 3 5 7 ' 9 7 1 1 12. — агсз!п х — — х 1'1 — х'. 23. »»732. 2 2 1+( 1)», 1 1 и+1 ' ' ' 2(1+аз) 2(1+Ьз) ' ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 675 27. — (а' — Ь') + — (ат — Ь')+(а — Ь)+1п — ' 3 2 Ь вЂ” 1' 1 / ив ! М. — ~1 — соз — ). 29. Ср.
упр. 8, стр. 113. Отв, —. 4~ 2) ' ' ' ' л+1' — — +С =С. 1 4 5. ек(х' — 2х+2). 6. (х' — 2)з!пх+2хсозх. 4и ( — 1)" 7. и 8. 0; втот результат можно предвидеть без вычислений, если заметить, что подынтегральиая функция нечетная. 1 1 9. !пх— (а — 1)х" ' (л — 1)тх" хл2.22 хв2т2 2л+1 (т+1)2 1!. — х'!(!их)' — — !их+ — ~. 1,г 2 21 3 ~ 3 91 $42 п' 5, стр. 260.
1. — (27Х4 —,27х'+36хт+90х — 73) — — (12хз — 9х'+8х+1О). 4 2 сц Зх 81 27 +!) 1 — соз(бх+2) О 18х'+бх — 13 1 (6 +о) 2 ' ' 72 бх+ 1 1 1 — — соз (бх+ 2) + — х'+ — хт — х, 72 2 4 2Х ,И2 *.2.22) 4 „, +Ь сн (2ах+2Ь) — 1 5. ахт+Ь=Г, Х2(х = —, х'= —. Итак, Е! (х' — х)з!п(ехт+Ь)2(х цт г — Ь 2а' а = ~ (: — 1) з)п à —.
$42 п'п' 1-3, стр. 253. сов х х х !. Принять у =х, д'=2р= —. Отв. — +1п1п —. з!пт х в1п х 2 2. Положить у = хт, 2р = хе, 2р, = — — е ' . О та. — — (х' + 1) е " . 2 —.2' ! -К-' -к' 2 ' ' 2 Можно сделать предварительно подстановку — х' =с — 2х2тх = 2(г, после чего интегрирование произведения упрощается. 1 3. — (х' з!п хт+ соз х') . 2 4. а) подстановка 1 — х' = 6 — 4х' л2х = 2(б Отв. + 1 4 (1 — х') 1 х' 4х' 1 + — !и! 1 — х'!+С. б) Положить У= —, 21=,, 2р, = 4 4 (1 — х')'' ' ! — к'' х' 1 1 1 1 Ол2е.
— — — — -+ — !и !1 — л' 1 + С2 — — -+ — — — + — (п! 1 — х' !+ Сб 4 (1 — хт) 4 4 4(1 — х') 4 ответы и угслзлния й 6, стр. 29! х 2 х 2 2!и 2+1~1 1. — . 2. !д —. 3. — агс!!Г~ 2 УЗ 1 УЗ 2 4. — ~!а — — сгК вЂ” )+ — !п~ !а — ~. х и 2+' 1 1 б. 1и . 6. =агсгд — У2. !3 —,— 1 1 !их 1 .
2!Их 7. =асс!д=. В. — агсгз— ' 2Уз !а--1+УТ 2 !3 — — 1 — У2 2 9., +!п сов х. 10. — !п 1 1 2 со5г х У2 11. — !и 1 сов'к — сов х+1 + ага!В 2совх — 1 4 (сов' х+ сов х+ 1)' 2 УЗ Уз 1 2совх+1 — — вгсгп 2 УЗ УЗ 1 — х 1 2 3 12. — х )"хг — 4 — 2 агсп †. 13. — х У4 + бхв + — агв!г — х.
2 2' 2 3 2 14. 2 агсгз 1 г х — 1 13. — У(хг+4х)г — (х+2)Ух~+4х+4агси — ' —. 1 хх-(-2 3 2 В. 1п У ! х+ 1 ! — — !и ! кг — х+ 1 ! + — агс!и— г — 1 1 2х — 1 б УЗ Уз 1 5 9 9. !и 5 +-!пУ! (-х'-(- — агсгих. У(х — 2)' 10. — !и(х+2!+ — 1и/х — 1! — — !и!х+1!. 2 б 3 3 б 2 11. — — +1п1г ~ — ~ — — асс!3 х. 3 5' (х — 1~ 2 !2.
— агсгдх+ — !и + — агсгд(2х+Уз)+ 1 УЗ хг+Узх+1 1 3 12 х' — Узх+1 б + — асс!и (2х — )' 3). 1 б 1 х — 1 У2 х Зх'+2 3 13. — !и — + — агой —. 14.— †. — агс!их. 6 х+1 3 У2 2х(ха+1) 2 678 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ )х ° 17. !и ~+3~1 — хт 1+х +ф' Т вЂ” х Ф. т ((2 — 2 -(-((.(.~( — '-(-( — ( — 2» — т 1 19.
2 3 (Ь вЂ” а) ( '"(х — а)' — )Г(х: Ь)з 6 8, стр. 296. 1. Расходится. 2. Сходится. 3. Сходится. 4. Сходитсн. 5. Расходит 6. Сходится. 7. Скоднтся. 8. Расходится, 9. Сходится. 1О. Сходите 11. Сходится. !4. а) При О< э <1; б) при О<а < 2. 16. Да, сходится. Допоанительные упражнения к главе 1У, стр. 2йб. мсе(п 1.
Положить агсз!их=!, «х =соя! ад Оте. — е'""'"» (х+ у ! — х'). 2 1 1 2. — созе х — — соз" х. 9 7 3. х [(! и х)т — 21и х+ 2!. 4. — ! и 4 2+созх ' О.Положить у'! — е т«=Г. Оте.х — [~1 — е '«+[и(!+'Ъ~! — е -'«~. 6. О. 7. О. 1О. О. 12. Рассмотреть функцию 1/х ва отрезке ! < х (2. Разбить этот отрезок на л равнык частей и составить нижнюю сул(му, как в гл. И, 6 1 (стр. 193 и след.). Она окажется равной ал. Теперь пусть л->со. Оте. !и2.
1Х Сравнить члены выражения Ь„со значениями функции 7 (х! = 1 л — 1 при х=О, 1/л, 2 л, ...,, Ота н/2 г»1 †.к' и 14. Вычислить "» л( Вт !п ~/ — „' = Вти — ! !и 1+ !и ! ! — — [+ л-ь(о л л-+(о л лг +! (1 — Е+ ... +!и(! — ' ')1 на основании определения определенного интеграла. 15. 1/(1+ а). 16. Положить 7 (х) = (х — 1)", (э(х) (х+1)" или у(х) = (х-[-!у', ( — 1) (л!) 2т"+т (Ь (.Т) = (х — 1)". Оте.
(2л + 1)! 1 17. Разложить дробно-рациональную функцию на элементарные дроби, а затеи положить х= 1. отпиты н укАзлння Смешанные упражнения к главе 1Ч, стр. 26. 96. — х "— — х '+ — х' '+ — х!а — 2х5 — 3х '+ 4х '+12х' "— 12 г„б А 4 гл 12 13 5 3 7 — 2 1п (1 + ху ) — 4 !и (1 + х га) — 4 3I 3 агс!3 ! х г г — — 1!.
2 г, 1! 1~ 3 4 0, 4 + 98. — 6)г (1 + х)' ~ — + — )г 1 + х+ — )ГТ+ х+ — ф' 1 + х + /1 1 1 ' ! з в + — )г (! + х)'+ — „)г(1+ х)г). 1 1 х' — х+1 99. ПОлОжить х+ — — Г, — !п 1 1 100. — агссоз —. л х" 101. —,~!Их — (" ) !п(х+1)+~" ) !п(х+2) — + ... ~ ( ) !п (х+л)1. (л — 1)(л — 3) ... 1 и 102. — ', если л четиО; л (л — 2) ... 2 (л — !) (л — 3) ... 2 если л нечетно. л (л — 2) ... 3 2'г (2л)! 1 3 5 ° 7 9 ° 11 ° 13 ' 2г" (л!)г 2 ' 2га (л !)г гг и (2л+1)!' ' 16 ' 32 ' 108. ~ ха(!Их)аггтх= — — ~ х (!пк)аг г(х. ха+ (!их)т га Г а м-г а+1 а+1 .~ хдеах 109.
~ хаааа з!пЬхг(х =, (аз!пбх — Ь соз Ьх)— а'+ Ь' — к" теа в!пбхгтх+ г Ь, ~ х" ~еахсовбхагх. аг+ Ьг,! а'+ бг Хггаах 110. ~ х"еахсовбхпх = г~ —; — (асовЬх+ бв!пбх)— — — х" еа" сов Ьх гтх — х" ~гаев!пЬк г(х. а'+ Ь' аз+бе 3 Еах 11!. ~ еа" в!гбхгсх= ...(Ь свах — ав5бх).
еак 112. ~ еа" сибхг(х= б,, (Ьз!гЬх — ас)гбх). !!4. Воспользоваться обобщен!гни правилом интегрирования произведения, полагая гб(х) = Р„(х), 1!5. Воспользоваться результатом упр. 114. Отипты и укАзАния ' 680 116. Применить обобщенное правило интегрирования 'произведения, полагая у (х) = Р„(х) н 9 (л) = Р„(х), и воспользоваться результатом упр. 16, стр. 297.
117. Положить,5(л) = х", 4р(х) = Рл (х) и применить обобщенное правило интегрирования произведения, а также результат упр. 16. стр. 297. 2"+' (л!)' (2л+1)! ' 118. Сходится. !19. Сходится. 120. Сходится, если л > — 1( расходится, если л < — 1. 12!. Сходится, 'если л > — 1, л4 > — 1; и противном случае расходится.
122. Сходится, если л > О, лу > — 1; в противном случае расходится. 128. Сходится. 124. Расходится. 125. Сходится. 126, Сходится.. 127. Сходится, если л>0; расходится, если л~О. 1Ж Сходится, если лт > л — 1; расходится, если л4 ~л — 1. 129. Сходится. (Подынтегральная функция всюду положительна, иепре4(Х рывна и ограничена (она <1). Интеграл 1(6)= ~ ! 4, монотонно 1+ л4 Мпт х о возрастает вместе с 6. Поэтому достаточно доказать, что он ограничен. Пусть лл < 5 < (л+ 1) л.
Тогда (л+1) л л 2л (я+1) л1 ° 1 +.'".."=~1+1+ 1 ) +-".".' о З л ал < ~ 4(я=л. При й;>1 интеграл 1+ 4(л 1+х4 з)пах о о (а+1) л (а+1) л 4(Л а(х 1+к4 з(пт х .) 1+ й'л4 з(п'л ал ап л/2 — 2 1+ 24л4 з(п' Г ) 1+ й"л' жп' Г з 11 2 (замена переменной х = Лл+!). При 0~<24С вЂ” имеем з(п 2> —.2(см, упр.16 н/2 422 1 2 1 л 1 иа стр. 197); поэтому аа < 2 ~ +424„2(4 —— —, агсф ))'л' < —, з 2л 1 ( ах Следовательно, аа с †, , при й „в 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
