1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 133
Текст из файла (страница 133)
Если ряд ~)„! аа ! сходится, то а-! пп ~ ( + 1) а+тс где а > 1. Тогда и( ! " — !) > а+ — > 1+с. и п Х = Х'" 1 1 вч СОЗ ЬК = — + †, ~ Егап. ЗатЕМ дОКаэатЬ дЛя раВНОМЕрНОй СХОДИ- 2 а-е и -и мости теорему, аналогичную упр. 182. 290. Если к лежит на отрезке е ( к ( АГ, 2с 2 отрезке — 1+ — ( У ( 1— 1+с - - Ь7+1 291. а) — 1 <к<1; б) — 4<к<41 в) к> !' е) ни при каком к; ж) к > 1; в) — 1 < к < 1. к — 1 то у = — лежит на «+1 г) к > О; д) при любом к; Локазать затем обратное предложение: из неравенства и ( ! о„! — !) > 1+с |оп+,! вытекает сходимость ряда ~к~ ~!ап!.
Аналогично для случая расходпмости. !95. Если Рад ~и~~~ ап сходитса, то 1 та ~п(1+ — ) ~ где а > 1. Тогда и!пп( ~ап) — ! — — ) > а+ — > 1+а. 1 1 1и„+, ! и ~ и Надо еще доказать обратное предложение, и доказательство признака сходи- мости будет завершено. Аналогично для случая раскодимости.
!97. а) Сходится, если б — а > 1; расходится, если б — а < 1, б) Сходится, если у > а+О; расходится, если у <а+8. 1 1 198, а) Если к> 1+с, то — ( —. Аналогично для б). Ьп Ьгее 199. Частичные суммы ряда )Р ~соя Ьк равномерно ограничены при пглп ! и-ып всяком к на отрезке с:. к(2п — с. Написать сов лк 2 и 695 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 202.
Если ряд лг — сход1ася, то надо писать 8т а„ 'ьч а„ .г.й ,ул лх ч 1 л-1 Чьт !а — — 1 н воспользоваться теоремой упр. 181 или 182. Если же ( лю лх-хо) х-1 ох чьч л„ ряд у — расходится, то ряд ~ — не может сходиться при х < х лхэ л74 лх х 1 л 1 на основании только что доказанного. Ът аа!па жт аа !па ж)3.
Записать так: Лх ~~ Лх, )х — х," жй. Очевндво, х', аахл < ~Ч' аа при х < 1. С другой стороны, а-о «=о лг лг ~Ч»', азха > ~~ алха, так что йю ~ЧЗ~ азха) !нп ч1" алла = ~ ал. Следоа-о «-о хю' Л-О «+1а-О а-о вательно, !пп ~~', алла > ~ а». .+' а-о а-о 208.
Как в упр. 204, !пп ~Ч~ ~ляха) ~ аа, н, стало быть, этот предел .+' «-о а-о равен со 206. Имеем ~ паха = у ааХ ! — ! . Затем доказать для равномер'(х) ' а-о л-о ной скодимости теорему, аналогичную упр. 181, а именно: если ряд ~я~~ аа скодится и если последовательность Ьо(х), Ь, (х), . , Ь„ (х), ... монол о тонна при всяком х и равномерно ограничена прп венком х на некотором отрезке, то ряд ~~~' алаа(х) сходится равномерно на этом отрезке. а-о й)Т. Это вытекает из РавномеРной слодимости РЯда чэ, 'азха наотРезке а=о 0 (х (Х, ибо, в силу этого, сумма ряда ~~~~~ аахл непрерывнаприО(х(Х.
л-о х(1+х) 1 — хэ ' а) 11+ хт И ) (1 х+ тт)т- г е» вЂ” 1 ! ж)0. а) Этот ряд равен значению — ! ) при х=1. 6) Ряд равен йх~ х )т 1+х-)Гт:х аначению выражения 2 при х=!. ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ ГЛАВЛ 1Х Я 1, 2, стр. 510. 3. Искомая сумма равна мнимой части выражения (и+1) а па з1п 2 2 зш а з!и— 2 о (,) (е(з,1)та,-пга)12( 1а 1) ~Ч;! егьа а-о 4. Воспользоваться формулой 1 Г 5. Вычислить — ~ оз(а) аа, а затем воспользоваться выражением зм (а) через ол (а). йй 31 4, стр. 521. ела саку,:(„а + у4 з+Ьт (асов Ьх — аз!пах) ~2о лгяаз ( Ьт Л-1 хз а сових=П;, 1 ( +2) б) — л' — 43 У соз Ьх; жч ( 1)а 15 л~~ Ь! З-1 з!и ап 1 2 (а+ 1)1+ ат — (а Пт ат 11 а з!и Ьх, л=! , 1 1 если а не является целым числом; — з!п(а — 1) х+з!пах+ — з!п(а+1) х, '2 2 если а — целое число; Ь вЂ” а 1 %1 /з!и ЬЬ вЂ” з1п Ьа соз ЙЬ вЂ” соз Ьо г) — + — у ~ 2н и .Л4~ Ь соз Ьх— Ь з!и Ьх).
Л-1 2. Применить преобразование х= — и+2и! к функции ф(х) из 6 4, и' 2, стр. 514. (А(он!но также воспользоваться формулами для козффициентов Фурье, данными на стр. 521, при ! = Ц 1 1 3 1 3, В (х) =х — —; В (х) =х' — х+ — ' В (х) =х' — — х'+ — х; 2' 6' з" 2 2 1 В (х) =х' — 2хз+хз — —. 4 30 4. В, (!) уже дано в упр. 2. Остальные разложения получаются последовательным интегрированием на основании соотношения б) из упр.
3. Надо будет еще доказать, что постоянные интегрирования равны нулю. 5. Подставить ! = О в выражения для В, (!) и В4 (Г), полученные.в упр, 3 и 4. 6. Подст вить Г = 1/4 в выражения, полученные для Вз(!) в упр. 3 и 4. ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ Н 1 — 6, стр. 537. 1 1. лх~!дл»=1 — 2х' У л~й Аз — хя а 1 СО ОО =2 — 2»Ч — г' — ) 2 1 и О 2 — 2»' (~~)*' 1 СО 1пх Ч~~~ ( 1) О 2 1 1 СО 4. а) ) — Дх»О — у —,; 6) Г !пх чсч 1 х — — УД А 6. а) )22; б) ф'3. 1 2х 1 1 1 7.
срп лх лх л [12+»2 + 22+х'+ 3'+хт +''') ГЛАВА Х ф 2, стр. 561. 3. а) Имеет линию разрывов х = О. 6) Имеет разрыв в точке х = у =О в) Линия разрывов у = — х. г) Линия разрывов у= — х'. $3, стр. 567. ДУ ДУ Д2У ДСУ ДСУ ДУ 1 2. а) — =у, — =х, — = — '=О, =1; .6) — = —, дх ' Ду ' дх' Дуя ' дхду ' дх х ' ДУ 1 ДСУ 1. ДСУ ДСУ 1 ДУ 1+у! — — — — — — =О, — = — —; в) — = Ду у ' дхз хз ' дх ду ' дуз уз ' Дх (1 — ху)2 Ду 1-[-х' Д2у 2(1+уз) у Дту 2(х(-у) Ду (1 — ху)' ' Дх' (1 — ху)2 ' Дх ду (1 — ху)2 — г) — =уху, — =хт[пх, — =у(у — 1)ху Дту 2(1+х') х .
Ду У ! Ду' Дяу Дуз (1 — ху)' ' дх ' ду ' дхз ДСУ ()Ч У 2. ДУ -1 (хУ) Дх ду =ху (1+у!пх), =х (!пх); д) — =уху е(х ), Ду = Дх — с=хУ1пх е(' У), — У = у»У-яе(»У) (ухУ -[-у — 1), Д27' У ДСУ Дх ду — = хт 'е(»У) (1+ у!п х+ ухт !и х), — = »У (!п х)я е(»У) О +»У)с Ду2 3. Лифференцировать уравнение 22(хз+уз) =ф(х) ф(у) по х и по ух Исключить 27 (х'+у'), а затем положить у 1; интегрировать полученное. равенство.
Ов2в. У(х, у) = ае И+У!. ф 4, стр. 573. 2. а) — =х» х» !пх+(!пх)2+-; б) — = —., (2!п-;с, . 1)с ДУ х»»т 11 ду 1 дх х »241/» э. г»=3, гт —— 1; гс=г„саз0+г з!пО, ге= — г»»з!пО+гярсозО. 2. а) аД вЂ” Ьс! 6) 1/г; в) 4ху. $5, стр. 579. 2. а) 5/4; б) — л/2; в) — 1; г) — 1. 3. а) — 21/32; б) 21; в) 2; г) — 19/3, 4. Прях= — 3 максимум у = б, при х= 3 минимум у = — 6. [Максимум, и минимум принадлежат разным ветвям двузначной функдии у(х)) 5. г,(0, 0) = — 1, гу(0, 0) = — 1.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ Нентр темести Стлтниескоа момент относительно Момент инерции относительно Площель осн л оси у оси .т гМ~' 8 оси у и!сл 8 а) — )тт 1 2 — Лл 2 3 ( — а, — Ь) — аат 1 2 — атб 1 2 — аЬл 1 3 — алЬ 1 3 б) аь в) 4аЬ г) иаь ! д) — а,Ь 2 4аЬл 3 4а'Ь 3 (О, 0) иаЬ" 4 иа'Ь 4 (О, 0) ( — ', — 'Ь) — аьт 1 6 — атЬ 1 6 аьл 12 алЬ 12 ГЛАВА Х! $1, и'1, стр, 599.
1. созхсоау=с. 2.у=!и!и с Ь Г+хе. 3.у=с)т1+етл 4. !В((1+ут)(у+$/1+ут)(+2(1(-х) "-=с. 9 1, и' 2, стр, 601. 1. у=лежи. 2, у (2хв+у ) са. 3. х' — 2сх+у' 0 (семейство окружностей). у 4. агс!д — + с !п у х'+у' нли, в полярных координатах, г = е +л х (логарифмнчесние спирали). 5. с+! п ! х ! асса!и — — — )' хл — ул.
у 1 х х ф 1, п'3, стр. 603. 1. у се и""+а!их — 1. 2. у (х+1)" (е'+с). 3. у сх(х — 1)+х. 4. у= — хл+схл. 1 3 с х 5. у= + —. 6. Х ате!Пу — 1-1-СЕ лгьтау. Ь' ! + хл 1 + ха 6 6, стр. 595. аЬт еил 1 1, а) — (ал — Ь'); б) -4; в) !и 2; г) — — — — а; д) и/!6; е) 4/3. 8 ь ь 2. 2п. 3. Воспользоваться тем, что тело симметрично; 1/!6 объема имеет основанием треугольник с вергпинами (О, 0), (1, 0), (1, 1) в плоскости хОу н ограничена сверку поверхностью х'+хе = 1.
Объем равен 16/3. 4. — и (й — Ь)т(2)!+Ь). 1 ' 3 5. ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 6 2, стр. 610. 1. е У=с, зес(х+с,). а у=с, ,~ 21п!у — 1!+с! + ' 5, е (аГсз!ПГ)2+с! аГсэ!ПГ+сг. 1 2Ь 7. !+с, = — )г'сгеэ — 2йе —— с, с, агс!и х+ с,. 1 4. х=— С,Г+ Сг 6. у =с, +с,ех". жа агсэ!п 1ГГ / с,э 2Ь 66 3, 4, стр. 618. 1. х=с,е +с,е; х=е — е. 2. х=с,е +с,е; х=е — е Г 2Г. 2Г Г -Г -Ш. -Г -2Г 3. х=с,еыг+с,е г; х= — (еп2 — е Г). 4. х=с,е э!+с,(е 2Г; 3 х=ге 2'. 5.
х=с,е Г'2+с,те 62; х=те 6. х=е " (с соз — !+с з!п — Г) = ае П соэ — (à — 5); 2 ' 2 ! 2 2 2 . Ь'3 Ьгз 4 2 х =е-"'з!п — Г, т= —, Т==. а= —, 5= —. )ГЗ 2 2 )гЗ ЬГЗ РЗ $1, п'п' 1-4, стр. 665. 1. 1/у =1и х+1+сх. 2. у = э!пх — соя х+се ".
Преобразование ут=х. ! ху-— 3. у =х — 2+се . 4. уз= сэе хг. 5. у' — 2хэ су. о гто 6. 1п ! у ) = ф (хгу) + с, гле ф (о) = ~ э (одна из первообразных). 7. уЕхГУ+ Х = С. 8. Если аЬ, — а,Ь Ф О, 'го ац а+ Ьу' а+ Ьф (2!Д) аб а +Ь у а +Ь!ф(гааз) ' а, Ь! а это — однородное уравнение. Если же аЬ, — а Ь = О или — = — Ь, то ! а Ь вЂ” =а+А — =а+Ьф~ ), г(5 г(у l г!+ с ах г(х ~ Ь!!+с, это — уравнение с отделяющимися переменными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
