1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 129
Текст из файла (страница 129)
д) Максимумы при х=!и+ — 1п, минимум прн х=ап, точка 2п+ 1 перегиба х= и. 4 2. Максимум прн х = — г' — р, минимум при х = )г — р, точка перегиба х =О. Нет ни максимума, ни минимума, если р) О. Все корни действительны, если д'+4рв <О; дза комплекснык н один действительный корень. если (уз+ 4Рв > О, ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ зу-у 3. Точка (О; 1). 4.
Уравнение искомой прямой у — уэ — )/ ул (х — хл). хь 6. 43~ 2м. 6. Точка, делящая отрезок АВ в отношении )/ а:)/ Ь. 7. Квадрат. 8. Прямоугольник с вершинзми в точках х= ~ —, х= х —. а Ь Уя * У2' 9. Прямоугольный треугольник, т. е. ст = аз+ Ь'. 1О. Сторона прямоугольника, противоположная прямой и, должна быть 1 на расстоянии — (Ь'8»з + Ьз+ д) от центра. 4 11.
1(илиндр, высота которого равна диаметру его основания, !3, Угол падения должен быть равен агсз!п(л мп — ), где !р — прелой! 2!' мляющий угол призмы. л 1 чеч 14. х= — у ал. 1Б. Найти минимум функции»л — рх. 16. Найти минин .2~ ь 1 2 мумы функций х — и!их и з!и х — — х в интервале 0 <х (и/2.
Другой споМпх соб: показать, что функция — монотонна в этом интервале. х л-! ( а!+а!+ ... +ал-! ) л л — 1 У' л а,а, ... ал 6 6, стр. 206. 1. 0,693. 2. !их. 3.. 4. 1 1 х!пх ' ' )/!+хз 1 — 2хсоз»)»Т+!пх х 1 2х ф'Т (.!и х (Р'1+!пх — з!и х) ' .сз+1 3(2+х) ' 7. У 7хл+ 1 ( 14» 1 2хл Ь»х — 2 г»»!+1 (,3(7»т+1) 4(х — 2) (х'+1) ) 11. х=1/Л при условии, что Л+0; если Л=О, то максимума нет. а»» 12.
ал а (!па)'. 13. ам" »!'"»! !па! сов х(!пх)'+ 5!л» !л» ~ 2з!их!пх ! х 6 7, стр, 212. 1. а) Фиксировать х и дифференцировать по у, затем положить у равным нулю. 6) Вычислить у(х) сперва для рационального х, а затем, пользуясь непрерывностью, — для иррационального х.
2. Дифференцировать по у, а затем положить у = 1. 3, 2315 лет. 4. а) у = Ь+ Сел»; б) у = — — + Сел», если а ф 0; Ь а у =Ьх+С, если а=О; в) у=(Ьх+С) ел."; г) у= е'»+Сел», если с Фа; если же Ь с — а с = а, см. в). (Дифференциальные уравнения в) и г) решаются заменой переменной у = лел, где »вЂ новая искомая функция.) 670 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ ф 8, стр. 218. а+Ь' а — Ь 1. вЬ а — вЬ а =2сЬ вЂ” вЬ вЂ” ! 2 2 а+А а — Ь спа+сЬЬ=2сЬ 2 сЬ а+а а — Ь сЬ а — сЬ б = 2 вЬ вЂ” вЬ 2 2 2. !ь (а ж а) ; сй (а ж а) = 1Лаж!Ьа 1 ж!Ьай Ь 1 ж сй а сй а . с!Ь а х сй а а спа — 1 2ЗЬ'а; вЬ вЂ” = 2 = сЬ' а+ впе а! сЬ 2а = 2 сЬ' а — 1; сЬ 2а = 1+ а сп а+1 2 2 8 3 а) ! +спх б) — „4,: н) 1 1 азЬх 4. вЬ а — зп а.
(1+ вЬ 2х) сй (х+ сне х); 2 1 хе $9, стр. 223. 1. а) Выше, чем хм! 6) ниже, чем хе; в) того же порядка, что 1; г) выше, 1 ! —. — е 2 -+е чем х'т; д) и е) выше, чем х; ниже, чем х; ж) того же порядка, 2 что и х; в) выше, чем х~; и) ниже, чем хе. 2. а) Выше, чем ее» и (1п х)е; того же порядка, что е; б) ниже, чем ее» и е»; н) ограничена; г) того же порядка, что ее»; ниже, чем е"; выше, чем (!п х)а; д), е), ж) ниже, чем ее» и е»; выше, чел1 (1пх)е: з) выше, ,1-е »1ее чем е»; ниже, чем е; выше, чем еи» и (!и х)е; и) того же порядка, «е что !ох; ниже, чем ее» и е 3.
а) Того же порядка, что хб; б) ниже, чем (1/х)'! в) того же порядка, что и х; г) того же порядка, что х; д) такого же порядка, как хГе! е) как х ', ж) выше, чем ХА; з) выше, чем х1 е; ниже чем х; и) ниже, чем (1/х)е 4. Да; О. 5. О; 1. 6. Вш 7 (х)/х = У' (0) О. 8, 9, Воспользоваться упр. 7. . »-ео Дополнения н главе П!, стр. 230. 1. /" [Я[ь(х)Ц [и' [А(х)[ь'(х))'+У'[д [ь(х)Ц д [ь(х)[[А'(х)]'+ + У' [3 [А (х)П 8' [Ь (х)[ Ье (х).
2. а) хм"'( — +1пх совх; б) (совх)'а»~ — !Яех+ х / 1 Спзех / и'(х) о'(х)!и[и(х)! и(х)!по(х) о(х)[1по(х)[е ' ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 671 3. а) еел«алхз-]-Злая )х +Зл(л — ца" зх+л(л — ц(л 2)п" 2]. гл-1 б) 2( — Цл(п Ц1 ] Ъ-~ 1 луы — — 1п х ч ч 1 в) — «соз х — 3 соз Зх] при и = 2т, ( 1))л 2т 2 — [3 + з(пЗх — 21пх] при л=2ю+1; ( — 1) ил+1 2 г) — «(Ач+)2) 21п (т+ 12) х — (гл — Л) з1п()л — )2) х] ( — ц1 21 22 2 при л= 21, — «(т+ а)212)сов (гл+ а) х — (т — л) 12' соз (т — й) х] 2 при и=21+1; 2 21 ~ л ,) «2') — 1)' " 2 ) 2 .). 12Л/ л-о ГП+1 < л л ) — 1) 2 «2 2 )2 .).
). 12л-+1 ! л-е где 1пп= 2. Сжатые выражения для сумм, служащих множителями прн соз 2х и з1п 2х, получают, вычисляя (1 + 21)" двумя способами: по формуле Муавра и по формуле бинома Ньютона — и приравнивая действительные и мнимые части обоих результатов. Х(')1.") '+-' ' 4. Пусть у = агсз(п х. Тогда илу )ул 1 1 1 ) Лл 2 « Зхл 2)хл-) 1)' 1 х2 / 2(хл-з «(1 х2) 12) К атому последнему выражению применить правило Лейбница « —.'.]...-«'-' '-'-' « ' ]1..- -2) 2) ~ — « и последовательно повторять этот процесс: — =1 ° 3.
5 ... (2)2 — Ц(л — 2)(л — 4) ... (и — 2л+2) Х 1 — ~, — * лл Х 2х Е * х) ~( — мд-) ( ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 672 плу пх Если п=2т, то — „„[ =0; если н=2т+1, то Пх" [х е х ~х е = 1з.34. 54 ... (2т — 1)'. (агсз1п х)'[ = — ~ ~ 114 3' ... (2Ь вЂ” 1)т 1'3' ... (2т — 2Ь вЂ” З)й нх™ [ 41Ь ~2Ь+1) л е [ бтт-~-т , (агсмпх)'~ =О. 4(лз )х-а б. Дифференцировать (1+ х)" дважды и затем положить х= 1. Смешанные упражнения к главе Ш, стр. 230, З) / Е +С18Х)ега'хьшкюх. ! соз'х б) 4(х+2)4 (ха+1) Ь)/1 — хт —, Ох+2)4 (ха+1) Ь+ ЗФ"(1- .) (хт ( 1)-'Ь ( + 2)4 тгх~ 7 Зхт В) х з1п х+ соз х+ Зхт Мп х+ хэ соз х + з(п х з!п' х 69.
Знаменатель не должен обращаться в нуль ни при каком действи- тельном знзчении х; рассмотреть его дискриминаит. Числитель производной тоже не должен обращатьск в нуль. Искомые условия таковы: ас — Ьт > О, а>0, аЬ вЂ” л6=0, ау=О или а=Ь=О, а~О, с~О, 70. Максимум при х= — 1/е, минвмум при х=1/е, точки перегиба 2 в точке (О; 1) и в точке, удовлетворяющей уравнению 1п(х'+2)'+ — = О.
Тф Пусть Т есть треугольник заданной площади, имеющий наименьший периметр, и пусть Ь вЂ” какая-либо из его сторон. Если сохранять Ь постоян- нои, то Т будет треугольником с данным основанием Ь и заданной площадью, имеющим наименьший периметр. Следовательно, Т должен быть равнобед- ренным, н две его стороны, отличные от Ь, должны быть равны. Йо Ь есть любая из сторон треугольника, и, стало быть, Т вЂ” равносторонний тре- угольник. Для аналитического решения достаточно рассматривать только равно- бедренные треугольники с данной площадью 5. Пусть координаты вершин будут ( — х, 0), (х, О) и (О, 3/х); тогда периметр равен 2х + — )'х4 + 5'.
х Приравнять нулю первую производную и найти вторую производную. 76. На основании упр. 71 достаточно рассматривать только равнобедрен- ные треугольники. 76. Йа основании упр. 72 достаточно рассматривать только равнобед- ренные треугольники. 77. а) Производная от функции (1+х) ех всегда положительна при х>0; поэтому свое наименьшее значение зта функция принимает при х = О, а именно 1, б) Интегрировать неравенство а) от 0 до х.
в) Интегрировать неравенство б) от 0 до х. 78. Пусть /(О)=,; тогда Т(0)=у(1)=1. Найти (Оа'+ (! — 0) Ьл)"", (Опч+ (! — О) Ьч)иа у'(О) и показать, что либо Т'(О) О, либо Т'(0)=0 точно при одном зна- 573 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ чении О в интервале от О до 1.
Во втором случае показать, что у (О) нигде не обращается в 1 при О < О < 1. Затем вычислить у'(О); она окажется равной положительному числу, помноженному па выражение ау' — Ь» ае — Ье — =~ Ь»х 1[» — .е-»[т?х, » О а которое отрицательно, если а + Ь. Следовательно, у (О) < 1. 79. Знак равенства будет в том и только в том случае, если у'(О) = О, т. е.-если а= Ь. 82. Найти минимумы функции а Ь ' [Оа+(1 — О) Ь) в интервале О<0«1.
85. а) Выше; 6) тот же самый; в) ниже; г) выше. 87. Интегрировать левую часть, просуммировать, а затем опять дифференцировать. 89. По правилу Лейбница ле1 л л л —.1 — (е )лл — (хе )=х — е +п — е кт12 1" квз "? ка?2 И кп2 цхл+' л Ихл пхл-' 90. Исключить илл, из указанных двух формул: пи„, = и„; одну из рекуррентиых формул дифференцировать и воспользоваться полученным здесь соотношением. л, п(п — 1) л т, п(п — 1)(и — 2)(п — 3) 92.
Прииеиить правило Лейбница к выражениям: ?и+2 ба+2 з) (ха Цл+1 [(ха 1) (ха 1)л[, ИХл+2 ЛХлтз йл+2 Пл 1-1 б) — 2 (х' — 1)л+1 = — [2 (и + 1) х (хт — 1)л[; в) приравнять друг другу два выражения для Р„+1 ив а) И 6). (2п)1 Г л п (п — 1) л(.)=2л(1,!)т [~ "— 2(,1,,) ' '+ + и (п — 1) (и — 2) (и — 3) хл-а 2 ° 4 ° (2и — 1) (2п — 3) 94. Тот же ответ, что в упр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
