1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 131
Текст из файла (страница 131)
6 частности, а, = ~ 1 , , < 2 . ,~ 1+к'жп'л 681 ответы и иклзаиин л л 1 1 Г«тх 1 ГЫх Аллее, при Л;> 2 имеем — = — ~ — < — ~ —. Стало быть, 2И 2 .) аг 2,1 х'' л-1 л-1 л (л+Ол л ал < — ) — и =~ад< — ~ — = — «1 — -)< —. 2,) х' .) 1+х«з!птх Й " 2 ) хт 2( п) 2' л-1 гл Л 2 1 1 ! Стало быть, интеграл Уф) < л+ — +- — =и+1, т. е. он ограничен, и 2 2 сходится. о Этот пример еще раз показывает, что ) у (х) «Гх может сходиться и о в том случае, если подынтегральная функция (даже если она всюду поло- 1 жительна) не стремится к нулю при х-) оо. Что У(х) =,, не 1 +х«з)пт х стремится к нулю, видно из того, что У(лп) = 1 при любом целом л.
(Ср. стр. 294, интегралы Френеля.)) 130. Расходится, так как хнах хмх 1! 1 Ат 1+хтз)пгх ) 1+хг 2 13!. Сходитси, если р < — 2 и () + 1 < а < — 1 или если 8 > О н — 1 < о< < - — 1; во всех остальных случаях интеграл расходится. ) = ) + ) . 6 2 о з л х «Гх Предположим, что 8 СО. Тогда " 2 скодится лишь при о < — 1, ° ) 1+х«)з)п х хе «Гх между тем как ~ р 2 ведет себя, как 2! ',, т. е. если о ° 1+х з!и х с 1 +хб ' (1+2>0, то а > — 1, что приводит к противоречию. Если же 6+2 < О, то а — 8 — 2 > — 1. л .ха Ых Пусть теперь 8 > О.
Тогда ~ ' г сходится лишь при о> — 1. 1+х))з)п х С другой стороны, «л+)) л (ль))л (л«-)) л (Лл)ел)х ~ х" с«х ~ (а+1)е лл«тх < 2 1(-(д (-!)Рлбз!пгх ' 1-)-хбз)пгх а 1(-(дл)!)з)пгх ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ аа, аэ1 равна а правая равна )Г( ( (а+1)а,в * Левая сторона неравенства 1)а а+1 . Стало быть, 'Г' 1+(ая)" 135.
В формуле Г (и) = ~ е гта 'а! сделать замену переменной а) т=хт! о б) т= !и —. 1 х ГЛАВА Ч $1, стр. 310. 1. (хт+ ут)т = ат(х' — ут)'. 2. х=(Р+г) соз Π— г соя — О, у=(Я+г) з!пΠ— гз!и — О. гс+ г Р+г г 3. х=2РсозО(1 — созО)+)г, у=2гсз!пО(1 — созО). !с — г Л вЂ” г 4. х=(Я вЂ” г) соз О+к сок — О, у =(Р— г) Мп Π— гз!и О, г О.х'+у'=)с'. 7. х= —, у=— з,, ~А зя За( За(т 1+!я ' !+гт ' 1О.
а = агс!и г'+ у'к' г"' (уэк'+ х.у') — к "(кà — )к') (у')'+ (к')' к "(уэк'+ Х.Г')+ у' (ку' — Ук') У (Гг)1 ( ( с)з (а+1) а "-Ф Г а-— с1» с < ста 1 +х з)п х "ах Отсюда вытекает, что сходится в том и только в том слу1+ха з!и х чае, если а — О(2 < — 1. О СО 132. Г У(ах) — у(!)х) Г у(х) Г у(х) ! 7(х) с(х= ! — ах — ~ — ах= ) — кх= Х Х х .) х й аа аа аа аа р Г Г(х) — к =(,!и — +~ с(х. Показать, что этот последний интеграл стреа,~ х аа мнтся к нулю при а-+О. ь 134.
Рассмотреть ~ ах и преобразовать его тем же мел тодом, что и в упр. 132. 683 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 12. а) Сама окружность С. 6) Кардиоида, описываемая при катании по неподвижной окружности с диаметром ОА подвижной окружности с равным по величине диаметром; точка возврата кардиоиды находится в А. [13. Пусть г = у (О) — уравнение кривой в полярных координатах с полюсом О; Р(г, 0) и !) (гп 0+30) — близкие точки на кривой. Из бт ОРье по сторонам ОР=г и О()=г, =г+бг и углу РОО=АВ определить !ВОРО.
Если ф есть угол между радиусом-вектором ОР к вектором РО секущей, а р — угол между ОР и касательной в точке Р, то !Уф — !Е 6Р9, а !Ер= !!ш !Яф.] АЕ.+О 66 2, 3, стр. 333. 1, — (ЬЧ' — а'8). 2. —. 3. — (Вт~ — Вз). 4. бнФ. б. биг'. I т! /е ет !ьйт з у=те'[ — — — ) [! — — при О~в<16)!.
16)гт ) ! Вьь! ! 9. х = 2а ~ агссаз (1 — 4 ) — (! — — ) ф/— зь у =в — — при 0 (з (8а. Ва ьгГ4 тз 8 10. аг' ( — +х) — —. 11. ВЛ, ~9 ) 27' 12. а) — (агзи 0+8)г! -[-Вт); б) — ' (е'"Π— ееюь)! )Г! -ьь-шт 2 лг в) ВЛ (1 — соз — ); г) а !ь — ( — ВО) +  — 0 ~. 2) (3 О О 13.
а) — (1+4хт) ьь; наименьшее значение 1/2 в точке х=0; 1 ь 2 1 б) — (аз а!и'ф+ Ь'соз'ф); если а > Ь, то наименьшее значение Ь/а аЬ н точках ф= 0 и ф=п; наибольшее значение а/Ь в точках ф=п/2 и ф =- зп)2. 14. р- 1/)ГД [16. Перейти к параметрическому представлению кривой в прямоугольных координатах: к =у (0) сов О, у = у (О) з!пВ.[ !7.
Объем пЛ'(й — й ) — — (йз~ — Ль). Площадь 2п(Ь вЂ” Д,))ь. 18. Если р — радиус окружности и г — расстояние ее центра от оси вращения, то объем тора равен 2и'гр', а площадь его поверхности 4п'гр. 19. /г= из. 1 2 ! хт еь). у = — агс!ь — + гг! — х'+ сопя!; з = 1и ( — ); х Хо х=в', у = — агой е ь+ )ь 1 — ет'+ сопы. ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 21.
пусть 2(5 — дифференциал дуги данной кривой, ! — ее полная длина, 8 — ограниченная ею площадь и М вЂ” ее кривизна; пусть 215', !', 8', Ь' — соот- ветствующие величины для параллельной кривой. Тогда 2(з' = (1+,Ра) с(з, Й' = Ь 1+ра ' 3~=3+!р+лр2, !2=!+2лр, гт (51П Ет — 51П 2Ь1) Л (СО5 22 — Сез Ч22) 252. а) $= ° Ч=— Ч22 211 122 — % где 1Ь2 и ф,— полярные 'углы концов дуги; б) $ х, зй х, — х, зн х, — сп хз+ сй х, айх,— зах, 2(х, — х1)+ 512 2х,— зй 2х, 4 (зп х, — зй х,) где (хь у,) и (х,, ут) — граничные точки дуги.
нз. (а'+ Р2) (Ь вЂ” а) + — (()2 — аз). 3 24, а) зн хз — зн х, + — (зн хт — зп х1); б) (хо+2) ьй хз — (х2+2) зп х,— — 2х. сп хз+2х1 с12 х1, если О (х, (х,. й 4, стр. ЗП. 21 Г 51п— г ах 1. 51п— г 2 тГГ ! 52 з,п2 I, Г !2 соз ( — )+г' 51п'( — ) 1 СО5 —, ~22 ~!2 — гт 51пз ( — ) ) 2. Горнзонтальыый.
3. и = 5 2 + А52 1+Ьзоо ' оо 2 4. а) х = 4 агс13 е — л = и — 4 агстй е ; х = л. -1. 312 У б 5) 1= — 1уо угуо у — уо асс!3 5,' — + — уо); У2н2)4 Уо — У 2 б) '~/ 212М( — — — ) 1 "в) ~à — ' Ь (1 — 5)' к— 2л 6.6= г,г=, , где а =, у са. Период равен— 1 — егозя!' а 2пй )ГХ (1 — 5)' )' с Смешанные упражнения к главе У, стр.,360.
136. а) хо+у'=бахзу21 б) х= аагссоз — ~+"ггьт — (а — У)2. Ь 22. > '-22 2ю'.22'2':ч*,2 1ая'2тг в) х (х' + у') + ру' = О; г) х = О. ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 141. $= — т-, »)=ух у' !у 2р )гр'+у' ) р»+у» (у (1) 1х (1) и)а. 1=х(1) ж =.. 0=у(1) ж —,. ° у' х»+у» г' х»+у» ба' пЬ (2а+ И (а — Ь)' 2 2а' 4Ь(а+Ь) 1' а ) 145. Выбрать оси так, чтобы кривая касалась осн х в начале координат; выразить ординату у как функцию угла, образуемого касательной в точке (х, у) с осью х. 140.
а) Р/12; б) 1»/3; в) и г) 1[ — + 1»), 147 г Слс»а а 140. (х — с)т + ут = й». х — Ь 150. (х — с»)+у =ст. 151. у=асй —. а 152. Длина прямолинейного отрезка, соединяющего точки (гз, О») и (г»,, В»»,) кривой, равна )'(г»+, — г»)' +2г»г»+; (1 — соя (Е»+1 — Е») ], и длина вписанной в кривую ломаной равна л-» ((1»г )»+г„г~~, (Лв~)»+г~~~~, (ов )' Р~], »-о где все ]Л»] ограничены. Заставляя наибольшую из разностей Лв» стремиться к нулю, получим для длины дуги выражение е (в,, 0) = ) У' ( —,в ) + г 40. в, 153. Пусть уравнение кривой г=у(0). Обозначим через а угол между полярной осью и касательной к кривой в ее точке (г, В), а через р угол между раднусом-вектором точки касания и той же касательной.
Тогда а = в+В, а кривизна (см. стр. 325) о ен . т(Е (нр 1. Лз а= = — + — =[ —,+1): лз 35 лз 1 ле ) лв т»з / т ег»з л'и 'Подставляя сюда — „= 1г 1 — ) +гт и — ', которую можно найти ае У '140) 40 ' 'г дифференцированием формулы (ар = — (упи 13 на стр. 311), получим ~е А' т л»г 1 де ) е'0» 21 — 1 — г —,+г» [г»+( — „) ) ОТВЕТЕ| И УКАЗАНИЯ ГЛАВА Ч! ф 1, стр. 366. 1.
0,28. 2. 0,182. 4. Невозможно; ряд непригоден для этих значений, 6 2, стр. 372. 1 1 1 — (1 х) и+2 2. О= 1 — х х 1 1 (1+х) и+2 — 1 1+х х 6 3, стр. 3?7. 1 х' ] ! )/2 2 8 )~ (1+ Вх)' 8 8 )'(1+ Ох)' 32 й 1,5; ошибка не превышает 8,4%. 3. 1+ — х, (х! (0,3. 4. 1+ — х — — х-, — ° 10 1 1 1 5 з 3 ' ' ' 3 9 ' 8! 5.
а) 1+ —, — ! — — !) 10 и' 2п(п б) 1+ — + —, ~ — — 1) х', — ( — — 1) ~ — — 2) ° 1О '. 6. 0,0100. 7. а) 0,9999; б) 5,0133; в) 9,8489. х' 2хз хз 8. 0,515. 9. хз — — + — + — ( — 128 соз 28х), 3 45 8! Зх' 7х' 3 хз 10. 1 — — + — + — — (243 соз ЗОх+ соз Ох). 2846! 1 1, 1 11. — — хз — — х' — — хз— 2 12 45 х — 16 — (17+ 248 !82 Ох + 756 !8' Ох+ 840 !82 Ох+ 31 5! аз Вх). 8! 12, х+ — х'-+ — хз+ 1, 2 3 15 х' +16 — (17 + 248 !Ез Ох+ 756 !84 Вх+ 840 !82 Ох+ 315 !Зз Ох). 7! 1 1, 1 13.
— хз+ — х'+ — хз-+ 2 12 45 х' +16 —, (! 7+ 248 !82 Ох+ 756 !8" Ох+ 840 !Зз Ох+ 3 15 !Зз Ох). 2 1 4 х Уха И. 1 — х + — х — — е 2 3! 15. 1+ — х'+ — х'+ 1 5 2 24 х' + —, (720 зес' Вх — 840 зев' Ох + 182 зес 1 Вх — зес Вх). ! 1, 2 16; — — х — — х' — — х' — ...
3 45 945 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 687 17, — х+ — хз+ — хз+... 1 7 31 6 360 15 120 3, И, хз 18. х — — х'+ — х'+ — ° 2 6 4! (1+ Ох)з [ 50+24!п(1+Ох) [. 19. 1+х+ — х — — х -+ — е (соя Вх — 1О сояз Вх+сояВх— 1 т 3 з х' я!пах я 2 24 — 10 я!о Ох соя'Вх+15 я!и Вх соя Ох+6 з!и'Вх соя Вх). з и ю), х+ — хз, О < х < —. 3 4 2!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
