1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 128
Текст из файла (страница 128)
1. Воспользоваться б 5, и' 7. 2. 39=1 34+1 ° 3'+1.3+О, откуда искомый ответ 1110. 3. а) 10011100; б) 2130. 4. а) 758; б) 5954; в) 10000; г) 0,2; д) 0,023; е) 0,24972497 ... 5. а) 1,41 с »г2 с 1,42; б) 2,65. — 3 — »г5 — 3 + »' 5 6. а) к~< 2, к,'~, —; б) при всех зиаченияк х; в) хс, < — 3 — 2»г2! — 3+2» 2 < х <3 — 2»г2! к)~3+2» 2; г) х> — 2. 7. Возвести обе части в квадрат; знак равейства только при а = Ь. 8. Использовать упр. 7; равенство только при а = Ь. 9. а) Сложить три неравенства: ат+Ьт>2аЬ, Ьт+с'>2Ьс, с'+а'>2са. .а+ Ь вЂ” Ь+с — с -1-а 41) Перемножить три неравенства: — >»гаЬ, — >»гЬс, — — >»' са.
2 2 в) Сложить неравенства типа атзт+Ьтст> 2Ьтас. 1О. Применить неравенство Шварца к двум тройкам чисел: хь х„кз и 1, 1, 1. 11. Из соотношении (а! — а/) (Ь! — Ь/) >О получается а!Ьг+а Ь/> >атЬ/+а/Ь!'. сложить неравенства такого типа для всех целых значений индексов ! и У от 1 до и. ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 12.
а) Раскрыть (1 — 1)" по формуле бинома Ньютона. д) В тождестве (1+х)и(1+х)" =(1+х) и раскрыть степени двучлена (1+х) по формуле бинома Ньютона, а затем отобрать члены с х". лт (л -!-1)' 4 1 1/ 1 1 "'"'гасят~! ~ ьи.ьи»нани) ипросуммнроватьегоот А=!дод=ж Оитз. 4 — 2 1 ! 6)2 Тли+2!л+8 ' а»сии+В" 16.
а) — (лт — а+2); б) — (5л' — 18ли+ л — 80). 1 1 2 6 л(»2+5) . л(л — 5)(5л'+11л+26) 6 24 18. Предполагая, что формула верна при л = ит, помножить ее на (а+ 6) и тем самым доказать ее дая и= я+1. Проверить, что формула верна прил 1н'л=2. 19. а) 1; б) 1/4; в) со. 1 1 1 25. в) Если ги>л, то )ал — аи)= + + +, + ... + — = 1 / 1 1 1 (л+1)! 1 + л-)-2+(л+2)(л+3) + ''' + (л+2);.. га ) (л+1)! ! л+1 (л+1)2 (л+1)т и ! ) 1 1 1 (л+ 1)! 1 л ° л1 1— л+1 г) Тем же путем, что н в).
и и и %ч 1 цт ч(т ( Пт 26. ПУсть си = ~„ †. тогда г(» = »~ †. С»4» = ь4 1' »м4 т! ' " ~Й т(у! и-з т-е ит з Поаагаи т+ч=р, имеем 2» и и и Х Х т!(Н вЂ” т)1+1 Х т1(р — т)! ' и-аь! т-о и-з т-з Пт Теперь д,, = О, если р ) О, так что .Л4 т!(р — г)! т з 2» а 2» ) Сали — 1 ! = ~ ~~~» )С ~ ~— < и+! г з и а+! 2"+т ( 2 22 2»+' 1 2»+ 6 (л+1)1~ л+1+(л,-(-1)и+''') Гл+1)! 2 (л — 1) л! й+! Так как 2»/лФ-ьб при л-ьж, то си»и-»1 и Вт»!»=1/е. ОТВЕТЫ И УКЛЗЛИИЯ 27.
а) Члены последовательности монотонно возрастают и ограничены .г— сверку числом 2, тзк как если а„< 2, то ал«, ="г 2+ а„< ) 4=2. 6) Пусть 1!пт а„=а. Тогда, выполняя предельный переход в равенстве ал+, — — р 2 ).лм получим а = г 2+ а, откуда а = 2. 33. а) 1; б) 1; в) 1/е. 35. а) 1/11; б) 1/1001; в) з/(1 + з). 36. а) 4з/(1 + 2з); б) з/7; в) агссоз (1 — з). 39. Воспользоваться тем фактом, что если число х рационально, то п(х будет четным целым числом прн всех достаточно больших значениях и. 40. а) Имеет разрывы прн х= хи, ж2п,...; 6) имеет разрывы прн х=б, ~п, ж2п ..„в) имеет разрывы ири х=0, ~1, х2, ...; г) раз- Рывна при всех значениях х.
4ж Ла; рассмотреть знаки при х = 0 и при х = и/5. 44. Пусть з — любое положительное число; тогда |у(х') — у(х") ! < с, если только ! х' — х" (<Ь. В частности, 1у(х) — у(х ) ! < з, когда (х' — а!<5 и ! х« — а ! < б, а это и есть критерий сходимости Коши. 45, а) (х'+ у' — Ьх)т = аз (х'+ у'); б) Зх' — 4х — 4+ 4у' = 0; в) хт = = у' (2а — х); г) х'+ у' = Заху. 5 47.
а) Окружность с центром в точке ( — — !) и радиусом 4/3. 6) Окруж. 3 Лгр — и л)а — (11 ность с центром в точке, и радиусом /2=,, если 5+1; если же 1=1, то — прямая, прокодюцая через середину отрезка, соединяю- щего точки а и 6, и перпендикулярная к атому отрезку, в) Рассмотреть отдельно три возможнык случая: й < 1, 5=1, я > 1. 48. «Неравенство треугольникам сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны, 49. Сумма площадей квадратов, построенных на диагоналях параллело- грамма, равна сумме площадей квадратов, построенных на всех его стороиак. ГЛАВА П 6 2, стр. НЗ.
1. Воспользоваться формулами 6 2 и основными правиламн. Отв. 23 —. 1 3' 2. Найти точки пересечения прямой и параболы; искомая площадь равна разности площадей двух криволинейных трапеций: одна нз ник ограничена 1О'г'5 сверку прямой, другая — параболой, Оша. — . 3 3. 3'З/6. 4. — (аз+4Ь)'5. 6 5. а) — ((1+ Ь) ч о — (1+ а)'~"!; 6) — (соз аа — соз аЬ); 1+а а 1 в) — (з!и аЬ вЂ” юп аа).
а ' "--И+3(2)-' ©+- -+-" — '1(")= 1 л+! .6 3, и п'3, 4, стр. 122. ! 2х 4х соз х !. а)— (х+1)' ' (х'+2)« ' (2х'+1) ' ' з!пг х' 6) — —; в) г) д) ЗсозЗх; е) — аз!пах; ж) 2з!пхсозх; з) — 2созхз!пх. 665 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 3 . 1 1 3 „-, 2. а) — —: б) — —: в) —; г) з,. д) — 1 х; е) — —; х хв 2 )/х 3 2 б. 3)кх! 5 Ьсхв 3 ж)— 4 г'хв 3. а) у' = — бх'+ 1Ох — 7; б) 7' (х) = 3 соз х — 2 мп х; бхб — 12)'2 хз+12х; г) л'= — х/'+ — х/'+12хз.
3 3 в) Чв'(х) = 6 3, и' 6, стр. 126. 1. У'(Ц=1, У" (Ц=8. У'к(Ц=ж, У!У(Ц=06, УУ(Ц= 120, ут )(ц=О при и> 5, ибо уу(х)=120 н У(к)(х)=0 при и> 5. 2. О. 3. со. 6 3, стр. 135 !+Х2 ь Л2+Х2Х!+Х! 1. а) 5 имеет любое значение; б) 5 = — 2 —, в) 5 = 1/с 3 (: Х /в + х, /вХ /в + Х /в ) /в 3 6 4в стр. 146. А а) 1/2; б) 1/2. (В обоик прнмерак воспользоваться соответствующей первообразной функцией, найденной при решении упр. Ц 6 5, стр. 149.
1. и/4 ю 0,785. 6 ув стр. 158. "Г и!ь /и 3. а) /„= пРи Условии, что 1+ — > 0; 1нп /л=в. 6)/л= и л =1+1/и и 'л+<" " и+1' / О, если — 1 ~ а (1, если л > — 1; йгп /л — — ~ ' л-ьвс" 1, со, если а>1, 4 ввг'(х) — вс(х) 1~< 25 ~ (кк(х+Г) — / (х)! Ж. Воспользоваться равно -б мерной непрерывностью функции У(х) на а(х~б. Можно также писать с кьб с<*в--1/ в!~в вв-/ в!в!~в> 1 25 к-б с где с — фиксированное число. 5. Выразить интегралы как пределы сумм, разбивая промежуток а и, х ~ Ь на равные частичные промежутки, и к этим суммам применить неравенство Шварца (стр. 28). Другой способ: интегрировать неравенство (7 (х) + + ий (хц',и О от а до Ь и воспользоваться упр. 4, стр.
28. ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ Дополнения н главе П, стр. 163. 1. построить функцию 1р(х) так: <р(х) = у'(х) всюду, где у'(х),м о, и р(х) =0 во всех остальных точках интервала. Пусть ф(х) =у'(х) — п(х); к к тогда ф(х) <О. Рассмотреть ) н(х) лх и ) ф(х) ях. а ,а Смешанные упражнения к главе П, стр. 163. 1' 1 ! 52.
У' (х) = з1н — — — соз — при х+ О. х х х 53. у'(х)=(1+2х) з1н — — 11+ — 1соз — при х+О; у'(0) не сущех ! х~ х У (х) — у (0) ствует, но отношение приращений при х-ьО имеет верхх ний предел 1 и нижний предел — 1 /2 1! 2 1 54. У" (х) = ! — — — )з1в х — — соз х при х чь 0; у" (О) = — —. =1х х/ х' 3' 55. Воспользоваться теоремой о среднем значении. 56.
Воспользоваться теоремой о среднем значении. У(х+Ь) — У(х) 57. Рассмотреть функцию 1р(х)= . Доказать, что прн Ь малых фиксированных значениях Ь зта функция принииает значения как большие, так и меньшие, чем рл следовательно, 9(х) =р при некотором значении х.
Затем применить теорему о среднем значении. 53. Составить уравнение касательной у = 5 (х); применить теорему о среднем значении к функции у'(х) — 5' (х) н воспользоваться результатом упр. 55. 59. Составить уравнение у = 3 (х) корды, соединяющей две точки кривой с абсциссами х = х, и х = х,; рассмотреть вспомогательную функцию )1(х) = у (х) — Ю (х), Ь"(х) = У" (х) > О. Если бы где-либо на интервале х, <х <хт было Ь(х) > О, то существовала бы точка 5, в которой Ь)(!) =О, Ь (5),> 0; теперь применить теорему упр. 58.
60. Воспользоваться результатом упр. 59. 61. 0,006. 1 1 62. а); б) — =вес'х. 2) х ' соках 63. Воспользоваться формулами интегрированна упр. 62; а) 2; б) 1, а 1Г 66. Пусть р = — ~ и (т) од Состзвить уравнение у = д (х) касательной а,~ с к кривой у= у(х) в точке х=р. Тогда у(х)) 3(х) при всех значениях х (ср. упр. 58).
Положить х = и (!) и интегрировать. 67. Обозначим численные величины скорости н ускорения через о и ю и предположим, что все время движения ! ю ! < 4, т. е, — 4 < ю < 4. Интегрируя неравенство ю < 4 от 0 до ! и неравенство — 4 < ю от ! до 1, получим: о < 4! и э < 4 в 4!. Но тогда путь 1 1Д 1 а= ~оМ< ~ 4!Ж+~ (4 — 4!) я!=1, о о 1/1 т. е. пройденное расстояние было бм меньше единицы.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ ГЛАВА П1 $$ ! 2, стр. 172. »3 — Ьс 1. а) а; б) 175сх'; в) 2 (Ь.( сх); „) (сх+г()з ' „) 2Х~(аР— оЫ+2х(»У — ос)+2(ЬТ П ), 4 ( +х ( +26Х+ 7)в ' е) (1 г)2 (1+ , 'Ж) о. ) ( ) = »х +(а» г +па„)х" '+(а„+(л — ц(а„, + цХ а»» г с3 1 3 Х~ + ...", 6) Р(х)= —" х»+ ал- — »а„— ~1х»-~+ сз .,) ап-з с, СЕС2 — СГ 1 21 + ~ (» ц а»-1 — 2 — гг (л — ц а» хх-г+ со о 1 х 2 3. а) 2соз2х; б) — . + 1+в!и 2к ' сов'х ' 1 — в!и 2х ' в!и х сов х л) — — + —.
к' х 4. вес' х+ вес х !52 х. 5. созес' х+ созес х с!Яз х. ахг ахз 6. — +Ьх+с. 7. — +Ьхв+ск+С. 2 3 8. хз+х'+х'+х'+х+с. 9. — ~ — + — + — )+с. г1 1 1- ( х 2хг Зха хз 16. — — — + с. 11. а з!и х — Ь с!о х+ с. 3 х 3 5 12. — х' — 7 соз х — — — 9 !Я х + с. 13. вес х + с. 2 2хз $ 3, стр. !81 ~ (3) 4 (16) 3 )г ( ( )х) 4 ' лх(1+х)' 4. = — 2 Ух в! и х соз х. 5. 2 г' х у'х(1 — )г х)' (1 — !Кх) +Зх (1+ !$2 х) агссов х — агсз!и х 3 Ф~ хг (1 — !$ х) г 2 (1+ хв) (1 — агой х)' 1 агсв!и х )г ! — хг агсгдк (1 + х') (агс!д х)з 10. + , 11. 0,735, 1+ х (агссоз х)')г 1 — хз $4, стр. 186. 1.
3(х+цз. 2. 6(Зх+5). 3. 15хн(Зве бхз ц(хз Зхв цг 1 2х а 1 4. — + . 5. г в. 6. ал(ах+Ь)" — .а 1 хв(ат — Ы)+2х(ал — с!)+(Ьл — ст) )гх' — 1(х+)гх~ — 1) 2 Ьг(ахг+Ьх+с) (!хз+тх+л)з ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 9. — — (1 — х) (З. 10. в!п 2х. !1. 2х сов (к'). 5 в 3 в!и х сов х / 1 1 1 ! 12. 13. 2 ! х в(п —, — — соз — в) . г' ! -[- в! и' х !4, . 15. (2х+3)соз(х'+Зх+2). 2 (1 — хв) сов!( ) 1 — х Зх' 4'1 — (3+ ')' з!пх ! — 1 всюду, где в!их~0, 17.— ' Производная не существует )в!пх[ ( 1 всюду, где з!пх <О. при х= Ьп (А = О, ~1, д2, ...), Этот результат находится в согласии с тем фактом, что агсз!В(совх) есть периодическая функция с периодом 2п и н основном интервале [ — и, и) — + х, если — и < х < О, агсв!и (соз х) = Л [ 2 — — х, если 0<х<п.
18. Банная функция у=в!п(агссов г' 1 — х') определена при (х (~ 1; ('= ( У(:Э)[ ( — (( — ~( ( 2 И вЂ” Ф ('! — ' ! (. * О * (. При х= О производная не (х!)г! — х' [х[. ! — 1, если — 1 <х <О. .существует. Функция з!и (агссов )гТ вЂ” хз) = з!и (агсв!и ! х !) = [х[, ( — !~х~1). з 19. — [х з+х в). М. ~/ 5сов(х+7) [з!п(х+7)[ 21. — [агсв!и (д сов х+ Ь)]к )( 1 — (а соз х+ Ц' 22. 24зес'х — 20зес'х+весх.
23. сов х (совесв х — 6 совес4 х). 24. 24вес'х — 20вес'х+весх — совх. $5( стр. 196. 1. а) Максимум при х= — )г 2, минимум при х=)( 2, точка перегибах=О. б) Максимум при х=2!5, минимум при х= 0, точка перегиба х= — !('10. з) Максимум прн х=1, минимум при х — 1, точки перегиба х=О, х73. 4 г) Максимум прн х= [! 3, ыинимум прн х= — 'у' 3, точки перегиба х= О, 11 2) А.[(гбх)(33.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
