1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 125
Текст из файла (страница 125)
Но для рациональных чисел распределительный закон л-Ьсо справедлив; поэтому обе последовательности совпадают, и их пределы равны. 9. Общая формулировка критерия сходнмостн Коши. Вернемся к вопросу о критерии сходимости Коши, уже доказанному в и'7 для рацио- нальных последовательностей, Теперь, когда арифметические действия, в частности вычитание. уже установлены для действительных чисел, этот критерий сходимости можно уже сформулировать з общем виде для дейст- вительных чисел.
Последовательность аи ае, аг, '. сходится в том и молоко в том случае, если для всякого заданного числа е > 0 можно найти такой номер Дт=йг(г), что лри всех значениях т и л, одновре- менно лревосходящих этот номер ДГ, ! ал — ат [ < с. Доказательство совершенно такое же, как в и' 7, и нет надобности его повторять.
Большое теоретическое знзчение имеет следующее обстоятельство. В самой формулировке критерия сходимости Коши содержится средство оценки погрешности. В самом деле, когда последовательность задана н число дг(с) известно, то можно сразу утверждать, что предел последовательности лежит межДУ числами ал — з и ал + г пРи всЯком л > !с7(г), В этом отношении критерий Коши выгодно отличается от критерия сходи- мости монотонных последовательностей.
Последний доказывает существование предела, но не дает средств для его вычисления. Поэтому при доказательства)с сходимости, выполненных с помощью этого критерия, приближенное вычисление предела неизбежно требует специальных дополнительных рассуждений. СВОДКА ВАЖНЕЙШИХ ТЕОРЕМ И ФОРМУЛ 1. Гиперболические функции (стр. 643). 2. Сходимость последовательностей и рядов (стр, 643). 3. Дифференцирование (стр. 644).
4. Интегрирование (стр. 646). 5. Равномерная сходимость и изменение порядка предельных операций (стр. %2). 6. Пределы некоторых выражений (стр. 652). 7. Некоторые определенные интегралы (стр. 653). 8. Теоремы о среднем значении. Интерполяция (стр. 654).
О. Разложения в ряд Тейлора н в ряд Фурье (стр. 655). 10. Максимумы и минимумы (стр. %7). 11. Плоские кривые (стр. 657). 12, Длина дуги, площадь, объем (стр. 658). 1. Гиперболические функции (стр. 212 — 218) х -к ех е-х зЬх= — (ех — е «) Гих= — = 2 .
' сйх е«+е "' рх ! Е-х снх= — (ех+е х). срях= — = 2 гЛх ех — е х сЬ' х — зЬ' х = 1. 1 1 сЬгх = зйгх = 1 — !Ьзх сийг х — 1 ' сЬ(х х у]= сЬхсиу ~ зйхзЬу. вЬ(х ~ у) =зихсЬ у ~ сЬх.зЬу. сЬ 2х = сЬ« х+ зЬ' х. зЬ 2х = 2 зЬ х сЛ х. сЬ'х = — (сЛ2х+1). зЬ'х= — (си2х — 1). 1 1 2 2 агзЬх=!п)х+Ух«-(-1). агсЬх=!и )х+)'х' — 1), х,'>1.
Агси х ~ агсЬ х, агсЬ х = ! Агсй х !. 1 1+х 1 х+1 аг!Ьх= — 1п —, )х) <1. агсийх= — !и, )х) >1. 2 1 — х' 2 х — 1' 2. Сходиыость последовательностей и рядов А. Бесконечные числовые последовательности (стр. 56) Критерий сходимости Коши (стр.
58). Числовая последовательность а„ сходится в том и только в том случае, если для всякого числа е > 0 существует такой номер АГ, что )ае — а, )<з, коль скоро л > А' и и > К. СВОДКА ВАЖНЕЙШИХ ТЕОРЕМ И ФОРМУЛ Действия над пределами (стр. 61 — 62). Если существуют !пп ал н л +со 1нп Ьл, то и.+а» !!щ (ал ю л+аа !пп (ап Ьл) = 1нп ал 1пп Ь„; л.+а» «.+о» л +со ап ~ 1!т Ь„; и '+ а» 1пп ал л +аа 1!т Ьл л.+ со Ьп) = л +со ал !пп— л-+са Ьп если 1!т Ьл ть О.
л.+ со Б. Бесконечные ряды (стр. 427 н след.) Критерий гходимости Каши (стр. 428). Ряд ~я~', ал сходится в том и только в том случае, если для всякого положительного числа а существует такой номер № что ! оп+ ал т + ... + а„! < е, коль скоро т > и > № Обратить внимание1 Все следующие ниже признаки сходнмости достаточны, но не необходимы.
Принцип сравнения рядов (стр. 438). Ряд ~~к', ап абсолютно сходится, если существует такое число № что при всех значениях п>К!ил!лидо, а ряд ~Ч~',Ьп сходится абсолютно. Признаки сходимости Даламбера и Коши (стр. 439). Ряд ~я~', ал абсолютно сходится, если существуют такой номер К н такое число с) (0<а<1), что при всех п > К л — и+' ~<с) илн го!ил! <су. ал В частности, если существует такое число Ь < 1, что и 1!и ~ — "+' ~= Ь или Вт )с"!ал! = А, „ ь, ! ал л.пса то Рад ~я~~ ал сходитсЯ абсолютно. Ряд "~ ал расходится, если существует такое число Л > 1, что л !пп ~ — ль' ~ = Ь илн 1'нп г !ал! = Ь.
л+ ! ап и ьсо Признак гходимвсти Лейбница (стр. 431). Ряд ~',ал сходится, если знаки его членов чередуются и )ал! стремится монотонно к нулю. 3. Дифференцирование А. Общие правила. (Основные понятия стр. 114 и след.) (у(х) ~ я (х))'=у'(х) ~ Ас'(х). (у (х) я(хц'=у'(х) л (х)+у(х) й'(х). ( )'- ' У (х) с!' г' (х) й (х) — г (х) й' (х) (.к) л б (ст 1У 168) я (х) ) (я (хЦ' (У(-) й(хн'"'=У" (х) й(-)+(1) У' "(-) й'()+ + (2) у(л ! (х) й (х)+ ... +у'(х) й!п1(х) (правило Лейбница, стр.
229). СВОЙКА ВАЖНЕЙШИХ ТЕОРЕМ И ФОРМУЛ 645 Правило дифференцирования сложной функции (прааило цепочки): Если у(х) =я [ф(х)), то ар дя дО дх д~р ~ах дтУ дта 7 д Р 12 дн дто = — ~ — ! + — — и т. д, (стр. 181 и след., 229). дх дрт ~дх! д9 дхт Если и=у (5, 21, Е, ...), где 8= 5(х, у), т)= ц(х, у), ..., то и„=У(5 +Учцх+УБх+ 2 2 2 ~„,=уп$„+У~„ц„+у115„+ " + +21(чДет(с+2уц$л4е+ . + +У(5х +Учц +Уйт + "" и аналогичные формулы для и у и иуу (стр.
570). Неявные функции. Если Р(х, у) = О, иу рх дх Р де рв у (стр. 577). Обратные функции: дх = бх (стр. 174). Если ф=гр(х, у), т) =ф(х, у), то дх фу дх <~у д5 Р ' дт) Р 'ду фх ду Ох гт Р' дц Р' где д(5, т)) [ гул ру Р= д(х,у) ~ фе фу ~ = гухфу (гуг[гх (функциональный определитель или яхобиан) (стр. 573). Б. Производные от простейших функций (стр. 120 — 121, 168 — 170, 178 — 179, 197 и след., 214 — 216) (х") ' = пх" 1 (в(п х)' = сов х. (агсв!и х)' = у'Т вЂ” хт 1 (сов х)' = — в1п х. (агссов х)' = —— )' à — х' Функции, заданные в параметрическом виде. Еслц х=х(1), у=у(1), то ду ду дх = дх (стр. 306). дт сводил влдснппшнх тпозпм и еопмвл 1 ! — 1 — = вес'х. (асс!их)' = —, . сов х 1 +х' — — = — созес х. (агсс!и х) 1 г г ! зги' х [ «г' 1 сЬ х.
(агвЬ х)' = )г!+х' 1 вЬх. (агсЬ х)'=+ (х) 1). )г хг — 1 — = весЬг х. (аг!Ь х)' = — ( [х [ < 1). 1 1 — — = — совесЬг х. (агс!Ь х)' = — ( [х [ > 1). зЬг х 1 — х' 1 1 (!ода х)' = — !ода е = — . (ах)' = а" !и а. х в х!па' (1п [ х [)' = †. (е")' = е".
1 х' (!и х)' = (с!и х)' (вЬ х)' = (сЬ х)' = (гЬх)' = (с!Ь х)' = (й)'=ив( — +о'1п и). 4. Интегрирование А. 00щне правила. (Основные понятия, стр. 104 и след.) ~ у(х) йх+ ~ у(х) Нх= ~ р(х) йх. ~ р(х)Н«= — ~ р(х) ггх. а в а а ь ~ (7(х)+я(х)) дх [ Р(х) йх+ [ «(х)гтх. а а а сг(х)йх=с [ 7" (х) Нх (стр. 107 и след., 170). Оценка интегралов. Рслн У(х)~ я(х), Ь~а, то ь в ~ Е(х) йх,п [ в(х) й«.
(стр. 153). а а Метод замены переменной (метод подстановки) (стр. 237 — 242): [ 7 (х) Их ~ У [е (и)[ е' (и) йи. ь р [ 7 (х) дх ~ Р [у (и)[гр' (и) г(и, где а = гГ (и), Ь = Е ([)). Метод интегрирования проигведгния (интегрирования по частям): ) 7(х)я'(х) й«=7 (х) я(х) — [ 7'(х) в(х) йх (стр.
248) сводка влжнвпшик тновкм и еовмгл нли у (х) ч (х) дх = у (х) ф, (х) — ~ е" (х) ф, (х) дх, (стр. 250), где чь (х) есть одна из первообразнык для р(х). ь ь ~ у(х) б'(х) дх= у (х) б(х)~ — ~ у'(х) н(х) дх !в нли ь ь у(х)ф(х) дх= у(х)о, (х) [ — ) у'(х) е, (х) дх. в ~а а в Обобщенное правило интегрирования произведения (стр. 256); У(х) Р(х) дх = У(х) ф, (х) — У'(х) фь (х)+1' (х) фв(х) — + + ...
+( — 1)» У™(х) (рв+, (х) — ( — 1)" ~ У(в+!> (х) ~рв+~ (х) дх, где еь (х) есть нервообразная от еь, (х), и соответствующая формула для определенного интеграла (стр. 256). Связь между дифференцировайием и интегрированием (стр. 137 и след.): — ~ у (и) ди=р(х). Г дх .1 Формула Ньютона — Лейбница (стр.
144): ь ь / у(х) дх=Р(х) ~ =Р(Ь) — Р(а), где Р(х) — какая-либо первообразная'для у (х). Несобственные интегралы (стр. 285 — 295): Если у(х) всюду непрерывна, за исключением точки х= Ь, в которой ь оиа обращается в бесконечность, то ~ у (х) дх сходится (абсолютно), если в в окрестности точки х = Ь (у(х) !.к; где А < 1 (стр. 288). Если У(х) всюду непрерывна прн х~а, то ~ у (х) дх сходится (абсолютно), если при х~А !У(х) !.( —, М ха где А > 1 (стр. 290).
СВОДКА ВАЖНЕЙШИХ ТЕОРЕМ И ФОРМУЛ Б. Неопредеаенные ннтегралы от некоторык функций ! Во всех формулах з постоянную ннтегрнроеа х" е' х" гГХ= —. ~ 1пхсгх=х!Ех — х. и+1 ггх — = !и (х!. ~ — !их ~1х= — (!пх)в. Г 1 2 а» Г 1 а» сгх= —. ~ их=!п(!пх!. !па,~ х!пх ае! 1 хл!их г(х= а+1 1 а+1)' ! !Вх — — 1, аде — 1. в!и х г(х = — соз х. ~ вЬ х Дх = сЬ х. сов х г(х = в!п х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
