1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 132
Текст из файла (страница 132)
а) у = хе + х'+ 2хз+...; 6) у = 1 — хз — хз — 2хз —...; в) у = х'+х'+... $4, стр. 381 1. аа" '. 2. 1/6. 3. 1130. 4. 2. 5. 1. В. Переписать данное выражение в виде с!Ех сзябх. Отв, 115. 7. 1/2. 8. 1/3. 9. Найти предел логарифма этой функции. Отв. 1. 1О. е.
1!. 2. 12. — 2. В 5, стр. 385. 1. 2. 2. 4. 3. а=8!3, 5.=16,'3, с= — 5/3, А= — 513. 4. В точке (О, 0) третьего порядка и нулевого порядка; в точке (1/2, 1/2) нулевого порядка. 5. Третьего порядка в точке (0,0). 7. Поместить начало координат в точку Р, а ось х направить по касательной к кривой в точке Р.
Обозначим координаты точки () через (х, у). хз Тогда центр окружности К лежи~ на оси у в точке т! = — + —; применить 2 2у' результат упр. 6. 8. Оси координат выбрать, как в упр, 7; пусть угловой козффициент касательной к кривой в точке 0 есть у'. Тогда обе нормали пересекаются на оси у в точке т)=у+ —,. Теперь пишем у= — х'+... и совер- Х у" (О) у 2! шаеи предельный переход х -ь О. (1+ у")"з 9. В точке Р, где р= „имеет максимум или минимум, неяреу Ву' (у")з меана ум=, . Выбрать оси, как в упр. 7; тогда ут(0) = О, так что 1+у" ' 1 уравнение кривой в окрестности точки х=О будет у= — хз+ахз+... 2о 1 Уравнение соприкасающейся окружности будет у= — хз+Ьхз+..., и, 29 следовательно, касание не ниже третьего порядка.
1О. Минимум в точке х= О. Смешанные упражнения н главе т!1, стр. 400. 1, 2 т хз хз ы 157. хз — — х'.+ — хз+ ...; (я!их)з = ~х — — + — — хсзр) 3 45 3! 5! 1 2 хз — — хз+ — х'+ХИ', где Я и Л' остаются ограниченными при х-ьО. 3 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ х" х' х — — — + — — »% х' 2, ыпх 3! 5! 1 — т +» — — лЮ 2! 4! + — »1+х Т, где )1, 3, Т ограничены при х-эО. 2 15 159.
1 — — — —.— . 4 9о '''' ! 2! 4! )' сок х = ~! — — + — — х')! ) 1+ — ! — — + — — »%)- — ! — — + — — »%) +~ — — + 2 ! 2! 4! ) 8 ! 2! 4! ) ' ~ 2! х х х' + — — хл)!) 3 =1 — — — — +х'Т, где )1, 3, Т ограничены при х-лО. 4! ,) 4 96 хл хт 2»' хт х" хк 160. а) 1 — -- — — — — ...; 6) 1 — — + — — —.+...; 3 45 945 '" ' 12 ' 1440 Л 712 хт 5 61 хт х1 ) + 2+2,1»'+720»~+ '' г) + + +. 5 х' х' х' д) е + ех+ ех'+ --ех'+ ...; е) — —, — — — — +...
6 6 180 2835 1 х' 1 3 хк 1 3 5 хт 161. »+ — —; — +- — — — -+ — — -- ° —.+ ... 2 3 23,2! 5 2з,З! '7 — )Л.1ЛЛ вЂ” 25-(-Л) 2 1~~ 1)т 1 3 5 ... (2т — 1) х тет 2 4 6 ... 22 22 -(-1 ' т-о ( !) т У.~. у 1 т .2тч.1 -1 ( !)т 2те! т! 2т-)-1 ' .а ( (22-)-1)! 2ч+1' 0 т-е (2л)! хтл+ ~ ттЛ+ ~ х'л+' 2'л(л1)'(2л+1) ' л! (2л+1) ' (2л+1)! (2л+1) ' "'-ЯЧ вЂ” '" Р)'- 167. а) — е/2; б) 11е(24! в) 0; г) е !', д) 1. !69. а) Минил1ум при »=0; б) максимумы и минимумы в точках, 1 1 1 в которых !д — = —, по одной точке в каждом промежутке л( ( +2) 1 < х < ! л= х1, ~2, ...; максимумы и минимумы чередуютси.
~л — — ) л ГЛАВА Ч!1 $1, стр. 408. 1. а) 3,14; б) 3,1416. 2. 0,89. 3. 0,93. 689 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 6 2а стр. 414. 1. Ошибка < 0,03 метра; < 0,00775. 2, 0,693. 3. 1,609438. 4. 3,14159. $3, стр. 422. 1. 1,0755. 2. 4,4934. 3. 1,475, 4. 0; 1,90; — 1,90. 5. 1,045. 6. Привести уравнение к виду х 1+0,3х' — 0,1ха; 1,519. 7. — 1,2361! 3,2361' 5,0900. Смешанные упражнения к главе уП, стр. 425. 170, 5,88!а. 171. 11.
17ж 0,82247. 173. 0,175; 0,302; 3,490. 174. Так как график 1п(а+х) обращен выпуклостью вверх и а> О, то л а-1Ут !п(а+1)+ ... +!п(а+и)> ~ !п(а+х) их= 1уч =(и+ — +а) !п(и+ — +а) — (а+ — ) !п(а+ — ) — и или а-11ута-а (и+ — +а) а(а+1) ... (а.+и) > а, е "> й(а) и!и", 2 (а+ — ) где д(а) есть положительное число, зависящее от а. Палее, где )7 остается ограниченным при и-ьсо.
Следовательно, при достаточно больших значениях и имеем а„< а„„и последовательность монотонно убывает. 175. с+(и+ — ) !пи — ~ (па+ — )!пиь ГЛАВА УП1 6 1, стр. 437. 1 1 . 1 1. Воспользоваться тождеством А(5+1) = а А+! 1 а Разложить 1 2 на элементарные дроби, затем подставить последовательно х = 1, х = 2, ..., х = а н полученные равенства сложить. 4. Сходится при а > О. 5. Пусть ~и~~ ил=э. Тогда !з„— з~ < с, каково бы ни было положиуа 1 тельное число с, если и превышает некоторый номер и. Написать тождество з1+ ° ° + эуч ау+ ... +у Аа — иа $,+ ...
+3, АУ Аа Л' АУ вЂ” ш и совершить предельный переход Аг-ьсо, 6. Ла, сходится. 7. Расходится. 44 Р. Курант ОТВЕТЫ -11 ХКАЗАЫИЯ й 2, стр. 444. 14. Сравнить с интегралом 1 х!и з 16. Воспользоваться неравенством х(!и!и х)п Шварца зп+з п.1.1 ~)„— — 3 ~~~„— = ~~ —; далее 1 ч 1 1. 17. 1+ — — — + ...— 1 2 2 2 3 ''' 3л+3 ч пь2 воспользоваться формулой (стр. 444) 1+ — +' — + ...
+ — =!ил+С+с„, 1 .1 1 где Вш сп = О. 18. Взять сумму от ч =1 до чпп тп1 пгп !л! ма сп тп ч~лп ч лп ч=1 Л-1 ч л-1-1 ч 1 1. Сходится. л! 2 2. Лоназать сначала, что — „' < —., при л) 2. Ряд сходится. 3. Расходится. 4. Ср. гл. П(, 4 9, стр. 218. Расходится. 5. Учесть, что (1пп)!" п п!'!"", а!н!пп> 2 прв больших значениях л. Сходится. 6. Сходится. 7. 1Ял+ Цт. 1 ! 1 1 8. Погрешность равна +, 11+ + +( + + -+ ...) < (л+ц! 11 + и+1+ (и+цт+ ' ') (п+ц! 1 п ° п!' л+1 1 1 ! 9.
Погрешность равна + +" ° < (а+ Цп+1 (а+2)~~2 "' (л ! Цп-1 1 1 1 + ... < (Л -(- Цп+2 (П -(- Цп+З Л (Л -(- Ц" 1О. Погрешность равна — + + ... Но при л) 1 л+1 п+2 2лп1 2п >2 3 3 1312 и+ 2 < — (п + ц, п+ 3 < — (л + 2) < ~ — ) (а+ ц...
2 2 (2) а+13 3 (31 1 л+1 Следовательно, погрешность меньше — !11+ — +~ — ) +...) с 2п+1 ( 4 (4) ''') 2п-1 а'х 12. Сходится. !3. Сравнить с интегралом 2 х(!о х)п ' ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ $$3, 4, стр. 4Ж ( О, если х= О, 3. а) !нп уо(к)=~ о.+о ( 1, если хфО; ~ О, если к=О, б) !нн Л, (х) = ! о.+ 1 1, если хчьО (а> 0), Сходимость не РавномеРна, однако Цш ~ го(к) Лх — !" В о-осо л.осо — 1 -1 О, если !х! < 1, 4.
!ни Ло(к)оо 1/2, если !х)=1, 1, если !.х! > 1, го го 9. Рассмотреть 1!т )' 1 — хьо прн — 1 с х <+ 1 и 1йп ро1 — ут" о +со о.+со пра — 1 < у <+1. 10. Пусть а> 0: Разбить интервал точками х,=а, хо ..., Хм= б на частичные интервалы, длины которых меньше чем о/ЗМ. В каждой точке кг можно выбрать и; столь большим, что (У„(хс) — Ум(хс)! < е/3, когда л > лс Н ЛС > И1. !1уСтЬ /У вЂ” НаИбОЛЬШЕЕ ИЗ ЧйСЕЛ Л„ЛН ..„Им. ЗатЕМ дОКажем с помощью теоремы о среднем значении, что в каждом частичном интервале выполняется неравенство !уо(х) — ум(х)! <а, когда л и ги оба > /т'.
21. )~~ — ха. (!и а)" а-о 1 азха М хг гВя в а-г ( — 1)а 12га соз 2х; арй (2Й) ! х 1 х х' 22. 2 3 4 х" и+2 1 1 з!и'х = — —— 2 2 23. Привести к виду 24 1+ ч ( ) хга ~е( (24) ! А-1 Н 5, 6, стр. 470. Указание к упр. 1 — 20. В большинстве зтнх примеров приводит к успеку признак Даламбера, но в упр. 12 — 15 более уместен признак Коши с радикалом. 1. !х!с1. 2.
!х!с1. 3. !х!<1. 4. )х!<1. 5. )х!с1. 6. — со<х<+оэ. 7. !х!<1. 3. !х)<1. 9. !'х)<1, 10. !х! <1. 11. !х(<1, !2. (х! <1/с. 13. !х! <1. 14. (х! <1. 15. — со < х < + сю. 16. ! х ! < 4. 17. ! х ! < 1, 18. ! х ! с 1, если с < 1; !х!<с, если с>1. 1 1 1 19. )х! с 1. 2~).
Заметим, что — < —, с —: (х! < 1. лг, 1 и' ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ вЂ” 1а 12хза 25. чьч ( ) ( «) (15+Зал — б ° 2тв). 32 (2д) ! л 3 хв 1 3 х" в '~ч (хв)за-1 1.3 (2д 3) '+2 3+2 4 5 '+" ° — +2'р( 2а 1 2 4 (2л 2). «-з 1,4142. 1 1 1 б 3 3!+5 ° 5! 7 ° 7!+ " 2+320+3 2в+" 1 1 1 1 -+ — — — + — — +" ' 3' 4' 5' 1 1 2в — 1 2в — 1 Г) п..
10 10' 24 ° 10' х' 1!хв 29, а) х+хв+ —; б) хв — хв+ —; 3 ' 12 хв 13х' 19х' х' в) х+ — + —.+ —; г) х' — —. 2 24 48 3 ' 3!. ! х ! < р. 32. / (х) = 4е« вЂ” х — 1. Дополнения к главе ЧШ, стр. 492. 1. Оборвать ряд ва и-м члене; тогда — х+ — хв+ —.-'.— «в+... + ' "' хл <1 )21 — к <1 1 1 1 3 1 3...(2а — 3) 2 24 246 '" 24...2п Положить х=1; все частичные суммы не превосходят единицы. 2.
Воспользоваться утверждевием упр. 1. Показать, что ошибка будет наибольшей при х= 1 и что ее можно сделать меньшей чем а. р. и ~ - ри - уТ вЂ” рр — рр р - р — ' р р. р. 6. Если бы простых чисел было только конечное число, то вто тождество было бы верно при любою положительном з, в частности и при з = 1. (Увпрожение абсолютно сходящихся рядов.) 7. Сперва доказать методом математической индукции, что в-1 (' — ) П(1+"') =' — "" а-о Смешанные упражнения и главе ЧШр стр. 493.
178. Если !пи а„<1, то общий член ряда не стремится к нулю. Если %ч 1 а„> с > 1, то ряд надо сравнить с рядом у —. выа с" 179. При любом с сумма ~Ч~~ аа<е, коль скорол и ш достаточно велики. а-и Но чр', аа>(т — и) а„, или та,„< с+па,„. Сохраняя и неизменным, выберем и а л настолько большим, что паю < а; для всякого такого ш будет ша, < 2е. 180. Применить теорему упр. 179. ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 181, Обозначим чеРез з„частичные сУммы Рлда ~~ аа, чеРез з — его а=1 сумму, и пусть ил=за — з. Тогда ;~~ ~а„Ьа = и ', (аа — Оа,) Ьа = ',1' Оа(Ь» — Ь„+,) — Ол 1Ьл+О Ь Ьи При всяком достаточно большом Ь )о„! <а и ~~ ааьа ~ < с ~~~~1 ! Ьа — Ьа+, ! + с ! ьл ! + ! Ь +, ! < «-л 1 л-л <е!Ь вЂ” Ь -» !+а)Ь !+а!Ь ь1!- Это, в свою очередь, меньше чем 4Вз, где В есть верхняя граница ! Ьа(; стало быть, РЯд Чч ааа„ сходитсЯ.
а-1 182. Доказательство ведется, как в упр. 181: ~~~~~ алЬл = Чз (за — зл ,) Ьь = лл!' за (Ьь — Ьа+,) — зл ,Ьл + з Ь е,,' л л л л а л далее использовать монотонность последовательности Ьл, тот факт, что Ьл -э 9 и что ! зл! < М при всех значениях Ь. 183. а), б), г), е) Сходится; в) сходится, если 9~2ии; д) сходится, если йф(2и+1) и. 184. а) — 1п2; б) =1п2.
185. а) а=1; б) а> 1. 1 2 186. а) Расходится; б) сходится. 1 188. Если !ал! < — прн всех достаточно больших и, то И1ее 1 1 !ив 1п — > (1-!-е)1пи или " > 1+а. (о ! ! а„! !пи 1 !и Доказать обратное предложение: из неравенства " > 1+а вытекает!пи 1 )ал! < —. Аналогично доказывается второе утверждение. !89. Применить теорему из упр. 188. 190. Метод доказательства такой же, как в упр. 188.
191. Признак Коши с корнем и-й степени можно записать так: если 1п 1 !и — Г 1 — > с, то ряд сходится: если < — е, то ряд расходится. Нш ! ол ! !!олг и и 1 1 !о ! !пи !пи и ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ !92, Если ~ — ~ < — при всяком п,АЙАГ, то оп+1 ! Ьп-ч ап ! Ьп ~ оп+1 ! < — ~ пп! < — — ~ оп-11 < ° ° ° < — Ьп1~,' Ьп следовательно, из сходимости ряда ~Ч'„Ьа вытекает сходимость ряда ~З~ !аа!. Аналогично доказывается случай расходимости. 194. Применить признак сходимости упр. 192, взяв для сравнения ряд Х 1 —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
