1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 136
Текст из файла (страница 136)
Упраж пени» (4!>. $4. Функции целочисленной переменной. Числовые последовательности. Полная индукцня 1. Определение н првмеры (42). 2. Принцип полной индукции «43). 3. Пример: сумма первых л квадратов (45). Упражнения (46>. $8. Понятие предела последовательности чисел. Примеры . 1.
а„=>>л Мб), 2. а =1?ж; а ! — — 1>2гк (47), 3. а„.=лйп-!!) (М). 4. па= и = ( р (48), б. а„=п (50). б. Геометрическая иллмстрацнп пределов и и л л л л Ур (61>. 7. Геометрическая прогрессы» (52), 8. ад=) л (53). 9. оп= =Ул«1 — ) л (54). 10. ал=п?а" (54). Упражнения (55). В б. Более точное рассмотрение понятия предела !. Первое определение скадимости (56).
2. Второе (внутреннее) определение сходимостн (57). 3. Моно~овине послелавателькости (60>. 4. действия иад пределами (бц. 5. Число е (62). 6. доказательство иррациональности числа е (64). 7. Числа п как предел (64). 3. Арифметически-геометрическое среднее (65). 9. Мотивировка точного определения нрелела(бб). Упражнения (67). и 7. Понятие предела функции непрерывной переменной 1. Определение н примеры (63), Упражнения [71). 2.
Мотивировка определенна прелела функции непрерывной переменной (7!). ОГЛАВЛЕНИЕ 8 8. Понятие непрерывности 1. Определенна (73). 2. точкн разрыва (755 3. Теоремы о непрерывнмк функцнях (78). Упражнепнк (78). !10 и олнеиие 1 к главе ! 73 79 79 80 Предварительные замечания . й 1. Принцип точки сгущения н его приложения 1. Прппцнп тачка сгупгеппя (60). 2. Прелелы чнсдовых последовательностей (81). 3.
Показательство крнтерня сходпмостн Кошм (84). 4. существование предела у огранвченной монотонной последозательностн (84). 5. Верхняя н нижняя точка сгущения, точпав верхняа н точная нпжна» травяна числового множества (85). й 2. Теоремы о непрерывных функциях 1. Наибольшее и панменьшее зяаченнн непрерывных фуккцнй (86). 2. Равномерность непрермвнастп (87). 3. Теорема о промежуточном значения (89Ь 4. Обра шенне непрерывной монотонной функцпн (90).
к дальпейшне теоремы о ненре. рывных фупкцпах (91). 6 3. Некоторые замечания об влементарных функциях . Упражнення (93). Дополнение П к главе ! 8 1. Полярные координаты й 2. Некоторые замечания о комплексных числах . Упражнення (97) Смешанные упражнения к главе ! 86 91 114 6 3. Простейшие методы графического интегрирования Упражнепня (! 49). Г л а в а П. Основные понятия интегрального н дифферемциального исчисления ' 102 й 1. Определенный интеграл 102 !.
Интеграл как плошадь (103). 2. Аналитическое определение нптеграла (10О. 3. Дополнены», обозпаченпя н основные свойства определенного пнтеграла (106). й 2. Примеры. 108 1. Иптегрпровавне линейной функцнн (108). 2. Интегрнрованне функцнн лз (109). 3. Интегрпрованне л" прп лабом целом ооложнтельпом зваченпн а (1!05 4. Интегрнровапне лц прп провзвольном рациональном значеннн цта — 1 (П1).
5. Интегрпроаанне функций з!ил н сов х (Н2). Упражнения (113). 6 3. Производная . 1. Пронзводная н касательная к «рнвой (Н4). 2. пронзводная как скорость (И9). 8. Примеры (120). 4. Некоторые осповпме праввла днфференцнровапна (122). Упра жненнн (122). 5. Днфферепцпруемость н непрерывность функций (122).
6. Пранзводнме высшнх порядков и нх значенпе (124). Упражневпя (126). 7. Прокзводпые н отношепня прнршпенпа; обозначеннн Лейбвпна (123), 8. Теорема Ролла (178). 9. Теорема о среднем значении (129). Ю. Прнблвжевное представлеппе любой лкфферснцпруемой функцнн с памощьш лкнейноа. Лнфференцнал (1з2). 11, днффеРеянналы высшпх порядков (133), 12.
Замечанпа относнтельяо прнмененнп нашнх покатый в естествознапнн (134)с УпРажнспнн (135). й 4. Неопределенный интеграл, первообразная функция и основные теоремы дифференциального и интегрального исчисления...... 136 1. Опрелелепный интеграл как функцня верхнего предела (136). 2. Прон*водная неопределенного внтеграла (137! 3.
Первообразная функцкя; общее опрелелепне неопределенного интеграла (140). 4, Прннененпе первообразйой функцнн к вычпсленнш определенных пнтегралов (143. 5. примеры (и5), Упражнепня (146). ОГЛАВЛГНИЕ 1. Теорема а среднем значении в интегральном «счислении (153). 2. Непрерывнае зависимость опрелелеинога интеграла от подынтегральной функции (155). 3. Приложение. Интегрирование н дифференцирование функции лп прн любом иррациональном значении ц (157). Упражнения (153). Дополнение к главе П 159 $1.
Доказательство существования определенного иитегрзла от непрерывной функции 159 $2. Связь между теоремами о среднем значении дифференциального и интегрального исчисления 161 Упражнение (163). Смешанные упражнения к главе П............. 163 Глава П1. Дифференцирование и интегрирование влемеитарныи функций 166 $1. Простейшие правила дифференцирования и их применение.... 166 1. Правила днфференцированив (166).
2. Днффереицнроваане рациональных функ цнй (168). 3. Дифференцированно тригонометрических функций (шб). $2, Соответствующие формулы интегрирования ........... 170 1. Общие правила интегрировании (170). 2. Интегрирование простейшик функций (171). Упражнениа (172) $ 3. Обратная функция и ее производная .. .. .. ... ... . .. 173 1. Общая формула диффереинирозання (173). 2. Обратная функция от степенной функции (176).
ц Обратные тригонометрические функци» (177). * Соответстзу юшне формулы ннтегрированмя (179). Упражнении (181). $4. 71ифференцирование сложной функции.......,...... 181 1. Правило дифференцирования сложной фуннции-правило цепочки (18!), д Примеры (183). 3. Дифференциал сложной функции. Инварвдптность дифференциала ((Щ). 4, Вще раз об интегрировании и дифференцировании лц при аррапионвчьиом значении и (!85). Упражненна (186).
$5, Максимумы и минимумы. 1. Геометрическое значение второй производной. Выпуклость н вогнутостькрнвой (187). 2. Максимумы и минимумы (!89). 3. Пример» максимумов н минимумов (192). Упражнения (196). $6. Логарифмическая н показательная функции ........... 197 1. Опрелслеине логарзфчическай функции. формула дифференцирования (197). 2. Теорема сложения (199). 3. Монотонность логарифмической функции. Совокуп. ность ее значений (200). 4. Обрзтнаа функция ат логарифма (показатеяьиап функция) (201). 5.
Общая показательнаа функция а и общая степенная функция л» (2)3). б. Представление показательной и логарифмической функций в виде пределов (ИМ). 7. Заключительные замечаии» (Ии). Упражнение(208). $7. Некоторые приложения показательной функции ......... 2()7 1. Дифференциальное уравнение, карактеризуюшее показательную функцию (2)7). 2. Непрерывмое начисление процентов. Рааноактненый распад (З)85 3. Охлаждение или нагреваиние тела в окружающей среде (ию). 4. зависимость атмосферного давленая от высоты иад поверхностью земли (210). 5. Ход химических реакций (2Н).
б. Замынанве и размыкание электрического тока (2Н), Уцрвжиенна (212). $8. Гиперболические функции 212 1. Аналитическое определение (212). 2. Теоремы сложения и формулы дифференцирования (214) 3. Обратные гиперболические функции (215). 4. Дальнейшие аналогии (2!6).
Упражнении (213). 187 $6. дальнейшие замечания о князи между интегралом и производной .. 149 1. Распределение массы н плотность; общее количество и удельное «оличество (149). 2. Точка зрения приложений (!51). $7. Оценка интегралов и теорема о среднем значении интегрального исчисления . 153 ОГЛАВЛЕНИЕ $9. Порядок ростз и порядок малости функций 1. Понятие о повадке Роста. ПРостейшие слУчаи (2!3Л 2 Парялок роста показа. тельной и логауифмнческой фУнкций (2!9). 3.
Общие замечанив (22!), 4 П ря. док роста функции в окрестности провзвоаьиой точки (22!). 5, Порядок иадост„ функции (222). Упражнении (223). Донолнения к главе ГП .. 8 1. Рассмотрение некоторых конкретных функций 1, Фуикци» у=с !7» (223). 2. Функция у=с Их (224).
3. Функция у= 1 1 . 1 = ш — (224). 4, Функция у х ш — (225), 5. Функция у=х а!п —. у (О) 0 (228). .с х х' 8 2. Замечания относительно дифференцируемости функций . 8 3. Различные частные вопросы 1 доказательства бинома Ньютона (2Ы). 2. Последовательное дифференцирование. Правило Лейбница (223). 3. Дальнейшие примеры применения правила цепочки. Обобщенная теорема о среднем значении (229). Упражнения (230). Смешанные упражнения к главе 1!! 218 223 223 225 228 230 275 Г л а в а 1Ч. Дальнейшее построение интегрального исчисления 234 й 1. Таблица злементарных интегралов 235 8 2. Метод замены переменной (метод подстановки)........, 23? 1, Формула замены неремеяной (237).
2. Другое показательство фориулы преобра. зов»ни» переменной (240). 3. Примеры. Формулы интегрирования (242). 8 3. Дальнейшие примеры интегрирования методом замены переменной 243 Упражнения (247). 8 4. Интегрирование произведения (интегрироваиие по частям) , . . . 248 1. Общие соображения (248). 2. Другая запись 4юрмулы интегрирования произведения (250).
3. Примеры (362). Упражнения (2ат), 4. Сзоеобразный случай нитегрировапи» произведения (Юз). Упражнении (25о). 5. Обобщенная формула интегряпованн» произведения (интегрирования по частям) (255), Унражне. нпя (260). 8, Рекуррентные формулы (261). 7. Формула Валлнса (263). З. Преобразование повторного (л-кратного) интеграла к виду обыкновенного (одмократного) интеграла (2эз). Упражнении (2(Л). 8 5. Интегрирование рациональных функций............. 25? 1. Основные типы (267). 2.
Интегрирование основных типов (Ый). 3. Разложеиие дробной раииональиой функции на элементарные дроби (270). 4. Пример. Химические бнмолекуларные реакции (272). 5. Дальнейшие примеры разложения на простые дроби (метов иеопоеделениык коэффициентов) (273). упражнения (275). б б. Интегрирование некоторых других классов функций 1. Предварительные замечания о рациональном представлении тригопометриче.
скик и гнперболнческик функций (275). 2. Интегрирование рациональной функции от сов л' и амх (277). 3. интегрирование рациональной функции от сих и »Ь х (278). 4. Интегрирование рациональной функции от х и У(ле (278), 5. Интегрирование Л (х, Ухэ — 1) (278). б, Интегрирование Л (х, Ух'-~1) (278).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
