1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 98
Текст из файла (страница 98)
ь с1. Дифференцирование свертки. Свертка функций является интегралом, зависящим от параметра, и ее дифференцирование проводится в соответствии с общими законами дифференцирования таких интегралов, разумеется, при выполнении соответствующих условий. Условия, при которых свертка (2) функций и и о непрерывно дифференцируема, заведомо выполнены, если, например, и — непрерывная, а о — гладкая функция и одна из функций и, о — финитна. ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА ~ Действительно, если ограничить изменение параметра любым конечным промежутком, то при указанных условиях весь интеграл (2) сведется к интегралу по некоторому, не зависящему от х, конечному отрезку.
А такой интеграл уже можно дифференцировать по параметру в соответствии с классическим правилом Лейбница. ~ Вообще справедливо следующее о'тверждение 4. Если и — локально интегрируемая функция, а и — финитная функция класса Сб (О < т < +оо), то (и*у) й С~ причем П й" (и» и) = и» (11"и). (5) < Когда и †непрерывн функция, утверждение непосредственно следует из только что доказанного выше.
В общем виде оно получается, если еще принять во внимание наблюдение, сделанное в задаче 6 5 1. > Замечание 1. Ввиду коммутативности свертки (формула (3)) утверждение 4, разумеется, останется в силе, если в нем поменять местами и и и, сохранив, однако, левую часть равенства (5). Формула (5) показывает, что свертка коммутирует с оператором дифференцирования, подобно тому как она коммутирует с оператором сдвига (формула (4)). Но если формула (4) симметрична по и и и, то в правой части формулы (5) и и и, вообще говоря, нельзя поменять местами, поскольку функция и может просто не иметь соответствующей производной. То, что свертка и * и, как видно из (5), при этом все же может оказаться дифференцируемой функцией, наводит на мысль, что приведенные в утверждении 4 условия являются достаточными, но не необходимыми для дифференцируемости свертки.
Пример 1. Пусть у — локально интегрируемая функция, а д «ступенька», изображенная на рис. 100. Тогда .~-00 х 1 (1 * бо)(х) = ~(у)д„(х — у) «1у = — / 1(у)»1у, (6) х — а и, следовательно, если функция 1 непрерывна в точках х и х — с«, свертка )'*б уже оказывается дифференцируемой в х — усредняющее действие интеграла. ВЗдесь Р— оператор дифференцирования и, как обычно, Р" е = е1Ю. 14. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ 535 Условия дифференцируемости свертки, сформулированные в утверждении 4, являются, однако, вполне достаточными практически для всех встречающихся случаев применения формулы (5). По этой причине мы не будем здесь заниматься дальнейшим их уточнением, а предпочтем продемонстрировать некоторые новые красивые возможности, которые открываются благодаря обнаруженному сглаживающему действию свертки. 3. Дельтаобразные семейства функций н аппрокснмационная теорема Вейерштрасса.
Заметим, что интеграл в соотношении (6) дает среднее значение функции 7" на промежутке (х — е»,х), поэтому, если 1 непрерывна в точке х, то, очевидно, (7' * б )(х) » ~(х) при е» вЂ” » О. Последнее соотношение, следуя наводящим соображениям п. 1, относящимся к представлению о б-функции, хотелось бы записать в виде предельного равенства (7" * б)(х) = 7" (х), если 7" непрерывна в х. (7) Это равенство показывает, что б-функцию можно трактовать как единичный (нейтральный) элемент по отношению к операции свертки. Равенство (7) можно считать вполне осмысленным, если будет показано, что любое семейство функций, сходящихся к б-функции, обладает тем же свойством, что и рассмотренное в (6) специальное семейство б„. Перейдем к точным формулировкам и введем следующее полезное Определение 4.
Семейство (Ь,„; е» Е А) функций Ь: В -+ М, зависящих от параметра е» Е А, называют б-образным или аиироксиматиоиой единицей при базе В в А, если выполнены следующие три условия: а) все функции семейства неотрицательны (Ь (х) > О); Ь) для' любой функции Ь,„семейства ) Ь„(х) дх = 1; Ж с) для любой окрестности с7 точки 0 е В 1пп ) Ь (х) дх = 1. н Последнее условие с учетом первых двух, очевидно, равносильно тому, что 1пп ) Ь,„(х) дх = О. Рассмотренное в п.
1 и примере 1 исходное семейство»ступенек» б, конечно, является б-образным при е» вЂ” » О. Приведем другие примеры б-образных семейств функций. ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 536 Пример 2. Пусть ~р: К вЂ” ~ К вЂ” произвольная неотрицательная интегрируемая на К финитная функция такая, что ( 1О(х) Нх = 1.
При Ж а > 0 построим функции Ь (х):= 1у Я). Семейство этих функций при а -~ +О, очевидно, является аппроксимативной единицей (см. рис. 101). Пример 3. Рассмотрим последовательность функций (1 ~2 при (х~ < 1, ~ (х) = 0 при )х) > 1. Для того, чтобы установить О-образность этой последовательности, надо лишь проверить, что кроме условий а), Ь) для нее при базе п — ~ оо выполнено и условие с) определения 4. Но ведь при любом е Е )О, Ц 0 < (1 — х2)" дх < (1 — сз)" с(х = = (1 — е~)" (1 — е) — ~ О, когда и -+ оо.
Вместе с тем 1 1 Г 1 (1 — х')" дх > (1 — х)" дх = п+1 О О Значит, условие с) действительно выполнено. Пример 4. Пусть л/2 соя2" (х)/ ) соя2" х сЬ при ~х~ < я/2, Ь„(х) = — г/2 0 при (х! > я/2. Как и в примере 3, здесь остается проверить лишь условие с). Заметим сначала, что 2 Л. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ 537 С другой стороны, при е Е ]О, я/2[ в/2 в/2 сов "хах < сов осах < — (сове) ".
2 и | ~ ~ 2 и ~ К 2 и 2 Сопоставляя полученные неравенства, заключаем, что, каково бы ни было число е Е ]О, к/2], т/2 откуда и следует, что условие с) определения 4 выполнено. Определение 5. Будем говорить, что функция 7": С -+ С равномерно непрерывна на множестве Е с С, если для любого е > 0 можно указать число р > 0 такое, что при любом х Е Е и любом у е С из р-окрестности П (х) точки х в С выполнено соотношение ]7(х) — 7" (У)] < е. В частности, если Е = С, мы возвращаемся к определению функции, равномерно непрерывной на всей своей области определения. Теперь докажем следующее основное Утверждение 5.
Пусть ~: ж -+ С вЂ” ограниченная функция, а ~Ь~; а е А) — б-образное семейство функций при о — > ю. Если при любом а Е А свертка 7" л Ь„существует и функция 7" равномерно непрерывна на множестве Е с К, то (7' * Ь )(х) з у(х) на Е при а — ~ ы. Итак, утверждается, что семейство функций 7'*Ь равномерно сходится к функции | на множестве Е ее равномерной непрерывности. В частности, если Е состоит только из одной точки х, условие равномерной непрерывности 7' на Е сводится к условию непрерывности функции 7" в точке х, и мы получаем, что (у *Ь )(х) — ~ 7'(х) при о -+ ы. Это и послужило нам в свое время поводом для записи соотношения (7).
Докажем утверждение 5. < Пусть ] |(х) ~ < М на К. По числу е > 0 подберем в соответствии с определением 5 число р > 0 и обозначим через П(0) р-окрестность нуля в К. ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 538 Учитывая симметричность свертки, получаем следующие оценки, справедливые одновременно для всех точек х Е Е: ~(У* (1 Н ) — У(х)(= 1(х -у)~5 (у)ду — Пх) (1(х — у) — 1(х))Ьо(у) ду < ~У(х — у) — 1(х)~~5.(у) ду+ (у(х — у) — У(х)~1)а(у) ду < и(0) и) п(0) < е 1-~а(у) ду + 2М 1~а(у) е(У < е+ 2М 11а(У) ду' и1 и(0) Н(о'(О) и(0) При а -ь ю последний интеграл стремится к нулю, значит, начиная с какого-то момента, при всех х Е Е будет выполнено неравенство ~(у * Ь )(х) — у(х)~ < 2е, что и завершает доказательство утверждения 5.
> Следствие 1. Любую финитную непрерывную на К функиию можно равномерно аппроксимировать финитными бесконечно дифференцируемыми функциями. М Проверим, что в указанном смысле Со всюду плотно в Св. ( ) Пусть, например, 1 Й ехр ( — -„- — т) при )х! < 1, О при (х)>1, где коэффициент к выбран так, что ) (о(х) дх = 1. Ж Функция у финитна и бесконечно дифференцируема. В таком случае семейство бесконечно дифференцируемых функций Ь„= — у ( — ), 1 х как отмечалось в примере 2, является 6-образным при о — + +О.
Если у Е Св, то ясно, что и 1 * Ь Е Св. Кроме того, по утверждению 4 1 в Ь„б Со . Наконец, из утверждения 5 вытекает, что 1 в Ь~:~ 1 ( ) на%прка — ~+О. ь 14. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ 539 Замечание 2. Если рассматриваемая функция 1 Е Св принадлежит классУ Со, то, каково бы ни было значение и Е 10,1,...,т), (т) можно гарантировать, что (1 * 15 )00 ~ 1')") на Н при а — 1 +О. М действительно, в этом случае (у * 2.'1 )00 = у)") * 1л (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
