1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 95
Текст из файла (страница 95)
) и е "ди при у > О. Таким образом, в этом случае выполнены условия а) и с) утверждения 8. То что для рассматриваемого интеграла г 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩ ИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 509 выполнены оба условия Ь), было пр р о п ове ено в примере 3. Значит, в силу утверждения 8, имеет место равенство -~-сю -~-ос Г -~-сс -~-ас а а+11+1 — (1+с)у д у Г .+Ом -(н*ъд Гдх х у е у.
ду/ху е О О О О Подобно тому, как из утверждения 7 вытекал д о еле ствие 3, из утверждения 8 можно вывести Следствие 4. Если а) функция 7[х,у) непрерывна на множестве Р=([х,у)ЕК ~а<х<а1Ас<у<а1), Ь) неотрицательна на Р, с) оба интеграла Р[у) = ~[х,у) дх, Ф[х) = ~[х,у) ду а с ам са1 со- являются непрерывными фун функциями на промежутках [, [, (, [ ответственно и т хотя бы один из повторных интегралов 4) существует хо ю м Г ду,1 [х, у) дх, дх ('[х, у) ду, а с с то существует и другой повторный инт р, р тег ал и ичем их значения совпадают. 3 из словий Расс ж ая, как и пр ри доказательстве следствия , у чаем что в рассматриваемом а) Ь) с) на основе теоремы Дини заключаем, чт ам ),с на ) тве ж ения 8.
Поскольку 7" > О, наше случае выполнено условие Ь) утвержде и ве ж ения 8. Таким образом, словие й) совпадает с условием с) утв р д условие ены и значит, имеет место равенст- все условия утверждения 8 выполнены во [15). (~ 3. Как казываяось в замечании 2, инт р ЕГ ОЛ ИМЕЮ- Замечание . ак ук в ия свой особенности на о оих к н й б о цах промежутка интегрирования, ший кото ых имеет по однои дится к сумм е двух интегралов, каждый из р ГЛ.
ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 510 Пример 17, Используя изменения порядка двух несобственных интегрирований, покажем, что -~.СΠà — ха е * с1х = — 1/я. 2 о (17) Это известный интеерал Эйлера-Пуассона. ~ Заметим сначала,что при у ) 0 и2 Г 2 ,7:= е " ди = у / е ~*") Йх о о и что значение интеграоа в равенстве (17) не изменится от того, понимать ли интеграл взятым по полуинтервалу [О, +оо[ или по интервалу ]О, +со[. Таким образом, Г уе " ду / е ~*") Йх = / е " ду / е " ди =,7, о о о о при этом считаем, что интегрирование по у ведется в пределах интервала ]О, +со[. Как мы проверим, в указанном повторном интеграле допустимо изменение порядка интегрирований по переменным х и у, поэтому ,7 = дх уе ~"*)" ду=— о о откуда и следует равенство (17).
Обоснуем теперь законность изменения порядка интегрирований. особенности. Это позволяет применять доказанные здесь утверждения и их следствия также к интегралам по интервалам ]ы1,ыз[С К. При этом, естественно, те условия, которые раньше выполнялись на отрезках [а,6] С [а,ш[, теперь должны быть выполнены на отрезках [а, 6] С ]ш1, юз [. 12. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 511 Функция +оп уе ( +* )" ду = —— г г 1 1 21)х2 О непрерывна при х > О, а функция -(~-г*')л' лх;л', т уе О непрерывна при у > О.
Учитывая сделанное выше общее замечание 3, на основе следствия 4 заключаем теперь, что проведенное изменение порядка интегрирований действительно законно. )ь Задачи и упражнения 1. Пусть а = ао < а1 « ... а„« ... ы. Представим интеграл (1) в виде оо аа суммы ряда 2 1о„(у), где гл„(у) = 1 2'(х, у) г(х. Докажите, что интеграл (1) а=1 аа — 1 сходится равномерно на множестве Е С У тогда и только тогда, когда любой последовательности (а„) Указанного вида отвечает РЯд 2 ггг„(У), сходвщийсЯ а=1 равномерно на множестве Е. 2.
а) В соответствии с замечанием 1 проведите все построения п. 1 в случае комплекснозначной подынтегральной функции 2. Ъ) Проверьте высказанные в замечании 2 утверждения. 1 3. Проверьте, что функция,7о(х) = — 2 — '~~-'-*: — г11 удовлетворяет уравнению Бесселя у" + -у' + у = О. +по Л рг1 г 4. а) Исходя из равенства ) — " — = 2-, покажите, что 2 о г „„г л о (* +л) рг )гп — 3)П 1 7 гл — 2!! 2а — Т' а' л 12л — ЗП! гр)пр р„,, 1, р о (1+(лг,1 )) с) Покажите, что (1+ (у~/и)) "„е " на Н при и -+ +оо и что 1пп е ду.
3 (1+ (у'lп))" / о о в2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИ О Е Т ПАРАМЕТРА 513 вычислите последний интеграл. 9. а) Докажите, что при й > О -~-оо Еоо -~-00 +СО Г Г -~' Г' е-ы в1п1сЦ / е О Ии = Ии / -(ь-~-о р ° ц япв о о о о Ъ) Покажите, что предыдущее равенство остаетс тся в силе и при значении й = О. с) Используя интеграл Эйлера — Пуассона (17), проверьте, что — — е '" О1и. Л Гй~ о д) Используя последнее равенство и соотношения полУчите значение ~2)Г 2з интегРал Р алов Ф енеля -~-СО .~-ОС в1пх ОХх, / совх дх.
о о 10. а) Используя равенство ЕОО ЕОО .~-Со — =! !' япх à — Нх = ~ в1пхдх е у е *"Н о о о и о снов бо ав возможность изменения порядка р р интег и ований в повторном а дени вла и ихинтеграле, получите вновь найденн а" денное в примере 13 значение интегр Д р ле (13). Ь) Покажите, что при а > О и Д > О -~-СО ( -', если Д(а, янах совфхдх = —, если с, =а, х О, если Д>а. о асто называют разрывным множителем Дирихле. Этот интеграл час -~-оо .~-СО 1 Г яппи вшх с(х = — ~ — ~Й, 2/ ~Д о о ЕОО +со 1 Г сов1 совх дх = — / — <Й, 2! ~Д о о ГЛ. ХЧП.
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 514 с) Считая о > О, )д > О, проверьте равенство .(-Ос явах яп)Ь вЂ” )3, если Д < а, х 1 за, если а ((3. а с1) Докажите что если числа о, аы..., а„положится ительны и а > 7' о„то (=1 .(-сс япахяпа~х япа„х я о! о2 . ° ° оп ° х х х 2 о 11. Рассмотрим интеграл Ус(у) = / 1(х,у)д(х)с1х, где д --локально интегрируемая на промежутке [а, ы[ функция (значит, при любом Ь 6 [а, ы[ д[(, с) 6 %[а, Ь]). Пусть функция 1 удовлетворяет порознь условиям а) утверждений ) " 5-8. Если в остальных условиях этих утверждений под знаком интеграла 1(х, у) заменить на 1(х, у) д(х), то получатся условия, при которых можно, используя задачу 6 из 5 1 и дословно повторяя доказательства утверждений 5-8, заключить соответственно,что а) ус 6 С[с,с([.
Ъ) У 6 СО)[с,(4), причем У'(у) = 1 — (х, у)д(х) а(х. Т д1' / ау а с) У В се[с,(4[, причем л а с(с)сс=1' 1'у(*,с)и(*)сс) с*. с а с 6) У несобственно интегрируема на [с, а)[, причем (с)сс =~ ~С(*, )с(*)сс) с а с Проверьте это. 13. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 515 'З 3. Эйлеровы интегралы В этом и следующем параграфах будет продемонстрировано приложение развитой выше теории к некоторым важным для анализа конкретным интегралам, зависящим от параметра. Эйлеровыми интегралами первого и второго рода соответственно называют, следуя Лежандру, две следующие специальные функции: В(а, )3):= х" (1 — х)о ах, а Г(а):= х'" 1е *ах.
о Первую из них называют бета-функцией, а вторую, особенно часто используемую, гамма-функцией Эйлера. 1. Бета-функция а. Область определения. Для сходимости интеграла (1) на нижнем пределе интегрирования необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие о > О. Аналогично, сходимости интеграла (1) в единице отвечает условие )3 > О. Таким образом, функция В(а„9) определена при одновременном выполнении двух условий: о>0 и )3>0.
Замечание. Мы здесь всюду считаем о и )3 действительными числами. Следует, однако, иметь в виду, что наиболее полная картина свойств функций В и Г и наиболее глубокие приложения этих функций связаны с выходом в область комплексных значений параметров. Ь. Оимметрнчность. Проверим, что В(о,~3) = В(,З,а). м Для доказательства достаточно в интеграле (1) сделать замену переменной х = 1 — й > ГЛ. ХЪЧ1. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 516 с. Формула понижения.
Если а > 1, то имеет место равенство В(а,)3) = В(а — 1,33). (4) а+33 — 1 ~ Выполняя при а > 1 и 33 > 0 интегрирование по частям и тождественные преобразования, получаем — г В(а,)3) = — — х (1 — х) + ! х (1 — х) 13х = а — 1 д а 1 а — 2 д 3 )3 ! д .-- ((1 - х)~-1 — (1 - х)~-1х) 1х = а — 1 а — 1 В(а — 1, )3) — В(а, )3), 33 ' 33 откуда и следует формула понижения (4). ь Учитывая формулу (3), можно теперь записать формулу понижения В(а,13) = 33 — 1 В(а, 33 — 1) (4') а+)3 — 1 по параметру 13, считая, разумеется, что 33 > 1.
1 Непосредственно из определения функции В видно, что В(а, 1) = —, поэтому при и Е 1Ч получаем В(а,1) = а+ и — (и — 1) (б) а(а + 1) ... (а + и — 1)' и — 1 и — 2 В(а, и) = а+и — 1 а+и — 2 В частности, при т, и б М < Оно получается из (1) заменой переменной х = Г+" —. ь +Р В(т, и) = (т — 1)! (и — 1)! (6) с1. Другое интегральное представление функции В. Иногда бывает полезно следующее представление бета-функции: а-1 (7) о е 3. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 517 2. Гамма-функция а. Область определения.
Из формулы (2) видно, что задающий функцию Г интеграл сходится в нуле лишь при о > О, а на бесконечности, за счет быстро убывающего множителя е *, сходится при любом значении о Е Ж. Таким образом, функция Г определена при о > О. Ь, Гладкость и формула для производных. Функция Г бесконечно дифференцируема, причем Г1")(о) = х 11п" хе *е1х. о (8) ]х~ ~ 1п" хе *~ < хз при 0 < х < с„.
Значит, на основании мажорантного признака равно- мерной сходимости можно заключить, что интеграл ха — 1 1па хе — и е1х о сходится равномерно по о на промежутке [а, +оо[. Если же о < Ь < +со, то при х > 1 ]х" 11п" хе *) < х~ 1)1п" х]е *, и аналогично заключаем, что интеграл х 11п" хе *е1х с„ сходится равномерно по о на промежутке ]О, Ь]. М Проверим сначала, что при любом фиксированном значении и Е е И интеграл (8) сходится равномерно относительно параметра о на каждом отрезке [а, Ь] с]0, +ос[.
Если 0 < а < а, то (поскольку х 77 1п" х -+ 0 при х -+ +0) найдется число с„ > 0 такое,что ГЛ. ХУП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 515 с. Ф>ормула понижения. Имеет место соотношение Г(а+ 1) = аГ(а), называемое формулой понижения для гамма-функции. м Интегрируя по частям, находим, что при а ) 0 -~-сю +со Г(а+1):= х е *ох = — х е *ф +а х~ 1е *ох = о о -~-оо = а х е *е!х =: аГ(а). » о -~-оо Поскольку Г(1) = ( е *ох = 1, заключаем, что при п Е И о (10) Г(и+1) = п! Таким образом, функция Г оказалась тесно связанной с теоретикочисловой арифметической функцией п! с1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
