1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 90
Текст из файла (страница 90)
~4. ПРОСТРАНСТВО НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 477 Ь) Докажите, что если семейство У функций 7: К -+ У равностепенно непрерывно в любой точке компакта К, то оно равностепенно непрерывно на К в смысле определения 2. с) Покажите, что если метрическое пространство Х не является компактом, то из равностепенной непрерывности семейства У функций 7: Х вЂ” ~ У в каждой точке х б Х еще не вытекает равностепенная непрерывность У на Х. По атой причине, если семейство У равностепенно непрерывно на множестве Х в смысле определения 2, его часто называют равномерно равностепенно непрерывным на множестве. Таким образом, между равностепенной непрерывностью в точке и равномерной равностепенной непрерывностью семейства функций на множестве Х соотношение такое же, как между непрерывностью и равномерной непрерывностью отдельной функции 7: Х вЂ” ~ 1' на множестве Х.
б) Пусть ю(7"; Е) — колебание функции 7": Х -+ У на множестве Е С Х, а В(х, Б) — шар радиуса д с центром в точке х е Х. Определением каких понятий являются следующие записи: Че > О В б > О Ч ( е У ю((; В(х, б)) < е, Че > 0 ВБ > 0 'у~ В У Чх В Х м((; В(х,д)) < е? е) Покажите на примере, что теорема Арцела — Асколи, вообще говоря, не имеет места, если К не является компактом:постройте на И равномерно ограниченную и равностепенно непрерывную последовательность (7'„;и Е И) функций 7'„ = у(х + и), из которой нельзя извлечь равномерно сходящуюся на И подпоследовательность.
Г) Опираясь на теорему Арцела — Асколи, решите задачу 10 с) из З 3. 2. а) Объясните подробно, почему любую непрерывную кусочно линейную функцию на отрезке [а, Ь] можно представить в виде линейной комбинации функций вида Ее, с„указанных в доказательстве теоремы Вейерштрасса. Ь) Докажите теорему Вейерштрасса для комплекснозначных непрерывных функций 7: [а, Ь] -+ С. ь с) Величину М„= 1 7'(х)х" Их часто называют п-м моментом функции 7: [а, Ь] -+ С на отрезке [а, Ь]. Покажите, что если у В С([а, Ь), С) и М„= 0 при любом п б К, то 7(х)— : 0 на [а, Ь].
3. а) Покажите, что алгебра, порожденная парой функций (1, хз) плотна в множестве всех четных, непрерывных на отрезке [ — 1, Ц функций. Ь) Решите предыдущий вопрос для алгебры, порожденной одной функцией (х), и множества нечетных функций, непрерывных на отрезке [ — 1, Ц. с) Любую ли функцию 7" Е С([О,п],С) можно сколь угодно точно равномерно аппроксимировать функциями алгебры, порожденной парой функций (1, е'*)? б) Ответьте на предыдущий вопрос в случае У б С([ — я, я], С). 478 ГЛ. ХУ1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ е) Покажите, что ответ на предыдущий вопрос будет положительным тогда и только тогда, когда ?(-н) = 1(к).
1) Любую ли функцию / В С([а,6],С) можно равномерно аппроксимировать линейными комбинациями функций системы (1,совх,вшх,...,совпх, в1ппх,... ), если [а,6] С ] — н,л[? й) Любую ли четную функцию 7 Е С([ — н,н],С) можно равномерно аппроксимировать функциями системы (1, сов х,..., сов пх,... )? )2) Пусть [а, Ь] — произвольный отрезок прямой И. Покажите, что алгебра, порожденная на [а, Ь] любой не обращающейся в нуль строго монотонной функцией ~о(х) (например, е*), плотна в С([а, Ь], й). 1) При каком расположении отрезка [а,Ь] С И порожденная функцией ~р(х) = х алгебра плотна в С([а, Ь], И)? 4. а) Комплексная алгебра функций А называется самосопрлженной, если из 7" Е А следует, что 7 В А, где 7(х) — значение, сопряженное к /(х). Покажите, что если комплексная алгебра А не вырождается на Х и разделяет точки Х, то при условии самосопряженности алгебры А можно утверждать, что подзлгебра Ан вещественнозначных функций алгебры А тоже не вырождается на Х и тоже разделяет точки множества Х.
Ь) Докажите следующий комплексный вариант теоремы Стоуна. Если комплекснал алгебра А функций 7': Х вЂ” ь С не вырождаетсл на Х и разделяет точки Х, то при условии самосопрлженности алгебры А можно утверждать, что она плотна в С(Х,С). с) Пусть Х = (г Е С [ ]2] = 1) — единичная окружность, А — алгебра на Х, порожденная функцией еч', где 22 — полярный угол точки г Е С. Эта алгебра не вырождается на Х и разделяет точки Х, но не является самосопряженной. Докажите, что для любой функции /: Х -+ С, допускающей равномерную аппроксимацию элементами алгебры А, должно выполняться равенство 2л ] 7" (еве)е'"~ ду = 0 при любом и Е К Используя зто обстоятельство, проверьо те, что ограничение на окружность Х функции ?(2) = г есть непрерывная на Х функция, которая не входит в замыкание указанной алгебры А.
ГЛАВА ХУП ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА В зтой главе общие теоремы о семействах функций, зависящих от параметра, будут применены к одному из наиболее часто встречающихся в анализе виду таких семейств — к интегралу, зависящему от параметра. з 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра 1. Понятие интеграла, зависящего от параметра. Интеграл, зависящий от параметра, — зто функция вида Г(е) = 1(т,~) дт, где 1 играет роль параметра, пробегающего некоторое множество Т, а каждому значению 1 е Т отвечает множество Е~ и интегрируемая на нем в собственном или несобственном смысле функция ~р~(з) = 1'(з, ~). Природа множества Т может быть самой разнообразной, но важнейшими, разумеется, являются случаи, когда Т вЂ” подмножество пространств К, С, й" или С". Если при каждом значении параметра $ Е Т интеграл (1) является собственным, то принято говорить, что функция г' в (1) есть собственный интеграл, зависящий от параметра.
Если же при всех или при некоторых значениях 1 е Т интеграл в (1) существует только в несобственном смысле, то функцию г' обычно называют несобственным интегралом, зависящим от параметра. Но зто, конечно, всего лишь терминологические условности. ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 480 В том случае, когда х Е й™, Е~ С Р" и т > 1, говорят, что имеют дело с кратным (двойным, тройным и т. д.) интегралом (1), зависящим от параметра.
Главное внимание мы сосредоточим, однако, на одномерном случае, составляющем основу любых обобщений. Более того, для простоты мы сначала в качестве Е~ будем брать только не зависящие от параметра промежутки числовой прямой К, и к тому же будем считать, что на них интеграл (1) существует в собственном смысле. 2. Непрерывность интеграла, зависящего от параметра.
'Утверждение 1. Пусть Р = ((х,у) Е йк [ а < х < 6 А с < у < < с)) — прямоугольник в плоскости Иг. Если функция 1: Р— ~ К непрерывна, т. е. если 1 Е С(Р,Н), то функция (2) Р(у) = 1(х,у) Нх а непрерывна в любой точке у б [с,а). ~ Из равномерной непрерывности функции 1 на компакте Р вытекает, что ~ох(х):= 1(х,у) =з 1(х,ув) =: у„а(х) на [а, Ц при у — > ув, у,ув е [с,а]. при каждом у е [с,а) функция уи(х) = Дх,у) непрерывна по х на отрезке [а, б], а значит, и интегрируема на нем. По теореме о предельном переходе под знаком интеграла теперь можно утверждать, что Р(ув) = 1(х,уо))х = 11 11(х,у)йх = 11 Р(у) В и-~иа ~ в-~ва Замечание 1.
Как видно из приведенного доказательства, утверждение 1 о непрерывности функции (2) остается в силе, если в качестве множества значений параметра у взять любой компакт К, конечно, при условии, что 1' Е С(1 х К, К), где 1 = (х Е К [ а < х < Ь1. Отсюда, в частности, можно сделать вывод, что если 1 Е С(1 х х Р, К), где Р— открытое множество в К", то Р Е С(Р, К), поскольку любая точка ув б Р имеет компактную окрестность К С Р, а ограничение функции 1 на 1 х К является непрерывной функцией на компакте 1 х К. 11. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 481 Мы сформулировали утверждение 1 для вещественнозначных функций, но, конечно, оно вместе с доказательством сохраняет силу и для векторнозначных функций, например, для функций, принимающих значения в С, в 1~~ или Сп. Дх) = у(хв) + у(х)(х — хв), (3) где 1о — непрерь1вная 4ункииц причем ~р(хо) = У'(хв).
Равенство (3) легко следует из формулы У(хо + Ь) — У(хо) = У'(хо + ~Ь)Ж Ь о (4) Ньютона — Лейбница и утверждения 1, применяемого к функции К(Ь) = 1 = ) ~'(хо+ 1Ь) Ж: остается сделать замену Ь = х — хо и положить ~р(х) = о = Г(х — хо). Полезно заметить, что равенство (4) имеет место для хо, Ь Е К", где и не обязано быть только единицей. Раскрывая символ 1' подробнее и полагая для простоты записи хв = О, можно вместо (4) написать 1(х1,..., ")-у(О,...,О) =~ ~,(Ы,...,4 ")а.
*, 1 п ГдУ 1 и з '=' о и тогда в равенстве (3) следует положить р(х)х = ~ р*(х)х1 ю=1 1 где 1р1(х) = 1 -41 (гх) д4. о д* Пример 1. При доказательстве леммы Морса (см. часть 1, гл. ЧП1, 3б) мы упоминали о следующем утверждении, называемом леммой Адамара. Если убункция ~ в окрестности У точки хо принадлежит классу С11)(У, К), то в некоторой окрестности точки хо ее можно представить в виде ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
