1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 86
Текст из файла (страница 86)
< Пусть для определенности у„стремятся к 1 не убывая. Фиксируем произвольное е > 0 и для любой точки х компакта К найдем такой номер и, что 0 < у(х) — 1н. (х) < е. Поскольку функции у и у" . непрерывны на К, неравенства 0 < у (() — у„„(С) < е останутся в силе и в некоторой окрестности ст(х) точки х Е К. Из покрытия компакта К такими окрестностями можно извлечь конечное покрытие П(х1),..., П(хь) и затем фиксировать номер п(е) = шах(п „..., и „). Тогда при любом и > п(е) в силу неубывания последовательности т,у„; и Е 1ч) будем иметь 0 < 1 (С) — 1„(() < е в любой точке С Е К.
1» Следствие 3. Если члены ряда ~ а„(х) сутпь неотрицательные н=1 непрерывные на компакте К утункции а„: К вЂ” ) И и ряд сходится на К к непрерывной утункции, то он сходитпся на К равномерно. ~ Частичные суммы в„(х) = ~, аь(х) данного ряда удовлетворяют 5=1 условиям теоремы Дини. ~ Пример 3. Покажем, что последовательность функций у„(х) = 1 = п(1 — хттн) при п — т +со сходится к функции т'(х) = 1п — равномерно '1У. Дйнн (1845 — 1918) — итальянский математик, наиболее известные его работы относятся к теории функций.
частичная сумма этого ряда, находим, что какую бы точность е > 0 ни задать, найдется такой многочлен Р(х), что Р(О) = 0 и ГЛ. Х'т'1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ 456 на каждом отрезке [а, Ь], лежащем в промежутке 0 < х < оо. м Функция х' = е""* при фиксированном х > 0 выпукла по 1, поэтоет хв му отношение -Т--~ — (как угловой коэффициент хорды) не возрастает при 1 — т +О и стремится к 1п х. Значит, т"„(х),~' 1п — при х > 0 и и -+ +ос.
По теореме Дини отсюда 1 следует, что указанная сходимость у„(х) к 1п — является равномерной 1 на каждом отрезке [а, Ь] С ]О, +со[. 1ь Отметим, что при этом, например, на промежутке 0 < х < 1 равномерной сходимости, очевидно, нет, поскольку функция 1п — неогра- 1 ничена на нем, в то время как каждая из функций 1„(х) ограничена на этом промежутке (зависящей от и константой).
4. Интегрирование и предельный переход. Покажем, что если интегрируемые на отрезке функции сходятся на нем равномерно, то предельная функция тоже интегрируема и ее интеграл по этому отрезку равен пределу интегралов исходных функций. Теорема 3. Пусть (,тб 1 Е Т) — семейство утункт4ий тт: [а, Ь] — т — + С, определенных на отрезке а < х < Ь и зависяи4их отп параметра 1 Е Т;  — база в Т. Если функт4ии семейстпва интаегрируемы на [а,6] и 11 -4 (' на [а, Ь] пРи базе В, то пРедельнаЯ фУнкт4ил ~: [а, Ь] — т С тоже интпегрируема на отрезке [а,6] и ь Ь ,т'(х) дх = 1пп Ях) дх. н / < Пусть р = (Р,~) — разбиение Р отрезка [а, Ь] с отмеченными точками ~ = ((1,...,~„). Рассмотрим интегральные суммы Рт(р) = = ~; ут(С,) т1х;, 1 Е Т и Р(р) = С (((1) тахт. Оценим разность Р(р)— 1=1 т=1 — Рт(р). Поскольку ~т ~ 1 на [а, Ь] при базе В, для любого е > 0 можно найти такой элемент В базы В, что при любом 1 Е В в любой точке х Е [а, Ь] бУдет выполнено неРавенство [((х) — Ут(х)] < Ь-~ — —.
Значит, при 1 Е В в [Р(Р) Рт(р)[ = 1' (У(6) ЛЫа)) ~хт ~ ~~ ]У(6) Хт(тт)] ~хт < е 13. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 457 и п Е ЫР!) ~х =: Еь[р) ~ Г(р):= Е У(6) ~х! ь=! ь=! Л(Р)-~0~„: Б ~Л(Р) — ~0 ь ь Х ~ь(х) дх =: Ас — -+ А:= ] Дх) дх, а а что и доказывает сформулированную теорему 3. ~ Следствие 4. Если ряд 2 ~„(х) из интегрируемых на отрезке и=! [а, Ь] С К 4ункиий сходится равномерно на этом отрезке, то его сумма тоже интегрируема на отрезке [а, Ь] и ь 1 Ф." '=Ю""' и=! и Ла Пример 4.
В этом примере, записывая '— '"„~, будем считать, что при х = О это отношение равно единице. х В свое время мы отмечали, что функция В!(х) = ] -'ф- ас не являето ся элементарной. Используя доказанные теоремы, можно, тем не менее, получить достаточно простое представление этой функции в виде степенного ряда. Для этого заметим,что 8!п1 ~ ( 1)п 2 (2п+ 1)! (14) и стоящий справа ряд сходится равномерно на любом отрезке [ — а, а] С С )е Равномерная сходимость ряда следует из мажорантного призна)Взп ка Вейерштрасса равномерной сходимости ряда, поскольку ~-~-~ — ~-, < а2И в~- < ~ — )Т ~! при [1[ < а, в то время как числовой ряд ,'ь ~-л —.1)! сходится. =о и эта оценка справедлива не только при любом значении 4 Е В, но и при любом разбиении р из множества Р = 1(Р, Ас)1 разбиений отрезка [а, Ь] с отмеченными точками. Таким образом, Г! ~ Е на Р при базе Е.
Теперь, взяв в Р традиционную базу Х(Р) — ь О, по теореме 1 находим, что коммутативна следующая диаграмма: ГЛ. ХУ1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ 458 На основании следствия 4 теперь можно написать 1 1 вь ь=~(~,ь ь,,'") =~ /,' (2п + 1). (2п+ 1).
( цп 2п~;1 ~ (2п + 1)!(2п + 1) Полученный ряд, кстати, тоже сходится равномерно на любом отрезке числовой оси, поэтому, какой бы отрезок [а, Ь] изменения аргумента х ни указать и какую бы ни назначить допустимую абсолютную погрешность, можно подобрать многочлен — частичную сумму полученного ряда, который в любой точке отрезка (а, Ь] позволит вычислить %(х) с погрешностью, не превышающей заданной. 5. Дифференцирование и предельный переход ТеоРема 4.
ПУсть Ц1,1 Е Т) — семейство фУнкций 11. Х -+ С, определеннььх на вьтуклом оераниченном множестве Х (лежащем в К, С или ином линейном нормированном пространстве) и зависящих от параметра 1 Е Т;  — база в Т. Если функции семейства дифференцируемы на Х, семейство (Д; 1 Е Т) производных сходится равномерно на Х к некоторой функции ьр: Х -+ С, а исходное семейство (11; 1 Е Т) сходится хотя бы в одной точке хв Е Х, то оно сходится равномерно на всем множестве Х к дифференцируемой функции 1: Х вЂ” + С, причем Г= р. м Покажем сначала, что семейство Я; 1 Е Т) равномерно сходится на множестве Х при базе Е Воспользуемся теоремой о конечном приращении в следующих оценках: ].1ьь(х) — ьь,(х)] < ](1Ьь (Х) 1Ьь (Х)) (ХЬь (ХО) 1Ьь (ХО))] + ]1 Ьь (ХО) ЬЬг (ХО)] В'ьр /Л (4) ХЬ Ы)] ]Х Хо] + ]ХСь(Х0) Ль(Х0)] — СЬ(Х 11 ЬХ).
ье(хо,х) По Условию семейство (1ьь; 1 Е Т) схоДитсЯ РавномеРно на Х пРи базе В, величина 11(хв) как функция 1 при той же базе Е имеет предел, а ]х — хв] — ограниченная величина при х Е Х. Ввиду необходимости 13. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 459 условий критерия Коши для равномерной сходимости семейства функций Л и существования предела функции Яхо), для любого в ) О найдется такой элемент В базы В, что для любых /О 19 Е В и любого х е х будет /л(х, 1О 19) < с. А это в силу написанных оценок означает, что семейство функций (Л; 4 Е Т) тоже удовлетворяет условиям критерия Коши и, следовательно, равномерно сходится на Х при базе В к некоторой функции у: Х -~ 4:,. Вновь используя теорему о конечном приращении, получим теперь следуюшие оценки: ~ (К(х+ 6) — Л,(х) — Х,',(х)6) — ЦИ(х+ 6) — ум(х) — у/',(х)6)! = = ~(ХΠ— ХИ)(х+ 6) — (Л, — Л,)(х) — (Уп — Л,)'(х)6/ < < опр ~(Ус, — Ы'(х+ОЬЯ !Ч+ )(Л, — Гм)'(х)~ !Ь!— о<в</ .
р $/,',(,~вь) — /,',(,~-вь)$ ~$/~,( ~ — /~,~ Я) ~ч. о<в<1 Эти оценки, справедливые при х,х + 6 е Х, ввиду равномерной сходимости семейства (Д; 1 Е Т) на Х, показывают, что семейство (К~, 4 Е Т) функций 1/(х + 6) — у/(х) — 1/(х)6 )6( которые мы будем рассматривать при фиксированном значении х б Х, сходится при базе В равномерно относительно всех значений 6 ф О таких, что х + 6 е Х. Заметим, что г/(6) — ~ О при Ь -+ О ввиду дифференцируемости функции у/ в точке х Е Х, а ввиду того, что у/ — ~ у и у/ -+ 9/ при базе В, имеем г/(6) — ~ г(6) = / *+" / * 'в(* при базе В. Применяя теорему 1, можно теперь записать коммутативную диаграмму =: Г,(6) ====4 Р(6):= в Ь вЂ” /О~ ' ~ Ь-/О г' Π— + О.
и Правый предельный переход при Ь -+ О показывает, что функция у дифференцируема в точке х Е Х и у~(х) = 9/(х). ~ ГЛ. ХУ1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ 460 Следствие 5. Если ряд 2 1„(х) иэ функций 1: Х -+ С, диффеп=1 ренцируемых на ограниченном выпуклом множестве Х (лежаи4ем в И, С или любом линейном нормированном пространстве), сходится хотя бы в одной точке х Е Х, а ряд 2 Д(х) сходится равномерно на Х, то ряд ~ 1п(х) тоже сходится равномерно на Х, его сумма диффеп=1 ренцируема на Х и < 00 » ьь у„(х) (х) = ~~» 1„(х).
п=1 п=1 Это вытекает из теоремы 4 и определений суммы и равномерной сходимости ряда с учетом линейности операции дифференцирования. В качестве иллюстрации использования теорем 2 — 4 докажем следующее широко используемое и в теории, и в конкретных вычислениях Утверждение 3. Если круг К С С сходимости степенного ряда 2' с (г — го)п не сводится к единственной точке г = го, то внутри К п=о сумма 11г) этого ряда дифференцируема, причем 1 (г) = ~~» поп(г — го)п п=1 (15) Кроме того, функцию 1(г): К -+ С можно интегрировать по любому гладкому пути у: [О, 1] -+ К, и если [О, 1] Э 8» — + г(1) Е К, г(О) = го, Замечание 4. Приведенные доказательства теорем 3 и 4, как и сами теоремы и их следствия, остаются в силе для функций 11.
Х -+ У со значениями в любом полном линейном нормированном пространстве К Например, У может быть И„С, Ип, С", С[а, Ь] и т. д. Областью Х определения функций 11 в теореме 4 тоже может быть соответствующее подмножество любого линейного нормированного пространства. В частности, Х может лежать в К, С, Ип или С". Для вещественнозначных функций вещественного аргумента (при дополнительных требованиях к сходимости) доказательства этих теорем можно сделать еще более простыми (см. задачу 11). 13. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 461 г(1) = г, то (16) 1 Замечание 5. Здесь | у(г) с1х:= ) 1(г(1))г'(1) о1.
В частности, ест а ли на интервале -В < х — ха < В действительной оси И имеет место равенство ~(х) = 2 а„(х — ха)",то а=а х Г СО у(г) пг = ~~~ (х — ха) Х о в=а м Поскольку 1пп,'/п)с„) = 1пп ~/Я, то из формулы Коши— и — ~са и — к:О Адамара (теорема из ~2) вытекает, что степенной ряд ,'1 пс„(х — ха)" 1, п=1 полученный почленным дифференцированием ряда 2 ' с (г — га)", имев=а ет тот же круг сходимости К, что и исходный степенной ряд. Но по той же теореме из 62 ряд 2 пс„(х — га)" 1 сходится равномерно в любом п=1 круге Ка таком,что Ка С К. Поскольку ряд ~; с„(г — ха)", очевидно, в=а сходится при х = га, к нему теперь применимо следствие 5, чем и обосновывается равенство (15).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
