1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 85
Текст из файла (страница 85)
п=1 Оцх<1 6. а) Сформулируйте упомянутый в замечании 4 признак Абеля-Дирихле сходимости ряда. Ь) Покажите, что условие монотонности (о„) в нем можно несколько ослабить, потребовав, чтобы последовательность (Ь„) была монотонна лишь с точностью до поправок ()1п), образующих абсолютно сходящийся ряд. Т. В дополнение к утверждению 4 покажите вслед за Абелем, что если степенной ряд сходится в некоторой точке границы круга сходимости, то его сумма имеет в этом круге предел по любому не касательному к граничной окружности направлению, идущему в эту точку. 3 3.
<Функциональные свойства предельной функции 1. Конкретизация задачи. В этом параграфе будут даны ответы на поставленные в 31 вопросы о том, когда предел семейства непрерывных, дифференцируемых или интегрируемых функций является функцией, обладающей тем же свойством, и когда предел производных или интегралов от функций семейства совпадает с производной или интегралом от предельной функции этого семейства. Чтобы разъяснить математическое содержание обсуждаемых вопросов, рассмотрим, например, связь непрерывности и предельного перехода.
Пусть |„(х) — ~ 1(х) на К при п -+ оо, и пусть все функции последовательности ()„; и б )'4) непрерывны в точке хо Е )К. Мы интересуемся непрерывностью предельной функции у в той же точке хо. Для ответа на этот вопрос нам нужно проверить равенство 1пп 1(х) = у(хс), кох-1хо ГЛ.
ХУ1, РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ 450 торое в терминах исходной последовательности переписывается в виде соотношения 1пп ( 1пп /п(х)1 = 1пп /„(хо) или, с учетом данной нам х-~то (и-кю ) и — >со непрерывности функций /„в точке хо, записывается в форме следующего подлежащего проверке соотношения: 1пп ( 1пп /'„(х)) = 1пп ( 1пп /' (х)). В левой части зтого соотношения сначала делается предельный переход по базе и — ь оо, а затем предельный переход по базе х — ь хо, а в правой части предельные переходы по тем же базам проводятся в другом порядке.
Изучая функции нескольких переменных, мы видели, что равенство (1) имеет место далеко не всегда. Видели мы это и на разобранных в предыдущих двух параграфах примерах, показывающих, что предел последовательности непрерывных функций не всегда является функцией непрерывной. Дифференцирование и интегрирование являются некоторыми специальными операциями предельного перехода. Значит, вопрос о том, получим ли мы одно и то же, если сначала продифференцируем (проинтегрируем) функции семейства, а затем перейдем к пределу по параметру семейства, или сначала найдем предельную функцию семейства, а затем будем ее дифференцировать (интегрировать), снова сводится к проверке возможности изменения порядка двух предельных переходов.
2. Условия коммутирования двух предельных переходов. Покажем, что если из последовательно выполняемых предельных переходов хотя бы один равномерен, то предельные переходы перестановочны. Теорема 1. Пусть (РН1 б Т) — семейство функций Е~. Х вЂ” + С, завислщих от параметра Й Бх — база в Х, Бт — — база в Т. Если при базе БТ семейство сходится равномерно на Х к функции Е: Х -+ С, а при каждом 1 б Т существуетп предел 1ппЕ~(х) = Ап то существуют нх оба повторных предела 1пп (1ппрь(х) ~, 1пп ~ 1ппрс(х) и имеет место нх ~,нт / нт ~их равенство 1пп 1ппЕ~(х) = 1ш1 1пп Р~(х) (2) нх ~,нт / нт ~их 53.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 451 Эту теорему удобно записать в виде следующей диаграммы: Р1(х) '==Х7" (х) нт Вх~ 5~в, .4' — + 4 яг в которой над диагональю указаны условия, а под диагональю — их следствия. Равенство (2) означает, что эта диаграмма коммутативна, т. е. окончательный результат А не зависит от того, выполнить ли сначала операции, отвечающие переходу по верхней и правой стороне диаграммы, или в том же смысле сначала пройти по левой, а затем по нижней ее стороне.
Докажем сформулированную теорему. ~ГИ(х) — гЬ(х)! < е. (4) Переходя в этом неравенстве к пределу по базе Бх, получим соотношение )Ац — А1,! <е, (5) спРавеДливое Дла любых 11, 1з Е Вт. По кРитеРию Коши сУЩествованиЯ предела функции отсюда следует, что функция А1 имеет некоторый предел А по базе Бт.
Проверим теперь, что А = 1пп Г(х). нх Фиксировав 1з Е Вт, найдем такой элемент Вх базы Бх, что при любом х б Вх имеет место неравенство 1~йг (х) Ам ! (6) Пе меняя 1г, совершим в (4) и (5) предельный переход по базе Бт относительно параметра 11. Тогда получим, что (7) (8) причем неравенство (7) справедливо при любом х Е Х. ~ Поскольку Р1 ~ Г на Х при базе Бт, по критерию Коши для любого е ) 0 найдется такой элемент Вт базы Бт, что при любых 11, 1з Е Вт и любом х б Х будет выполнено неравенство ГЛ.
ХУЕ РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ 452 Сопоставляя соотношения (6) — (8), пользуясь неравенством треугольника, получаем, что (г (х) — А~ < Зе при любом х Е Вг. Тем самым проверено, что А = 1ппг (х). > нх Замечание 1. Как видно из приведенного доказательства, теорема 1 остается в силе для функций Гь. Х -+ У со значениями в любом полном метрическом пространстве К Замечание 2. Если к условиям теоремы 1 добавить требование существования предела 1ппАь = А, то, как видно из доказательства, нг равенство 1пп Е(х) —. А можно получить, даже не предполагая полноту их пространства У значений функций Гь.
Х вЂ” ь К 3. Непрерывность и предельный переход. Покажем, что если непрерывные в некоторой точке множества функции сходятся равномерно на этом множестве, то и предельная функция непрерывна в этой точке. Теорема 2. Пусть Я; 2 Е Т) — семейство функций ~ь.
Х вЂ” > С, зависящих от параметра Й В вЂ” база в Т. Если ~~ '.-4 ~ на Х при базе В и функции ~ь непрерывны в точке хв Е Х, то функция 1: Х вЂ” ь С тоже непрерывна в этой точке. ~ В нашем случае диаграмма (3) приобретает следующий конкретный вид: Ях) :::=2 г1х) н х-,хь~ ) х-мо ,1'с(хв) — + У(хв), и Здесь все предельные переходы, кроме правого вертикального, заданы самими условиями теоремы 2. Нетривиальное нужное нам следствие теоремы 1 состоит именно в том, что 1пп ~(х) = ~(хв). ~ь х-~хь Замечание 3. Мы не конкретизировали природу множества Х. На самом деле это может быть любое топологическое пространство, лишь бы в Х была определена база х -+ хр. Значения функций ~~ могут ОЗ. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 453 лежать в любом метрическом пространстве, которое, как следует из замечания 2, даже не обязано быть полным.
Следствие 1. Если последовательность функций, непрерывных на множестве, сходится на нем равномерно, то предельная 4ункция тоже непрерывна на этом множестве. Следствие 2. Если ряд из 4ункций, непрерывных на некотором множестве, сходится на нем равномерно, то сумма ряда тоже непрерывна на этом множестве. В качестве иллюстрации возможного использования полученных результатов рассмотрим Пример 1. Метод Абеля суммирования рядов. Сопоставляя следствие 2 со второй теоремой Абеля (утверждение 4 из О 2), приходим к заключению, что справедливо э'тверждение 1. Если степенной ряд 2 с„(х — хо)п сходится в п=о некоторой точке ~, то он сходится равномерно на отрезке [хо, ~], идуи4ем из го в точку ~, и сумма ряда непрерывна на этом отрезке. В частности, это означает, что если числовой ряд ~; с„сходится, п=в то степенной ряд 2 спхп сходится равномерно на отрезке 0 < х < 1 =о действительной оси и его сУмма в(х) = 2' спхп непРеРывна на этом п=о отрезке.
Поскольку в(1) = 2, 'с„, можно, таким образом, сказать, что п=о если ряд 2 с„сходится, то справедливо равенство п=О ~ с = 11 ~ с„х". х — ~1 — О (9) Интересно, что в соотношении (9) правая часть порой может иметь смысл даже тогда, когда ряд, стоящий слева, в традиционном его понимании является расходящимся. Например, ряду 1 — 1+ 1 —... соответствует ряд х — х~ + хэ —..., который при ~х~ < 1 сходится к функции х/(1+ х). При х -+ 1 эта функция имеет предел 1/2. ГЛ.
ХЧ1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ Метод суммирования ряда, называемый методом Абеля, состоит в приписывании левой части равенства (9) значения правой части этого равенства, если последнее значение определено. Мы видели, что если ряд [ с„в традиционном смысле сходится, то по методу Абеля ему =о будет сопоставлена его же классическая сумма. Вместе с тем, например, расходящемуся в традиционном смысле ряду 2 ( — 1)" метод Абеля и=О сопоставляет естественную усредненную величину 1/2. Дальнейшие вопросы в связи с разобранным примером 1 можно найти в задачах 5 — 8.
Пример 2. В свое время, обсуждая формулу Тейлора, мы показали, что при ]х] < 1 имеет место разложение (1+ х)О = =1+ —,х+, х +...+ о о(а — 1) а(а — 1)... (а — и+1) х" +... (10) Можно проверить, что при а > 0 числовой ряд а а(о — 1) о(а — 1)...
(а — и+ 1) 1+ — + 1! 2! +...+ и! +... сходится. Значит, по теореме Абеля, если о > О, ряд (10) сходится равномерно на отрезке 0 < х < 1. Но функция (1+х) непрерывна в точке х = 1, поэтому можно утверждать, что если а > О, то равенство (10) имеет место и при х = 1. В частности, можно утверждать, что при а > 0 (1 — 2) =1 — — 2 + 2 о ~ 2 п(п 1) 4 1! 2! ( 1) а(а 1) ' (а и+ 1) 2 (11) и.' и этот ряд сходится к функции (1 — 42)" равномерно на отрезке [ — 1, 1]. Полагая в (11) а = ~~ и 4~ = 1 — х при ]х] < 1, получаем, что ]х] = 1 — — (1 — х ) + (1 — х ) 2 2 2[2 ) 22 1! 2! (12) и стоящий справа ряд многочленов сходится к функции ~х[ равномерно на отрезке [ — 1,1].
Полагая Р„(х):= о„(х) — э„(0), где о„(х) есть и-я 53. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 455 щах ))х/ — Р(х)! < е. -1(я(1 (13) Вернемся теперь к общей теории. Мы показали, что непрерывность функций сохраняется при равномерном предельном переходе. Условие равномерности предельного пертжода является, однако, только достаточным для того, чтобы пределом непрерывных функций была непрерывная же функция (см. по этому поводу примеры 8, 9 из 81). Вместе с тем имеется конкретная ситуация, в которой из сходимости непрерывных функций к непрерывной же следует, что зта сходимость является равномерной. Утверждение 2 (теорема Дини1)). Если последовательность непрерывных на компакте функций сходится на нем монотонно и к непрерывной же функции, то эта сходимостпь равномерная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
