1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 80
Текст из файла (страница 80)
е. если они отличаются Пусть Яо(М) и Вг(М) — совокупности р-мерных циклов и р-мерных граничных циклов на многообразии М. Ясно, что Ур(М) и Во(М) являются линейными пространствами над полем К и что Яр(М) Э Вр(М). 14. ЗАМКНУТЫЕ И ТОЧНЫЕ ФОРМЫ 423 на границу некоторой цепи. Класс гомологий цикла г Е Яр(М) будем обозначать через [г]. Как и в случае когомологий, соотношение (б) можно переписать в виде Нр(М) = Кегдр/1шд >г Определение 13. Если с: 1 -+ М вЂ” сингулярный р-мерный куб, а ы — р-форма на многообразии М, то интегралом от формы ы по этому сингулярному кубу называется величина (7) с 7 Определение 14.
Если ~; оьсл — цепь размерности р, а ы— ь р-форма на многообразии М, то интеграл от формы по такой цепи понимается как линейная комбинация ~ ссь [ ы интегралов по соответс сс ствующим сингулярным кубам. Из определений 5 — 8 и 13, 14 следует, что для интеграла по сингулярному кубу справедлива формула Стокса (8) с дс где с и ю имеют размерность р и степень р — 1 соответственно. Если учесть еще определение 9, то можно заключить, что вообще формула Стокса [8) остается в силе для интегралов по цепям. Теорема 2.
а) Интеграл от точной формы по циклу равен нулю. Ь) Интеграл от замкнутой формы по границе цепи равен нулю. с) Интеграл от замкнутой формы по циклу зависит только от класса гомологий цикла. о) Интеграл от замкнутой формы по циклу зависит только от класса когомологий формы. е) Если замкнутые р-формы ыы ы2 и циклы гы г2 размерности р таковы, что [ш~] = [ы2] и [г~] = [г2], то Ш~ = Ы2. сс 424 ГЛ. ХУ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ ~ а) По формуле Стокса [ йш = [ ы = О, так как дл = О. 2 дг Ь) По формуле Стокса [ ю = [ Ыш = О, так как ско = О. дс с с) Вытекает из Ь).
с1) Вытекает из а). е) Вытекает из с) и с)). ~ Следствие. Билинейное отображение й"(М) х Ср(М) -+ К, задаваемое формулой (ш,с) + [ ы, индуцирует билинейное отображение с ЕР(М) х Ер(М) -+ К и билинейное отображение НР(М) х Нр(М) -+ К. Последнее задаетсл формулой ([ ) [л)) "+ (9) где ю Е Е"(М) и л Е Ер(М). Теорема 3 (де Рам1)). Задаваемое формулой (9) билинейное отображение НР(М) х Нр(М) -+ К невырождено~), Мы не останавливаемся здесь на доказательстве этой теоремы де Рама, но дадим несколько ее переформулировок, позволяющих в явном виде представить используемые в анализе ее следствия. Прежде всего заметим, что каждый класс когомологий [ог] Е НР(М) в силу (9) можно интерпретировать как линейную функцию [о~)([л)) = = [ ы.
Таким образом, возникает естественное отображение НР(М) -+ -+ Н„'(М), где Н„"(М) — сопряженное к Нр(М) пространство. Теорема де Рама утверждает, что это отображение является изоморфизмом, и в этом смысле НР(М) = Нр (М). Определение 15. Если ю — замкнутая р-форма, а л — цикл размерности р на многообразии М, то величина рег(я) эж [ 1о называется периодом (или циклической постоянной) формы ы на цикле я. ПЖ. де Рам (1903 — 1969) — бельгийский математик; основные работы относятся к алгебраической топологии. иНапомним,что билинейная форма Цт,у)называется невырожденной, если при любом фиксированном отличном от нуля значении одной из перемеинык получается не равная нулю тождественно линейная форма по другой переменной.
в 4, ЗАМКНУТЫЕ И ТОЧНЫЕ ФОРМЫ 425 В частности, если цикл г гомологичен нулю, то, как следует из утверждения Ь) теоремы 2, рег(г) = О. По этой причине между периодами имеется следующая связь: (10) т.е. если линейная комбинация циклов является граничным циклом, или, что то же самое, гомологична нулю, то соответствующая линейная комбинация периодов равна нулю. Имеют место следующие две теоремы де Рама, которые в совокупности равносильны теореме 3. Теорема 4 (первая теорема де Рама).
Замкнутая форма точна тогда и тполько тогда, когда все ее периоды равны нулю. Теорема 5 (вторая теорема де Рама). Если каждому р-циклу х Е Е Хр(М) на многообразии М сопоставитпь число рег(г) с соблюдением условия (10), то на М найдется такал замкнутая р-форма ат, что ) ы = рег(г) для любого цикла г Е Ер(М). Задачи и упражнения 1. Проверьте прямым вычислением, что полученная в примере 2 форма о действительно удовлетворяет уравнению Й» = ы.
2. а) Докажите, что любая односвязная область в йг стягиваема по себе в точку. Ь) Покажите, что в Кз предыдущее утверждение, вообще говоря, не имеет места. 3. Проанализируйте доказательство теоремы Пуанкаре и покажите, что если гладкое отображение Ь: М х 1 — т М рассматривать как семейство зависящих от параметра Г е 1 отображений Ь». М -+ М, то для любой замкнутой на М формы ы, все формы Ь;ьт, » Е 1 будут лежать в одном классе когомологий. 4. а) Пусть» «+ Ь» Е С< )(М,1»т) — гладко зависящее от параметра» Е Е 1 С й семейство отображений многообразия М в многообразие Ат. Проверьте, что для любой формы ьт Е Й(дт) справедлива следующая формула гомотпопии: — (Ь;ат)(х) = ЙЬ;(тхы)(х) + Ь;(тхдат)(х).
Здесь х е М; Х вЂ” векторное поле на Ат, причем Х(х, ») е ТИь,~,> и Х(х,») есть вектор скорости для пути У «+ Ьн(х) при У = »; оператор тх внутреннего 426 ГЛ. ХУ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ !!г! с йг(Я~) (!р'г! = г!) «=.-ь 9ьг В йе(КР~) (я"ы = г!). с) Используя задачу 5 а), покажите теперь, что Н'(КР') = О. с1) Докажите, что если функция / е С(дг, К) такова, что /(х) — /( — х) = = сопя!, то / = О.
Учитывая задачу 5 с), выведите отсюда, что Н" (КРг) = О. 7. а) Представив КРг в виде стандартного прямоугольника П с отождествлением противоположных сторон, указанным на рис. 98 ориентирующими стороны стрелками, покажите, что дП = 2с' — 2с; дс = Р— 1„"!; дс' = Р— Я. Ь) Выведите из сделанного в предыдущем задании наблюдения, что на КРг нет нетривиальных двумерных циклов и, используя теорему де Рама, покажи- Я те, что Нг(КРг) = О.
с) Покажите, что единственным (с точностью до множителя) нетривиальным одномерным циклом на КРг является цикл с' — с и, поскольку с' — с = 2дП, выведите ! 1 из теоремы де Рама, что Н'(КРг) = О. 8. Найдите группы Но(М), Нг(М), Нг(М), если: а) М = Я' — окружность; с' р с д Ь) М = Т вЂ” двумерныи тор; с) М = Кг — бутылка Клейна. Рис.
98. 9. а) Докажите, что диффеоморфные многообразия имеют изоморфные группы (ко)гомологий соответствующей размерности. произведения формы и векторного поля определен в задаче 7 предыдущего параграфа. Ъ) Из формулы (11) получите утверждение, высказанное в задаче 3. с) Опираясь на формулу (11), докажите вновь теорему 1 Пуанкаре. б) Покажите, что если К вЂ” стягиваемое в точку многообразие, то для любого многообразия М и при любом целом значении р имеет место равенство Н (К х М) = Н (М). е) Получите из формулы (11) соотношение (22) предыдущего параграфа. 5.
а) Используя теорему 4, а также непосредственно покажите, что если замкнутая 2-форма на сфере Яг такова, что ( ы = О, то форма ы — точная. яг Ь) Покажите, что группа Нг(8г) изоморфна К. с) Покажите, что Н'(ог) = О. 6. а) Пусть уг: Яг — г Яг — отображение, которое каждой точке х 5 Яг ставит в соответствие диаметрально противоположную ей точку -х В Я~ (антипод).
Покажите, что между формами на проективной плоскости КРг и формами на сфере Яг,инвариантными относительно отображения !р (т.е. !р*ь! = ы), имеется взаимно однозначное соответствие. Ь) Представим КРг как фактор-многообразие Яг/Г, где à — группа преобразований сферы Яг, состоящая из тождественного отображения и антиподального отображения у. Пусть л: Яг -+ КРг = Яг/à — естественная проекция, т. е. я(х) = (х, — х). Покажите, что я о у = х, и проверьте, что 14. ЗАМКНУТЫЕ И ТОЧНЫЕ ФОРМЫ 427 Ь) На примере Нз и ИРз покажите, что обратное утверждение, вообще говоря, неверно.
10. Пусть Х и У вЂ” линейные пространства над полем й, а Цх, у) — невы- рожденная билинейная форма Х: Х х 1' -э В. Рассмотрим отображение Х вЂ” > -+ У*, осуществляемое соответствием Х э х «+ Цх, ) б У". а) Докажите, что построенное отображение инъективно. Ь) Покажите, что для любой системы ум..., вь линейно независимых векторов пространства У в Х найдутся такие векторы х',..., хь, что х'(у ):= = Цх', у ) = д1з где Б' = 0 при 1 ~ у и 6' = 1 при г = у. с) Проверьте, что построенное отображение Х -+ У" является изоморфизмом линейных пространств Х и У". о) Покажите, что первая и вторая теоремы де Рама означают в совокупности, что с точностью до изоморфизма Н" (М) = Н„'(М).
ГЛАВА Х~1 РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ И ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ АНАЛИЗА НАД РЯДАМИ И СЕМЕЙСТВАМИ <язУНКЦИЙ у 1. Поточечная и равномерная сходимость 1. Поточечная сходимость Определение 1. Говорят, что последовательность (~'„; и Е 1ч) функций ~„: Х -+ К сходится в точке х е Х, если сходится последовательность ~ 1п(х); и Е 1ч) значений этих функций в точке х. Определение 2. Множество Е с Х точек, в которых последовательность (у„; и Е 1ч) функций у„: Х -+ И сходится, называется множеством сходимости последовательности функций.
Определение 3. На множестве сходимости последовательности функций 1у„; и Е 1ч) естественно возникает функция у: Е -+ В„задаваемая соотношением ~(х):= 1пп ~„(х). Эта функция называется и — ~со предельной функцией последовательности (~„;и Е 1ч) или пределом последовательности функций (~„; и б 1ц). Определение 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
