1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Х1Ч, ~ 3, что, вообще говоря, зто включение является строгим. Важный вопрос о разрешимости (относительно с») уравнения дсл = ы при выполнении необходимого условия ды = 0 на форму ы оказывается тесно связан с топологической структурой многообразия М. Более полно сказанное будет расшифровано ниже. Определение 3. Многообразие М будем называть стягиоаемым (в точку хо Е М) или гомотопным точке, если существует такое гладкое отображение Ь: М х 1 -+ М, где 1 = (1 Н К ~ 0 < Ф < Ц, что Ь(х, 1) = х и Ь(х, О) = хо.
Пример 1. Пространство К" стягивается в точку посредством отображения Ь(х,1) = 1х. Теорема 1 (Пуанкаре). Любая замкнутая (р+ 1)-уюрма (р > 0) но стягиоаемом 'в точку многообразии М является точной. ~ Нетривиальная часть доказательства состоит в следующей»цилиндрической» конструкции, сохраняющей силу для любого многообразия М. Рассмотрим»цилиндр» М х 1 — прямое произведение М на единичный отрезок 1, и два отображения и: М -+ М х 1, 1,(х) = (х, »), »' = О, 1, отождествляющие М с основаниями цилиндра М х 1. Тогда естествен- ОВ зависимости от способа введения оператора и' это свойство или доказываетсл, и тогда его часто называют леммой Пуанкаре, или включается в определение оператора о'. 14. ЗАМКНУТЫЕ И ТОЧНЫЕ ФОРМЫ 417 но возникают соответствующие отображения 7',*: йя(М х Х) — «й'(М), которые сводятся к тому, что в форме из Й"(М х Х) переменная 1 заменяется значением г'(= О, 1), при этом, разумеется, й = О.
Построим линейный оператор К: й" «'(М х Х) -+ 11~(М), который на мономах определим следующим образом: К (а(х, 1) Их" Л... Л йх' " );= О, /1 К (а(х,$)йЛ дх" Л... Лйх* ):= '( Х а(х,4)й дхп Л... Лс1х'~. о Основное нужное нам свойство оператора К состоит в том, что для любой формы ы Е Р' «" (М х Х) имеет место соотношение К(й ) + око~) = 7'1м —,70 Это соотношение достаточно проверить для мономов, поскольку все операторы К, д, 71, 7о линейны.
Если ш = а(х, 1) Их" Л... Л дх'~'+', то Кш = О, д(Кы) = О, да Йа = — й Л ах" Л... Л с1х"«1 + [члены без й], д1 1 К(а )= ! — й ах Л...Л1х' Г да д1 о = (а(х, 1) — а(х О)) ах" л... л ах "+' = 71ы — 7ою, и соотношение (1) справедливо. Если ш = а(х, 4) й Л Их" Л... Л Нх'~, то 71 ы = 7ом = О. Далее, К(дш) =К вЂ” ~ —.йЛЙх" Лдх" Л...ЛЙх" да дх'0 ао 1 — — и ~(х" Лс(хб Л...Лс1х", дхао о 1 ЙКи) = д а(х,4) й дхч Л... Лдх' о 418 ГЛ. ХЧ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 1 — а(х, $) Ж 11х1е Л с1х" Л... Л с(х" = дх1е,( $0 0 1 1' — '11 1 "Л1* Л...Л Ь*. ,/ дх'е 1е 0 Таким образом, и в этом случае соотношение (1) справедливо11.
Пусть теперь М вЂ” стягиваемое в точку хе Е М многообразие, й: М х х Х -+ М вЂ” указанное в определении 3 отображение, 1п — (р+ 1)-форма на М. Тогда, очевидно, 6 с 11. .М вЂ” > М вЂ” тождественное отображение, а 6 о 1е: М вЂ” + хе — отображение М в точку хе, поэтому (11 о 6')п1 = а1 и Я с 6*)а1 = О. Значит, в этом случае из (1) следует, что (2) К(с1(6*1п)) + с1(К(6*ай)) = п1. Если к тому же 1п — замкнуты форма на М, то, поскольку с1(6*а1) = = Ь*(1йу) = О, из (2) получаем, что с1(К(Ь*п1)) = а1. Таким образом, замкнутая форма а1 является внешним дифференциалом формы а = К(Ь*а1) Е ПУ(М), т. е.
ы — точная форма наМ. ~ Пример 2. Пусть А, В, С вЂ” гладкие вещественнозначные функции переменных х, у, х в йз. Требуется решить относительно функций Р, Я, В систему уравнений =А, =В, (3) дх ду Для совместности системы (3), очевидно, необходимо, чтобы функции А, В, С удовлетворяли соотношению дА дВ дС вЂ” + — + — = О, дх ду дх '1По поводу обоснования проведенного в последнем равенстве дифференцирования интеграла по переменной х'о см., например, гл.
ХЧ11, у 1. 419 14. ЗАМКНУТЫЕ И ТОЧНЫЕ ФОРМЫ которое равносильно замкнутости в Кз формы а = А ду Л йх + В дя Л дх + С дх Л Ну. Система (3) будет решена, если будет найдена такая форма а = Рйх+ Яду+ Яйх, что да = ш В соответствии с изложенной при доказательстве теоремы 1 рецептурой и с учетом построенного в примере 1 отображения Ь после простых вычислений получим 1 о = К(й*ю) = А(1х,1у,1г)44$ (уды — гс)у) + 1 + В(1х,1у,4я)1М (хнах — хсЬ) + 0 1 + С(1х, 4у, 1х)1с)1 (х ду — у йх).
0 Можно и непосредственно проверить, что йк = ы. Замечание. Произвол в выборе формы а, удовлетворяющей условию да = ю, обычно довольно большой. Так, вместе с формой а любая форма вида а+ до, очевидно, тоже будет удовлетворять этому же уравнению. В силу теоремы 1 на стягиваемом многообразии М любые две формы о, 13, удовлетворяющие условию да = о13 = ю, отличаются на точную форму. Действительно, д(а — 13) = О, т.е.
форма (а — )3) — замкнутая на М, а значит, по теореме 1 она точная. 2. Гомологии и когомологии. В силу теоремы Пуанкаре любая замкнутая форма на многообразии локально является точной. Склеить зти локальные первообрззные в одну форму на всем многообразии удается далеко не всегда, и это зависит от топологической структуры многообразия. Например, замкнутая в проколотой плоскости 11~ '1 О форма 420 ГЛ.
ХН. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ =--»»" —;»»,» ° р. ~» .Х~», « . ° д фф у +у ренциалом функции р = ~р(х, у) — полярного угла точки (х, у), однако, продолжение этой функции в области ж2 ~ О приводит к многозначностям, если замкнутый путь, по которому идет продолжение, охватывает дырку — точку О.
Примерно так же обстоит дело и с формами других степеней. »Дырки» в многообразиях могут быть различные— не только проколы, но и такие, как, например, у тора или кренделя. Структура многообразий высших размерностей может быть довольно сложной. Связь между устройством многообразия как топологического пространства и взаимоотношением замкнутых и точных форм на нем описывается так называемыми группами (ко)гомологий многообразия. Замкнутые и точные вещественнозначные формы на многообразии М образуют линейные пространства гг(м) и ВР(м) соответственно, причем г" (М) З ВР(М). Определение 4. Фактор-пространство Н (М):= г (М)(В (М) (4) называется группой р-мерных ногомологий (с вещественными коэффи- циентами) многообразия М.
Таким образом, две замкнутые формы а»м а»2 Е г" (М) лежат в одном классе когомологии или когомологичны, если ю1 — ы2 Е Ве(м), т. е. если они отличаются на точную форму. Класс когомологий формы а» Е гг(м) будем обозначать символом [а»]. Поскольку г"(М) есть ядро оператора Ю: Р'(М) -+ Р'"~(М), а В"(М) есть образ оператора аР 1: й" '(М) — » й"(М), то вместо (4), часто пишут Не(М) = Кегеу'/1ша" 1. Подсчет когомологий — дело, как правило, трудное.
Можно, однако, сделать некоторые тривиальные общие наблюдения. Из определения 4 следует, что если р > йш М, то НЯ(м) = О. Из теоремы Пуанкаре вытекает, что если М стягиваемо, то при р > О НР(М) = О. На любом связном многообразии М группа Но(м) изоморфна )к, так как Но(М) = го(м), а если для функции )': М -+ Ж на связном многообразии М выполнено соотношение 4)' = О, то )' = сопяФ. 14. ЗАМКНУТЫЕ И ТОЧНЫЕ ФОРМЫ 421 Таким образом, например, для пространства К" получается, что Н" (И") = 0 при р > 0 и Но(Ж") ° К.
Это утверждение (с точностью до тривиального последнего соотношения) эквивалентно теореме 1 при М = Р' и тоже называется теоремой Пуанкаре. Более наглядную геометрическую связь с многообразием М имеют так называемые группы гомологий. Определение 5. Гладкое отображение с: Р -+ М р-мерного куба 1 С Р' в многообразие М называют сингуаярным кубом на многообразии М.
Это прямое обобщение понятия гладкого пути на случай произвольной размерности р. В частности, сингулярный куб может состоять в преобразовании куба 1 в одну точку. Определение 6. Цепью (сингулярных кубов) размерности р на многообразии М называется любая конечная формальная линейная комбинация 1 аьсь сингулярных р-мерных кубов на М с вещественными ь коэффициентами.
Как и пути, сингулярные кубы, получающиеся друг из друга диффеоморфным изменением параметризации с положительным якобианом, считаются эквивалентными и отождествляются. Если же такая замена параметризации происходит с отрицательным якобианом, то соответствующие (противоположно ориентированные) сингулярные кубы с, с считаются противоположными и полагают с = — с.
Цепи размерности р на многообразии М, очевидно, образуют линейное пространство относительно стандартных операций сложения и умножения на вещественное число. Это пространство мы обозначим через Ср(М). Определение 7. Границей дХ р-мерного куба 1Р в М' называется (р — 1)-мерная цепь р (5) в=в 1=1 в жр, где с,: Р' ' — + КР— отображение (р — 1)-мерного куба в К", индуцированное каноническим вложением соответствующей грани куба 1Р в Ю. Точнее, если 1" ' = (х Е К" 1 ~ 0 < х < 1,т = 1,...,р — 1),то су(х) = (х,...,хй,г,х~,...,х~ ) Е К~.
422 ГЛ. ХУ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ Легко проверить, что зто формальное определение границы куба в точности совпадает с операцией взятия края стандартно ориентированного куба 1" (см. гл. ХП 2 3). Определение 8. Граница дс сингулярного р-мерного куба есть (р — 1)-мерная цепь р дс:= ~ ~~~ ( — 1)'+'со с,р ~=0 з=1 Определение 9. Граница р-мерной цепи ~; оьсь на многообраь зии М есть (р — 1)-мерная цепь д ~~~ оьсь .= ~ оьдсь. Таким образом, на любом пространстве цепей С„(М) определен линейный оператор д = др. Ср(М) — + Ср ~ (М). Исходя из соотношения (5), можно проверить, что для куба имеет место соотношение д(д1) = О.
Следовательно, вообще д о д = д2 = О. Определение 10. Х(иклом г размерности р или р-циклом на многообразии называется такая цепь, для которой дг = О. Определение 11. Граничным циклом Ь размерности р на многообразии называется цепь, являющаяся границей некоторой (р+ 1)-мерной цепи. Определение 12. Фактор-пространство Н„(М):= г„(МУВ„(М) (б) называется р-мерной группой гомологий (с вещественными коэффици- ентами) многообразил М. Таким образом, два цикла гы гг е Я„(М) лежат в одном классе гомологий или гомологичны, если г1 — г2 Е В„(М), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
