1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Если у: Е -+ К вЂ” предельная функция последовательности ( ~„; и е 1Ч), то говорят, что эта последовательность функций сходится (или сходится поточечно) к функции ~ на множестве Е. В этом случае пишут у(х) = 1пп у„(х) на Е или у„— + у на Е при и -+ оо. 429 1 ь ПОтОчечнАя н РАВнОмкРнАя схОднмОсть Пример 1. Пусть Х = (х е й [ х > О), а функции )'„: Х -+ К заданы соотношением !'„(х) = х", п е И.
Множеством сходимости этой последовательности функций, очевидно, является отрезок 1 = [О, Ц, а предельной является функция 1: 1 -+ К, задаваемая условиями О, если 0<х<1, 1(х) = 1, если х = 1. Пример 2. Рассматриваемая на !к последовательность функций !'„(х) = ~ш„" * сходится най к функцииу: К -+ О, тождественноравной нулю. Пример 3. Последовательность у„(х) = мв"* тоже имеет своим пределом функцию (: К -+ О, тождественно равную нулю. Пример 4. Рассмотрим на отрезке 1 = [О, Ц последовательность функций 1„(х) = 2(п+ 1)х(1 — х~)".
Поскольку пд" — > 0 при [д[ < 1, эта последовательность на всем отрезке 1 стремится к нулю. Пример 5. Пусть т,п Е И, и пусть 1 (х):= 1пп (сов4п!ях)з". и — ~сю Если т! х — целое, то у„,(х) = 1, если же т!х !с У, то, очевидно, у (х) = = О. Рассмотрим теперь последовательность (1,„; т Е И) и покажем, что на всей числовой оси она сходится к функции Дирихле О, если х ~ !4, ь(х) = 1, если хЕ© Действительно, если х ~ Я, то т! х ~ К, и 1' (х) = 0 при любом значении т Е И, значит, 1(х) = О.
Если же х = ~, где р Н У,, 9 Н И, то уже д> при т > д будет т! х Е У и 1 (х) = 1, что влечет 1(х) = 1. Итак, 1пп ) = Х>(х). 2. Постановка основных вопросов. Предельный переход встречается в анализе на каждом шагу и часто бывает важно знать, какими функциональными свойствами обладает предельная функция. Главные из таких свойств для анализа — непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость. Значит, важно выяснить, будет ли предельная функция непрерывной, дифференцируемой или интегрируемой, если соответствующим свойством обладали допредельные функции. При этом 430 ГЛ.
ХЧ1. РЯДЫ И СКМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ особенно важно найти достаточно удобные в работе условия, при выполнении которых из сходимости функций следует сходимость производных или интегралов от этих функций к производной или интегралу от предельной функции. Как показывают разобранные выше простейшие примеры, без каких-либо дополнительных условий соотношение «у„— ь у на [а,Ь] при и -+ со», вообще говоря, не влечет ни непрерывности предельной функции, даже при непрерывности функций )„, ни соотношений Д вЂ” > у' ь Ь или [ ~„,(х) Их — + [ у[х) дг, даже если все указанные производные и а а интегралы определены. Действительно, в примере 1 предельная функция разрывна на отрезке [0,11, хотя допредельные функции непрерывны на нем; в примере 2 производные п соо пот допредельных функций вообще не сходятся, а значит, не сходятся и к производной от предельной функции, которая в данном случае тождественно равна нулю; 1 в примере 4 имеем [ у'„(х) сЬ = 1 при любом значении п Е 1Ч, в то о 1 время как [ у [х) дх = О; о в примере 5 каждая из функций у равна нулю всюду, кроме конечь ного числа точек, поэтому / у" (х) дх = О на любом отрезке [а, Ь| б 2„ а в то время как предельная функция Ю вообще не интегрируема ни на каком отрезке числовой оси.
Вместе с тем: в примерах 2, 3, 4 непрерывны как допредельные, так и предельные функции; в примере 3 предел производных со~„"" функций последовательности ж" "л совпадает с производной от предельной функции этой последовательности; 1 1 в примере 1 имеем [,)'„(х) дх — ь [,1 [л) сЬ при и — + оо. о о Наша основная цель — выяснить, в каких же случаях предельные переходы под знаком интеграла или под знаком дифференцирования законны.
Рассмотрим в этой связи еще 431 11. ПОТОЧЕЧНАЯ И РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ Пример 6. Мы знаем, что при любом х Е К е1пхаах — — х + — х —...+ х +..., (1) 3 1 Ь ( 1) 2т1! 3! 5! (2т + 1)! но после приведенных примеров мы понимаем, что соотношения 1 ( 1) 2т+1 '1 (2т+ 1)! ь Г Ь ,/ (2т+ 1)! а т=е а (2) (3) вообще говоря, нуждаются в проверке.
В самом деле, если равенство о'(х) = а1(х) + а2(х) + ... + а (х) + .. понимать в том смысле, что о(х) = 1пп о„(х), где о„(х) = ~ а (х), а-> аа т=1 то соотношения У(х) = ~~1 а',„(х), т=1 Ь | а( )а = 2.'/ ( )а а 1 а о'(х) = 1пп о„'(х), Ь ь к которым мы теперь должны относиться с осторожностью. В данном случае оба соотношения (2), (3) легко проверяются, поскольку известно, что при любом х Е К 2 1 4 ( 1) 2т соях=1 — — х + — х —...+ х +... 2! 4! (2т)! в силу линейности операций дифференцирования и интегрирования равносильны равенствам ГЛ. ХУ1.
РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ 432 Однако представьте себе, что равенство 11) является определением функции в1пх. Ведь именно так обстояло дело с определением функций вш г, сов г, е' для комплексных значений аргумента. Тогда нам нужно было бы свойства возникшей новой функции (ее непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость), как и законность равенств (2), (3), извлекать непосредственно из того, что эта функция является пределом последовательности частичных сумм написанного ряда. Главным понятием, с помощью которого в 2 3 будут получены достаточные условия законности указанных предельных переходов, является понятие равномерной сходимости.
3. Сходимость и равномерная сходимость семейства функций, зависящих от параметра. При обсуждении постановки вопросов мы ограничились выше рассмотрением предела последовательностей функций. Последовательность функций — это важнейший частный случай семейства функций Ях), зависящих от параметра 4, когда 2 Е М. Последовательности функций, таким образом, занимают здесь то же место, какое в теории предела функций занимает теория предела последовательности. О пределе последовательности функций и связанной с ней теорией сходимости рядов функций мы будем подробно говорить в 2 2, а здесь обсудим основные для всего дальнейшего понятия сходимости и равномерной сходимости семейства функций, зависящих от параметра.
Определение 5. Функцию (х,1) + Р(х,1) двух переменных х, 4, определенную на множестве Х х Т, называют семейством функций зависящих от параметра 1, если по тем или иным причинам переменная 1 Е Т выделяется и называется параметром. Множество Т при этом называют иножествоя или областью значений параметра, а само семейство часто записывают в виде Ях) или Я; $ е Т), явно выделяя параметр. Нам, как правило, придется в этой книге рассматривать такие семейства функций, для которых областью параметров Т являются множества И, К, С натуральных, действительных или комплексных чисел соответственно или их подмножества, хотя, вообще говоря, множество Т может быть любой природы. Так, в рассмотренных выше примерах 1 — 5 было Т = М. В примерах 1 — 4 при этом можно было бы без потери их содержательности считать,что параметр и есть любое по- 31.
НОТОЧЕЧНАЯ И РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 433 ложительное число, а предел берется по базе и — «оо, и Е 2+. Определение 6. Пусть (у1. Х -+ Гя; 4 Е Т) — семейство функций, зависящих от параметра, и пусть  — база в множестве Т значений параметра. Если существует предел 1ппЯх) при фиксированном значении х б В Е Х, то говорят, что семейство функций сходится в точке х. Множество всех таких точек сходимости называется множеством сходимости семейства функций при данной базе В. Определение 7.
Говорят, что семейство функций сходится на множестве Е С Х при базе В, если оно сходится при этой базе в каждой точке х е Е. Функция 1'(х):= 1ппЯх) на Е называется предельной функцией В или пределом семейства функций ~1 на множестве Е при базе В. Пример 7. ПустьЯх)=е 1*В), хеХ=1к, 1еТ=К~О,  — база 1 — «О. Это семейство сходится на всем множестве К, причем ~1, если х=О, 1пп 11(х) = 4 1-«о 1 О, если х 4 О.
Теперь дадим два основных определения. Определение 8. Говорят, что семейство Я; 1 е Т) функций ~1. Х -+ К сходится поточечно (или просто сходится) на множестве Е С Х при базе В к функции 1': Š— «К, если 1ппу11х) = у(х) в В любой точке х е Е. В этом случае мы часто будем писать ф — «у на Е). В Определение 9. Говорят, что семейство Я; 1 е Т) функций ~~. 'Х -+ 1к сходится равномерно на множестве Е С Х при базе В к функции 1: Е -+ 2, если для любого е ) 0 найдется такой элемент В базы В, что при любом значении 1 Е В в любой точке х Е Е выполняется неравенство 111х) — Ях)) ( е.
В этом случае мы часто будем писать ф ==3 )' на Е). В ГЛ. ХЧ1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ 434 Приведем еще формальную запись этих важных определений: ф — «1 на Е):= В =Че>О ЧхЕЕ ЗВАН ЧЕТВ Я(х) — ~с(х)]<с), (Л ~ 1 на Е):= = Че > О 3 В Е В Чх Е Е Чй Е В (]1(х) — Д(х)] < е). Соотношение между сходимостью н равномерной сходимостью напоминает соотношение между непрерывностью и равномерной непрерывностью функции на множестве. Чтобы лучше уяснить взаимоотношение сходимости и равномерной сходимостн семейства функций, введем величину Ь|(х) =- )1(х) — Ях)(, измеряющую отклонение значения функции ~~ от значения функции 1 в точке х е Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
