1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 84
Текст из файла (страница 84)
ХЧ1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ 444 ных компонент рассматриваемых рядов. Но зти условия тоньше, чем признак Вейерштрасса, поскольку они позволяют исследовать и такие ряды, которые сходятся, но неабсолютно. Определение 5. Говорят, что семейство У' функций ~: Х -+ С равномерно ограничено на некотором множестве Е с Х, если существует такое число М Е Н, что для любой функции у Е У' справедливо соотношение впр~Дх)~ < М.
иен Определение 6. Последовательность функций (Ьи: Х -+ В; и е Е И) называется неубывающей (невозрасптающей) на множестпве Е С С Х, если для любого х б Е таковой является числовая последовательность (Ьи(х); и Е )Ч). Неубывающие и невозрастающие на множестве последовательности функций называются монотпонными последовательностями на этом множестве. Напомним (в случае необходимости см.
гл. Ч1, ~2, п. 3) следующее тождество, называемое преобразованием Абеля: аьЬь = Атбт Аи-тЬи + ~т Аь(Ьь бьет) (4) ти аябь < 4 шах (Аь) шахЦЬ„(, )Ь )). и — 1<ийт м В самом деле, т-1 ~А Ь ~+~А„,Ь„~+ у А„(6„— 6„,) < т — 1 < тпах )Аь) (Ь )+ )Ъ„)+ ~ (Ьь — Ьь+т) и — 1<я<та и=и где аь = Аь — Аь т, Ь = п,..., тп. Если Ьи, Ь, ~ы ..,, Ь вЂ” монотонная последовательность веществен- НЫХ ЧИСЕЛ, тО, ДажЕ ЕСЛИ аи,а„4.ы...,а КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛа ИЛИ ВЕК- торы какого-то нормированного пространства, на основании тождества (4) можно получить следующую нужную нам оценку: Ь 2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУНКЦИЙ 445 п1ах )Аь( ()Ь )+ (6„(+ (܄— Ь )) < п — 1<Ь<т < 4 щах )Аь( шахЦЬ„(, (Ь Д. и-1<Ь<т В участвующем в этой выкладке равенстве как раэ и использована монотонность последовательности чисел Ью ь з'тверждение 3 (признак Абеля — Дирихле равномерной сходимости ряда).
Длл равномернои" сходимости на .множестве Е ряда ~ а„(х)Ь„(х), члены копсороео являются произведениями комплексносс=1 значных функций а„: Х вЂ” 1 С и вещественнозначных функций Ь„: Х вЂ” > -+ Н, достаточно, чтобы выполнялась любая пара следующих условий: ь Оь о1) частичные суммы ве(х) = ~ а„(х) ряда ~ а„(х) равномерно сс= 1 о=1 оераничены на Е; Д) последовательность функций 6„(х) монотонна и равномерно стремится к нулю на множестве Е; ссг) ряд ~,' а„(х) равномерно сходипсся на Е; сс= 1 ,дз) последовательность функций 6„(х) монотонна и равномерно оераничена на Е.
< Монотонность последовательности Ь„(х) позволяет при каждом х Е Е записать аналогичную (5) оценку ~ аь(х)Ьь(х) < 4 шах (Аь(х) ( шах((6„(х) ~, ~Ьт(х) Д, (5') п-1<1с<т 1сс и где в качестве Аь(х) возьмем вь(х) — в„1(х). Если выполнена пара условий сх1), Д), то, с одной стороны, существует такая постоянная М, что ~Аь(х)~ < М при любом й Е 1ч' и любом х Е Е, а с другой стороны, каково бы ни было число е > О, при всех достаточно больших значениях и и т и любом х Е Е будет выполнено неравенство шах(~6„(х) ~, ~6 (х) Д < ~у. Значит, из (5) следует, что при всех достаточно больших значениях и и т и любом х е Е будет ГЛ.
ХУ1. РЯДЫ И СЕМВЙСТВА ФУНКЦИЙ 446 ! т аь(х)Ь|(х) < е, т.е. для рассматриваемого ряда выполнен критеь=в рий Коши равномерной сходимости. В случае пары условий а2), ~32) ограниченной оказывается величина тахЦЬ„(х)(, )Ь„,(х)Ц. В то же время, ввиду равномерной сходимости ряда ~ а„(х), по критерию Коши для любого е > О при любых дои=1 статочно больших значениях п и Й > п и любой точке х Е Е будет (Аь(х)( = ~ль(х) — л„1(х)! < е. Учитывая зто, из неравенства (5) вновь заключаем, что для рассматриваемого ряда выполнен критерий Коши равномерной сходимости.
> Замечание 4. В случае, когда функции а„и ܄— постоянные, утверждение 3 превращается в признак Абеля-Дирихле сходимости числовых рядов. Пример 7. Исследуем при х Е К сходимость ряда (6) в=1 Поскольку (7) по па' то при а < О для ряда (6) не выполнено необходимое условие сходи- мости, и он расходится при любом значении х Е В. Таким образом, в дальнейшем можно считать, что а > О. Если а > 1, то из (7) на основании признака Вейерштрасса заключаем, что ряд (6) сходится абсолютно и равномерно на всей числовой оси К. Для исследования сходимости при О < а < 1 воспользуемся признаком Абеля — Дирихле, полагая а„(х) = е'"* и Ь„(х) = —,, Поскольку 1 при а > О постоянные функции Ь„(х) монотонно и, очевидно, равномерно относительно х Е и' стремятся к нулю, то остается исследовать частичные суммы ряда ~ е'"*.
п=1 Для удобства дальнейших ссылок мы рассмотрим суммы ~ е'~*, ь=о отличающиеся от частичных сумм нашего ряда только начальным слагаемым 1. 12. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУНКЦИЙ Используя формулу геометрической прогрессии и формулу Эйлера, последовательно находим при х ф 2ят, т Е У, а+1 е 2 1 81п З21 х 1 еш 2 е'т еш — х а-~-1 2 $2Ж еш— х 2 еш -"+х и, и сов — х + 1е1п — х~ .
(8) еш 2 '( 2 2 Значит, для любого и Е 1М е'* < 1 !1 Я' Е1пх езжу +... + — > ео. иа ' та По зто в силу критерия Коши равномерной сходимости ряда означает, что на указанном множестве Е ряд (6) не может сходиться равномерно. В дополнение к сказанному можно отметить, что, как видно из равенства (7), ряд (6) сходится неабсолютно при О < а < 1. откуда по признаку Абеля — Дирихле вытекает, что ряд (6) при О < < а < 1 сходится равномерно на любом множестве Е с К на котором шГ ~е)п ~~~ > О. В частности, ряд (6) просто сходится при любом ееЕ х ф 2пт, т Н У..
Если же х = 2ят, то е'"з = 1, и ряд (6) превращается в числовой ряд 2 — ~, который при О < а < 1 расходится. 1 в=1 Покажем, что из сказанного уже можно заключить, что при О < < о < 1 ряд (6) не может сходиться равномерно ни на каком множестве Е, замыкание которого содержит точки вида 2пт, т Е .'Е. Положим для определенности, что О е Е. Ряд ",) --~ при О < а < 1 расходит- 1 в=1 ся. По критерию Коши найдется число ео > О такое, что, какое бы Х Е Ы ни взять, можно будет подобрать числа т > и > М так, что -4- +... + -4 ~ > ео > О.
В силу непрерывности функций е1ь* на ж оти ''' т сюда следует, что в Е можно выбрать точку х, столь близкую к нулю, что ГЛ. ХЧ1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ 448 Замечание 5. Для дальнейшего полезно заметить, что, отделяя в 18) действительную и мнимую части, получаем следующие соотношения: сов — х.
яп — х а а-~-1 2 2 сов кх = ь=о япкх = я=о (10) вш г яп -х вш — х а а-)-1 2 2 яп— х 2 справедливые при х ~ 2кт, т Е Ж. В качестве еще одного примера использования признака Абеля— Дирихле докажем следующее згтверждение 4 (так называемая вторая теорема Абеля о степен- ныхрядах). Если степенной ряд 2 с 1х — хо)" сходится в некоторой а=о точке ~ Е С, то он сходится равномерно на отрезке с концами хо, ~. < Точки указанного отрезка представим в виде х = хо + (~ — хо)~, где 0 < 1 < 1.
Подставив зто выражение для х в данный степенной ряд, получим ряд ,') с„О, — хо)"е". По условию чисоовой ряд 2 с„(~ — хо)" а=о а=о сходится, а последовательность функций 8" монотонна и равномерно ограничена единицей на отрезке [О, 1]. Значит, выполнены условия оз), 13з) признака Абеля-Дирихле и утверждение 4 доказано. > Задачи и упражнения 1. Исследуйте характер сходимости на множествах Е с И прв различных значениях действительного параметра о следующих рядов: п=1 ь) Е .".
ч=1 2. Докажите, что следующие ряды сходятся равномерно ва укаэанных множествах: а) 2 1--~) — х" при 0 ( х < 1. ч=1 1 ч Ь) 2 1--„-) — е "* при О ( х (+со. ч=1 1 ч с) 2 ~-~- прв О ( х (+ос. п=1 13. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 449 3, Покажите, что если рлд Дирихле 2 -'+ сходится в точке хс Е Е, то он сходится равномерно на множестве х > хш причем, если х > хс + 1, то ряд сходится абсолютно. 11п — 1 2 4. Проверьте, что ряд 2 ~г*„сходится равномерно на И, а ряд (1 ~ 2)п г хотя и сходится на И, но неравномерно. и-1 (1 + х')и 5. а) На примере рядов из задачи 2 покажите, что признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда является достаточным, но не необходимым условием равномерной сходимости ряда, Ь) Постройте ряд 2 ап(х) с неотрицательными непрерывными на отрезке п=1 О < х < 1 членами, который сходится равномерно на этом отрезке, и в то же время ряд ~„Мп, составленный из величин Мп = щах )ап(х) ~, расходится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
