1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Функция з (х) = 2 а„(х), как и в случае чии=1 словых рядов, называется частичной суммой или, точнее, т-й частичной суммой ряда ~ а„(х). и=1 Определение 3. Суммой ряда называется предел последовательности его частичных сумм. Таким образом, запись я(х) = ~~> а„(х) на Е означает, что я (х) — + з(х) на Е при т — > оо, а запись ряд ~~> а„(х) равномерно сходится на Е означает, что я (х) ~ я(х) на Е при т — 1 оо. Исследование поточечной сходимости ряда в сущности есть исследование сходимости числового ряда, и с этим мы уже знакомы.
Пример 1. Функцию ехр: С вЂ” 1 С мы в свое время определили соотношением 1 ехря:= ~~ — я", (1) п! и=о убедившись предварительно, что стоящий справа ряд сходится при каждом значении х б С. На языке определений 1 — 3 можно теперь сказать, что ряд (1) функций а„(г) = й-,г" сходится на всей комплексной плоскости и функция 1 и ехр х является его суммой. В силу принятых определений 1, 2 между рядами и последовательностями их частичных сумм устанавливается обратимая связь: зная члены ряда, получаем последовательность частичных сумм, а зная последовательность частичных сумм, восстанавливаем все члены ряда: характер сходимости ряда отождествляется с характером сходимости последовательности его частичных сумм.
Пример 2. В примере 5 из 9 1 была построена последовательность (1; т Е 1.!) функций, сходящаяся на К к функции Дирихле ь(х). Если ГЛ. ХЧ1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ 440 положить а1(х) = 11(х) и а„(х) = ~'„(х) — ~'„1(х) при и > 1, то мы получим ряд 2 а„(х), который будет сходиться на всей числовой оси, о=1 и '>" а„(х) = Х1(х).
в=1 Пример 3. В примере 9 из 3 1 было показано, что последовательность функций 1'„(х) = х" — хг" сходится, но неравномерно, к нулю на отрезке (О, Ц. Значит, полагая а1(х) = Ях), а„(х) = ~„(х) — у„1(х) при и > 1, получим ряд 2 а„(х), который сходится к нулю на отрезке о=1 (О, 1), но сходится неравномерно. Прямая связь между рядами и последовательностями функций позволяет каждое утверждение о последовательностях функций переформулировать в виде соответствующего утверждения о рядах функций. Так, применительно к последовательности (з„: Х вЂ” 1 С; и Е г1) доказанный в 3 1 критерий Коши равномерной сходимости последовательности на множестве Е с Х означает, что Че > 0 х1ч' Е Ы Чп1,пг > 1ч' Чх Е Е (~з„,(х) — з„,(х)~ < е). (2) Отсюда с учетом определения 1 получается Теорема 1 (критерий Коши равномерной сходимости ряда).
Ряд 2 а„(х) сходится равномерно на множестве Е тогда и только тоь=1 гда, когда для любого е > 0 найдется такое число Х Е И, что при любых натуральных т, п, удовлетворяюи4их условию т > и > 1ч', в любой точке х Е Е выполнено неравенство (3) )а„(х) +... + а (х)! < е. ~ Действительно, полагая в (2) п1 — — т, пг = и — 1 и считая з„(х) частичной суммой нашего ряда, получаем неравенство (3), из которого, в свою очередь, при тех же обозначениях и условиях теоремы вытекает соотношение (2). > Замечание 1.
Мы не указали в формулировке теоремы 1 область значений функций а„(х), подразумевая, что зто К или С. На самом деле областью значений, очевидно, может быть любое векторное нормированное пространство, например 1с" или С", если только оно является полным. 12. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУНКЦИЙ 441 Замечание 2. Если в условиях теоремы 1 все функции ап(х) постоянны, мы получаем уже знакомый нам критерий Коши сходимости числового ряда С а . п=1 Следствие 1 (необходимое условие равномерной сходимости ряда).
Для того, чтобы ряд 2 ап(х) сходился равномерно на некотоп=1 ром множестве Е, необходимо, чтобы а„~ О на Е при п — 1 оо. ~ Это вытекает из определения равномерной сходимости последовательности к нулю и неравенства (3), если положить в нем т = и. ь Пример 4. Ряд (1) сходится на комплексной плоскости С неравномерно, поскольку впр ~ -„-,гп ~ = оо для любого п Е 1ч', в то время как по 1 и мп необходимому условию равномерной сходимости, при наличии таковой, величина впр ~а„(х) ~ должна стремиться к нулю.
пеЕ и Пример 5. Ряд 2 ~„, как мы знаем, сходится в единичном круге п=1 К=(гНС)(х) < Ц. Поскольку ~~„~ < 1, приг Е К, то ~„=2 ОнаК при п -+ оо. Необходимое условие равномерной сходимости выполнено, однако зтот ряд сходится неравномерно на К. В самом деле, при любом фиксированном и Н И, считая г достаточно близким к единице, можно в силу непрерывности членов ряда добиться выполнения неравенства гп 2п 1 1 — +... + — > — — +... + — > —. и 2п 2 и 2п 4 По критерию Коши отсюда заключаем, что рассматриваемый ряд не сходится равномерно на множестве К. 2. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда Определение 4.
Будем говорить, что ряд 2 ап(х) сходится абп=1 солютно на множестве Е, если в любой точке х Н Е соответствующий числовой ряд сходится абсолютно. отверждение 1. Если ряды 2' ,ап(х) и 2' ,6„(х) таковы, что п=1 п=1 ~а„(х)~ < бп(х) ири .аюбом х Н Е и при всех достаточно больших но- ГЛ. ХЧ1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ 442 мерах и Е г1, то иэ равномерной сходимости ряда ~ 6п(х) на Е вып=1 текает абсолюп1ная и равномерная сходимость ряда ~; ап(х) на том п=1 же множестве Е.
м В силу принятых условий при всех достаточно больших номерах и и т (пусть п < т) в любой точке х Е Е выполнены неравенства (ап(х) +... + ат(х) ) < (ап(х) ( +... + )ат(х) ~ < < Ъп(х) +... + Ьт(х) = )Ъп(х) +... + Ь (х) (. По критерию Коши для любого е > О можно в силу равномерной схоДимости РЯДа ~; Ьп(х) Указать номеР 1"11 Е 1'( так, что пРи любых п=1 т > п > МилюбомхЕЕ ~6„(х)+...+Ь (х)) < е. Потогдаиз написанных неравенств следует, что в силу того же критерия Коши должны равномерно сходиться и ряд ~ ап(х), и ряд ~ ~а„(х)~.
~ Следствие 2 (мажорантный признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда). Если для ряда ~ ап(х) можно указать такой схоп=1 дли4ийсл числовой Рлд ~" Мп, что впР ~ап(х)~ < Мп пРи всех достап=1 хЕЕ точно больших номерах п Е М, то ряд ~ ап(х) сходится на множесп=1 тве Е абсолютно и равномерно. ~ Сходящийся числовой ряд можно рассматривать как ряд из постоянных на множестве Е функций, который в силу критерия Коши сходится равномерно на Е.
Значит, признак Вейерштрасса вытекает из утверждения 1, если положить в последнем Ьп(х) = Мп. ~ Признак Вейерштрасса является наиболее простым и вместе с тем наиболее часто используемым достаточным условием равномерной сходимости ряда. В качестве примера его применения докажем следующее полезное отверждение 2. Если степенной ряд ~ сп(х — хо)п сходится в п=о точке 1, ~ хо, то он сходится абсолютно и равномерно в любом крусе Кд = (х й С ~ ~х — хо~ < д)~ — хоЦ, где О < д < 1. 12.
РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУНКЦИЙ 443 м Из сходимости ряда ~ с„(~ — гв)" в силу необходимого признака в=в сходимости числового ряда следует, что с„(~ — гв)" -+ 0 при и -+ сю. Значит, в рассматриваемом круге Ке при всех достаточно больших значениях и б г4 справедливы оценки )с„(х — хв)" ( = )св(~ — гв)" ( )7 — — -о ) < < )с„(~ — хв)"(. о" < дв. Поскольку ряд ~ у" при (д) < 1 сходится, из в=в оценок )с„(х — хв)") < д" на основе мажорантного признака равномерной сходимости получаем высказанное утверждение 2.
~ Сопоставляя это утверждение с формулой Коши — Адамара для радиуса сходимости степенного ряда (см. гл. Ч, ~ 5, (17)), приходим к заключению, что имеет место Теорема 2 (о характере сходимости степенного ряда). Степенной ряд ~ св(г — гв)" сходится в круге К = 1г Е С ~ ~г — гв( < В), в=в 1 — 1 радиус которого определяется по формуле1) В = ) 11ш,Д~с„~) Коши — Адамара. Вне этого круга ряд расходится. На любом замкнутом круге, лежащем строго внутри круга К сходимости ряда, степенной ряд сходится абсолютно и равномерно.
Замечание 3. Как показывают примеры 1 и 5, на всем круге К степенной ряд не обязан при этом сходиться равномерно. Вместе с тем может случиться, что степенной ряд равномерно сходится даже на замкнутом круге К. оо в Пример 6. Радиус сходимости ряда ~ л, равен единице. Но если и ен и )г~ < 1, то ~ л ~ < —, и по признаку Вейерштрасса рассматриваемый ряд сходится абсолютно и равномерно в замкнутом круге К = 1г Е С ~ ф<ц 3. Признак Абеля — Дирихле. Следующие пары родственных достаточных условий равномерной сходимости ряда несколько более специальны и существенно связаны с вещественнозначностью определен- и ~В исключительном случае, когда Рнв ~с(~„! = оо, считается, что Я = О, а круг К .-~.Р вырождается в единственную точку ле, ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
