1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Рассмотрим также величину Ь| = впр Ь~(х), характе- хЕЕ ризующую, грубо говоря, максимальное (хотя его может и не быть) по всем точкам х Е Е отклонение значений функции 1~ от соответствующих значений функции 1. Таким образом, в любой точке х Е Е имеем А~(х) < 1)г В этих обозначениях приведенные определения, очевидно, можно записать следующим образом: Ц, — «1 на Е):= Чх Е Е (Ь|(х) — «О прн В), В ф ==41 на Е):= (Ь| — «О при В). В Теперь ясно, что ()~ .--З 1 на Е) =;» (~~ — + 1 на Е), В В т. е.
если семейство )~ сходится равномерно к функции 1 на множестве Е, то оно и поточечно сходится к 1 на этом множестве. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Пример 8. Рассмотрим семейство функций ~~. 1 — «2, определенных на отрезке 1 = (х Е К ] О < х < 1) и зависящих от параметра 1 Е ]О, 1]. График функции у = Ях) изображен на рис.
99. Ясно, что в любой точке х Е 1 1ипЯх) = О, т.е. ~~ -+ 1 = О при й -+ О. Вместе «-ю 11, ПОТОЧЕЧНАЯ И РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 435 с тем Ь~ — — впр (~<х) — у1<х)! = вар (Ях)! = 1, т.е. Ь1 1~1 О при 1 -+ О, и хе1 хе1 значит, семейство сходится, но не сходится равномерно. Будем для удобства в таких случаях говорить, что семейство сходится к предельной функции неравномерно. Если параметр 1 интерпретировать как время,то сходимость семейства функций 11 на множестве Е к функции у означает, что при любой заданной точности е > 0 для любой точки х Е Е можно указать момент 1„ начиная с которого,т.е.при 1 > Ф„ значения Рис.
99. всех функций 11 в точке х будут отличаться от значения у 1х) меньше чем на е. Равномерная же сходимость означает, что наступит момент 1„начиная с которого, т. е. при Ф > 1„уже сразу во всех точках х Е Е будет выполнено соотношение ~~<х) — у11х)~ < е. Для неравномерной сходимости типична изображенная на рис.99 картина бегущего горба большого уклонения.
Пример 9. Последовательность заданных на отрезке 0 < х < 1 функций 1„1х) = х" — х2", как легко видеть, в любой точке х этого отрезка стремится к нулю при и -+ оо. Чтобы выяснить, равномерная ли эта сходимость, найдем величину Ь„= шах ~~„<х) ~. Посколь- 0<х<1 ку 1„'1х) = их" ~11 — 2х") = 0 при х = 0 и х = 2 11", то ясно, что Ь„ =,1„ <2 11") = 1/4. Таким образом, Ь„ Х1 О при и — 1 оо,и наша последовательность сходится к предельной функции 11х) = О неравномерно. Пример 10. Рассмотренная в примере 1 последовательность функций ~„= х" на отрезке 0 < х < 1 сходится к функции О, если 0 <х< 1, У()= 1, если х=1 неравномерно, так как при любом п Е 1Ч Ь„= впр (~<х) — у„(хИ = впр )~<х) — у„(хИ = 0(х(1 0<х<1 апр (1„(х)) = впр (х"! = 1. 0<х<1 0<х<1 ГЛ.
ХУ1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ 436 Пример 11. Рассмотренная в примере 2 последовательность фун- 2 кций /в(х) = в'"„" сходится к нулю равномерно на всем множестве К при и — ~ со, так как в данном случае т. е. Ь„< 1/и и, значит, ܄— ~ 0 при и — + оо.
4. Критерий Коши равномерной сходимости. В определении 9 мы сказали, что значит, что семейство функций /т равномерно на некотором множестве сходится к заданной на этом множестве функции. Обычно, когда задается семейство функций, предельная функция еще неизвестна, поэтому разумно принять Определение 10. Будем говорить, что семейстпво (Л; ~ Е Т) 4ункиий /т.
Х вЂ” + К сходится на множестве Е с Х равномерно при базе В, если оно сходится на этом множестве и сходимость к возникающей при этом на Е предельной функции /: Е -+ К является равномерной в смысле определения 9. Теорема (критерий Коши равномерной сходимости). Пусть Я; й б Т) — семейство уункций /т. Х вЂ” т Я, зависящих отп параметра ~ е Т, и  — база в Т. Для того, чтобы семейство (/т; 1 Е Т) сходилось на множестпве Е С Х равномерно при базе В, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 нашелся такой элемент В базы В, что при любых значениях параметпров 1п Ьг Е В в любой точке х Е Е было выполнено неравенство )/О (х) — /т,(х) ~ < е.
В формальной записи это означает, что Л сходится равномерно на Е при базе В 4=~ 1уе > 0 Л В Е В Ч ьм 82 Е В Ч х Е Е ((/О (х) — /м(х) ( < е). м Необходимость приведенных условий очевидна, ибо если /: Е -+ К вЂ” предельная функция и /~ =З / на Е при В, то найдется элемент В базы В такой, что при любом Ф Е В н любом х Е Е будет ~/(х) — Ях) ~ < е/2. Тогда при любых Фы 1э б В и любом х Е Е будет ~ХО(х) /н(х)~ < ~/(х) Хн(х)! + !/(х) Лг(х)! < е/2+ е/2 = е.
Достаточность. При каждом фиксированном значении х Е Е величину /т(х) можно рассматривать как функцию переменной 1 Е Т. з1. ПОТОЧЕЧНАЯ И РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 437 Если выполнены условия теоремы, то для этой функции выполнены условия критерия Коши существования ее предела при базе В. Значит, семейство Я; Ф б Т1 по крайней мере поточечно сходится к некоторой функции у: Š— ~ Ж на множестве Е при базе В. Если теперь перейти к пределу в неравенстве [~ц(х) — ~м(х)] < е, справедливом при любых 4ы4з Е В и любых х Е Е, то можно получить, что [7"(х) — ~и[х)] < е при любом 4з Е В и любом х ~ Е, а это с точностью до несущественных переобозначений и замены строгого неравенства нестрогим как раз совпадает с определением равномерной сходимости семейства Я; ~ Е Т) к функции у: Š— > К на множестве Е при базе В.
~ Замечание 1. Определения сходимости и равномерной сходимости, которые мы привели для семейств вещественнозначных функций ~~. Х -+ В, разумеется, остаются в силе для семейств функций ~с. Х -+ -+ У со значениями в любом метрическом пространстве У. Естественное изменение, которое при этом следует сделать в приведенных определениях, состоит в замене [1 [х) — Ях) [ на дг Щх), ~,[х)), где дг означает метрику в пространстве К Для векторных нормированных пространств У, в частности для У = С, или У = П™, или У = С, не приходится делать даже этих формальных изменений. Замечание 2. Критерий Коши, конечно, тоже остается в силе для семейств функций ~~. Х -+ У со значениями в метрическом пространстве У, если У вЂ” полное метрическое пространство. Как видно из доказательства, условие полноты У нужно лишь в пункте, относящемся к достаточности условий критерия. Задачи и упражнения 1.
Выясните, равномерно ли сходятся рассмотренные в примерах 3-5 последовательности функций. 2. Докажите равенства (2), (3). 3. а) Покажите, что рассмотренная в примере 1 последовательность функций сходится равномерно на любом отрезке [О, 1 — б] С [О, Ц, но на множестве [О, Ц сходится неравномерно. Ь) Покажите, что зто же справедливо и для последовательности, рассмотренной в примере 9. с) Покажите,что рассмотренное в примере 8 семейство функций ~~ при 4 -+ 0 сходится равномерно на любом отрезке [д, Ц С [О, Ц, но на множестве ГЛ.
ХН1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ 438 [0,1[ сходится неравномерно. о) Исследуйте на сходимость и равномерную сходимость семейство функций 1~(х) = я)п 4х при 4 -+ О, а затем при 4 — > со. 2 е) Охарактеризуйте сходимость семейства функций ~~(х) = е '* при 4 — ~ — > +со на произвольном фиксированном множестве Е С К. 4. а) Проверьте,что если семейство функций сходится (сходится равномерно) на множестве, то оно сходится (сходится равномерно) и на любом подмножестве этого множества. Ь) Покажите, что если семейство функций ~~. Х -+ К сходится (сходится равномерно) на множестве Е при базе В, а д: Х вЂ” ~ К вЂ” ограниченная функция, то и семейство д ~~ . Х вЂ” э К тоже будет сходиться (равномерно сходиться) на Е при базе В.
с) Докажите, что если семейства функций ~с. Х -+ К, дс. Х -+ К равномерно сходятся на множестве Е С Х при базе В, то и семейство Ь, = о~~+Ддо где а, Д е К, тоже сходится равномерно на множестве Е при базе В. 5. а) При доказательстве достаточности условий критерия Коши мы совершили предельный переход 1пп 1ц(х) = 1(х) по базе В в Т. Но 41 В В, а  — база в Т, а не в В. Можем ли мы совершить этот предельный переход так, чтобы Й оставалось в В? Ь) Поясните, где в доказательстве критерия Коши равномерной сходимости семейства функций /~.
Х вЂ > К использована полнота К. с) Заметьте, что если все функции семейства Цс. Х вЂ” ~ К; 4 Е Т) постоянные,то доказанная теорема в точности дает критерий Коши существования предела функции у: Т вЂ” ~ К при базе В в Т. 6. Докажите, что если семейство функций ~с е С(1, К), непрерывных на отрезке 1 = (х Е К ~а < х < Ь), сходится равномерно на интервале ]а,Ь[,то оно сходится,и причем равномерно, на всем отрезке [а,Ь[. З 2.
Равномерная сходимость рядов функций 1, Основные определения и критерий равномерной сходи- мости ряда Определение 1. Пусть (а„: Х вЂ” ~ С; п б г() — последовательность комплекснозначных (в частности, вещественнозначных) функций. Говорят, что ряд 1 а„(х) сходится или равномерно сходится на в=1 мнолсестве Е с Х, если на Е сходится или соответственно равномерно сходится последовательность л (х) = 1 ' а„(х); т Е г( в=1 12. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУНКЦИЙ 439 т Определение 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
