1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Объясните, почему ~. (р) называют дифференциалом отпображенил у' в точке р нли отображением, касательным к у в этой точке. Пусть у — диффеоморфизм. Проверьте, что у,[Х,У] = [у„Х,у.У]. Здесь Х, У вЂ” векторные поля на М, а [, ] — их скобка Пуассона (см. задачу 2). с) Касательное отображение у,(р): ТМр -+ ТЖ, Н ~ касательных пространств, как известно из э 1, порождает сопряженное отображение у" (р) сопряженных пространств и вообще определенных на ТМНр~ и ТМг пространств й-форм. Пусть щ — к-форма на 1У; к-форма ('ы на М определяется соотношением У' НРП6 сь):= (йр)И.Ь Л.(ь) где 5,..., сь б ТМю Так возникает отображение (*: П" (Х) — ь П" (М) пространства Йь(1У) заданных на М к-форм в пространство йь(М) к-форм на М.
Проверьте следующие свойства отображения у', считая М и 1У многообразиями класса гладкости С< 1' у' — линейное отображение; 2' У'( , А ,) = У" А 1 3' до У' = 1* о с~, т.е. д(~'ы) = Г(дсо); 4' (~~ о )'~)' = у,= о Д. 4) Пусть М и Ас — гладкие п-мерные ориентированные многообразия, а со: М вЂ” ь 1У вЂ” диффеоморфизм М на Х. Покажите, что если ы — н-форма на 1У с компактным носителем,то у(м) 1, если у сохраняет ориентацию, где е = — 1, если 1о меняет ориентацию. е) Пусть А Э В. Отображение 1:  — > А, которое каждой точке х Е В ставит в соответствие ее же как точку множества А, называют каноническим еложением В е А. Если ы — форма на многообразии М, а М' — подмногообразие М, то каноническое вложение 1: М' — ь М порождает на М' форму е'ю, которую называют сужением или оераничением формы ы на М'.
Покажите, что правильная ~ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 413 запись формулы Стокса (18) должна иметь вид где 1: дМ вЂ” ~ М вЂ” каноническое вложение дМ в М, а ориентация на дМ берется согласованной с ориентацией М. 5. а) Пусть М вЂ гладк (С~ ~) ориентируемое п-мерное многообразие, а й,"(М) — пространство гладких (С1О'~) и-форм с компактным носителем на М. Покажите, что существует и притом единственное отображение ) м й,"(М) -+ К„обладающее следующими свойствами: 1' отображение ) линейно; м 2' если ~р: Р'(Р') -+ Н С М вЂ” карта задающего ориентацию М атласа, апрры С С и в локальных координатах х,...,х" этой карты ы = а(х)дх Л Л...
Л дх", то ы = / а(х) Нх ...дх", м с <1.1 где справа стоит интеграл Римана от функции а по соответствующему кубу 1" (1"). Ь) Всегда ли указанное выше отображение можно продолжить до обладающего теми же свойствами отображения ): й" (М) — + К пространства й" (М) м всех гладких и-форм на М? с) Используя то, что в любое открытое покрытие многообразия М можно вписать не более чем счетное локально конечное покрытие М и то, что для любого такого покрытия на М существует подчиненное этому покрытию разбиение единицы (см.
задачу 9 из 3 2), определите интеграл от и-формы по ориентированному гладкому и-мерному (не обязательно компактному) многообразию так, чтобы он обладал указанными выше свойствами 1', 2' применительно к формам, для которых интеграл конечен. Покажите, что для этого интеграла формула (18), вообще говоря, не имеет места, и дайте условия на ш, достаточные для справедливости формулы (18) в случае, когда М = К", и в случае, когда М = Н". 6.
а) Используя теорему существования и единственности решения дифференциального уравнения х = е(х), а также гладкую зависимость решения от начальных данных, покажите, что гладкое ограниченное векторное поле е(х) в К" можно рассматривать как поле скоростей установившегося течения.
Точнее, покажите, что существует такое гладко зависящее от параметра (времени) 1 семейство диффеоморфизмов ~рс. К" -+ К", что р~(х) при фиксированном значении х 6 К" является интегральной кривой нашего уравнения, 414 ГЛ. ХН. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ т.е. — Рд»»(-*-) = о(р»(х)), причем»ро(х) = х. Отображение у»». К" -+ !е.", очевидно, характеризует перемещение частиц среды за время 1. Проверьте, что семейство отображений»р». К" -+ К" является однопараме»прической группой диу»у»еоморфианоо, т.
е. (»р»)» = »р-»»р», о»р»» = »р»,+»». Ъ) Пусть о — векторное поле в К", а»о» — однопараметрическая группа диффеоморфизмов К", порожденная полем о. Проверьте, что для любой гладкой функции у е С»»(И", К) имеет место соотношение 1 !пп — (~(у»(х)) — 1(х)) = Р„!,!/. Если ввести обозначение о(1);= Р,у, согласованное с обозначениями из задачи 2, и вспомнить, что 1 о»о» —— . »р»'у, то можно написать, что 1 1пп -(»р, 1 — !)(х) = о(!)(х). »-»о 1 с) Теперь естественно определяется и дифференцирование заданной в К" гладкой формы ш любой степени вдоль поля о.
А именно, положим 1 о(ы)(х) пн !пп -(у»»о» — ы)(х). »- о1 Форма о(ш) называется производной Пи от формы щ вдоль поля о и чаще всего обозначается специальным символом Е„»о. Определите производную Ли Х,хщ формы ы вдоль поля Х на произвольном гладком многообразии М. »1) Покажите, что производная Ли на С» Хмногообразии М обладает следующими свойствами. 1' Т,х — локальная операция, т.е. если в окрестности У С М рассматриваемой точки х е М поля Х», Хз и формы ы», ыг соответственно совпадают, 'го (Рх»щ»)(х) = (Тх»»оз)(х).
2' Рхйь(М) С П" (М). 3' Ьх» Г!" (М) -+»»" (М) — линейное отображение при любом !» = О, 1,2,... 4' Вх(ш» Лшз) = (Рхш») Л ыз+ ы» Л ьхо»з. 5' Если ( Е П~(М), то Вх( = ф(Х) =: Х~. 6' Если ~ Е й~(М), то 1 хд( = д(Х(). е) Проверьте, что указанные выше свойства 1' -6' однозначно определяют операцию Рх. 7. Пусть Х вЂ” векторное поле, а ш — форма степени и на гладком многообразии М. Внутренним произеедением поля Х и формы ы называется (й — 1)-форма, обозначаемая через»хы или через Х ! о» и определяемая следующим соотношением (»хш)(Х»,...,Хь») пн ш(Х,Х»,...,Хь»), где Х»,...,Хь» — векторные поля на М.
Для б-форм, т. е. функций на М, положим Х ! / = О. в 4. ЗАМКНУТЫЕ И ТОЧНЫЕ ФОРМЫ 415 а) Покажите, что если в локальных координатах х',..., х" карты 1в; И" -+ -+ (7 С М форма ш (точнее ш[п) имеет вид '[ аб;„(х) ихб Л... Л 1<6«..Ц<ь 1 1хш =,, Х'а;;, л дх'2 Л... Л дх'ь. й — 1)! Ь) Проверьте далее, что если ц( = Ждх', то гхц( = Х'-Х = Х(7) = Вху. с) Пусть Х(М) — пространство векторных полей на многообразии М, а Й(М) — кольцо кососимметрических форм на М. Покажите, что существует только одно отображение 1: Х(М) х Й(М) -1 Й(М), обладающее следующими свойствами: 1' 1 — локальная операция, т.е. если поля Хо Хз и формы шм шз соответственно совпадают в окрестности 17 точки х е М, то (1х,~И)(х) = (1хвшя)(х)' 2' 1х (Йь (М) ) С Й" в (М); 3' 1х: Йь(М) -+ Й" '(М) — линейное отображение; 4' если ш~ е Й~'(М), шз Е Й~'(М), то1х(ш~ Лшз) =1хш~ Лшз+ ( — 1)~ш~ Л Л 1хшз, 5' если ш е Й'(М), то 1хш = ш(Х), а если / Е Йв(М), то 1х/ = О.
8. Докажите следующие утверждения. а) Операторы д, 1х и Вх (см. задачи 6, 7) удовлетворяют так называемому тождеству гомотопии (22) ьх =1хп+д1х, где Х вЂ” любое гладкое векторное поле на многообразии. Ь) Производная Ли коммутирует с д и 1х, т.е. ьх о и = и О ьх, Хх в1х =1х в1х. с) [Вх,1у] = пх ур [Вх, Ьу] = Тих у), где как всегда [А, В! = А в  — В в А для любых операторов А, В, для которых выражение А в  — В в А определено. В данном случае все скобки [, ] определены. 6) Т х,1ш = 17 хш + 41 Л (хш, где 1' е Й (М), а ш е Й (М). (Указание.
Основным в задаче является п.а). Его можно проверить, например, индукцией по степени формы, на которую действуют операторы.) 3 4. Замкнутые и точные формы на многообразии 1. Теорема Пуанкаре. В этом параграфе будут дополнены сведения о замкнутых и точных дифференциальных формах, которые были изложены в гл.
Х1У, 33 в связи с теорией векторных полей в области 416 ГЛ. ХЧ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ пространства 1т". Как и прежде, символ йв(М) будет означать пространство всех гладких вещественнозначных форм степени р на гладком многообразии М, а й(М) = 0йв(М). р Определение 1. Форма ы Е й"(М) называется замкнутой, если сйо = О.
Определение 2. Форма ы е й"(М), р > О, называется точной, если существует такая форма с» б йв '(М), что ы = йл. Множество всех замкнутых р-форм на многообразии М обозначим через Я"(М), а множество всех точных р-форм на М обозначим символом ВР(М). Для любой формы ы Е й(М) имеет место соотношение~)д(суп) = О, которое показывает, что ЯР(М) э ВР(М). Нам уже известно из гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
